раздел 2.1 посвящен введению в теорию движения Леви.
Этот тип случайного движения следует рассматривать как естественное обобщение
броуновского движения. В свою очередь, у каждого из этих двух типов движений –
броуновского и Леви, - представляют интерес два важных подкласса: подкласс
обыкновенных движений (броуновского и Леви), то - есть, процессы с независимыми
приращениями, и дробные движения (броуновское и Леви), то - есть, процессы с
сильнокоррелированными приращениями. Важным свойством таких процессов является
свойство статистического самоподобия, или самоафинности (самоафинные процессы
также называют фрактальными случайными процессами). Создание моделей
броуновских процессов и процессов Леви является важным для моделирования
природных явлений, а также для тестирования и усовершенствования методов
анализа и интерпретации экспериментальных данных.
В подразделе 2.2 предложена модель обыкновенного движения Леви, которая
основана на обобщенной центральной предельной теореме Гнеденко. В такой модели
случайные приращения, обладающие устойчивым распределением получаются после
суммирования (и подходящей нормировки) случайных величин, функции распределения
которых, во-первых, принадлежат области притяжения устойчивого закона и, во –
вторых, обладают достаточно простым, с аналитической точки зрения,
распределением, так что для их получения эффективен метод инверсии образования
случайных чисел. На основе предложенной модели в этом подразделе генерируются
приращения и траектории случайного движения Леви и исследуются в численном
эксперименте два обнаруженных теоретически эффекта, возникающие при обработке
экспериментальных данных, распределенных по устойчивым законам и обязанные
своим происхождением конечности базы данных: эффект «ложной мультиафинности» и
«псевдогауссовские соотношения». Для исключения эффекта «псевдогауссовости»
предложена модификация метода Херста, применяемого для определения
нормированного размаха.
В подразделе 2.3 предложена модель дробного броуновского движения. Модель
основана на процедуре получения дробного гауссовского шума путем дробного
интегрирования/дифференцирования белого гауссовского шума. Дробное
интегрирование используется для получения персистентного движения, дробное
дифференцирование - для получения антиперсистентного движения. Такая модель
позволила генерировать приращения, которые обладают сильными корреляциями, то –
есть, автокорреляционные функции уменьшаются по степенным законам, построить
траектории дробного броуновского движения и с хорошей точностью получить
характеристики структурной функции и размаха. Преимуществом такой модели
является то, что она допускает непосредственное обобщение на случай дробного
движения Леви.
В подразделе 2.4 предложена модель дробного движения Леви, которая является
обобщением моделей, рассмотренных в двух предыдущих подразделах и основана на
применении обобщенной центральной предельной теоремы Гнеденко и процедуре
дробного интегрирования/дифференцирования белого шума Леви. Такая модель
позволила получить приращения, обладающие сильными корреляциями и
распределенные по устойчивым законам Леви и изучить характеристики структурных
функций и размаха. Получен аналитически диапазон порядка дробного
интегрирования/дифференцирования, не нарушающий свойств самоафинности дробного
движения Леви. Численное моделирование, проведенное для случая персистентного
движения, продемонстрировало эффекты конечности базы данных и преимущества
модифицированного метода Херста для оценки размаха.
В подразделе 2.5 исследуются свойства функций распределения флуктуаций
плотности и потенциала, измеренных в граничной плазме торсатрона «Ураган 3-М».
Анализ данных, проведенный с помощью модифицированного метода процентилей
показал, что эти функции распределения существенно отличаются от гауссовских и
относятся к классу устойчивых распределений Леви. Это замечательное свойство,
которое обосновывает введение термина «турбулентность Леви», стимулирует, с
одной стороны, проведение дальнейших экспериментальных исследований,
позволяющих более детально проанализировать нетривиальные свойства флуктуаций в
граничной плазме, а с другой, стимулирует теоретический поиск механизмов,
которые приводят к негауссовской статистике плазменной турбулентности.
В третьем Разделе исследуются процессы релаксации и диффузии, описываемые
кинетическими уравнениями с дробными производными. Такие уравнения служат
математическим аппаратом для описания движения Леви и являются обобщениями
классических кинетических уравнений теории броуновского движения: уравнения
Эйнштейна - Смолуховского для функции распределения в координатном пространстве
и уравнения Фоккера - Планка для функции распределения в фазовом пространстве
координат и скоростей. В подразделе 3.1 представлен обзор работ по кинетическим
уравнениям с дробными производными.
В подразделе 3.2 содержится вывод дробных кинетических уравнений, содержащих
дробные производные по пространству и скорости. Исходя из интегрального
уравнения Чепмена – Колмогорова для функции распределения марковского процесса
и уравнений Ланжевена со случайными источниками, распределенными по устойчивым
законам Леви, получены дробные кинетические уравнения Эйнштейна – Смолуховского
и Фоккера – Планка. В этих уравнениях вторые производные по пространству и
скорости заменяются на производные Рисса порядка, меньшего 2. Оказывается, что
порядок дробной производной совпадает с показателем Леви устойчивого
распределения шума в исходных уравнениях Ланжевена. Это соответствует
физической картине, согласно которо
- Київ+380960830922