РОЗДІЛ 2
ОЦІНЮВАННЯ ВЕКТОРА СТАНУ ОБ'ЄКТА КЕРУВАННЯ
Для проектування та створення працездатної оптимальної як безперервної так і
дискретної системи автоматичного керування, в умовах завад та збуджень і
неспостережуваного вектора стану об’єкта X(t), є необхідним проектування та
включення до складу САК спостерігаючого пристрою (лінійного фільтра оцінки
випадкових процесів) [104]. Це також оптимальні системи, що будуються на основі
теорії керування та математичного програмування. На реальні САК РТС досить
часто діють випадкові завади, а вимірювання координат стану об’єкта
здійснюється неточно. Не всі змінні стану об’єктів керування (ОК) доступні
вимірюванню. При цьому екстремальні та неекстремальні цільові функції Q, G та H
стають випадковими, що й породжує задачі стохастичного програмування. Цей клас
задач математичного програмування часто вирішують за допомогою таких
спеціальних методів, як варіаційне обчислення, принцип максимуму та динамічне
програмування.
Одним з основних методів розв’язку задач оптимального керування є принцип
максимуму, розроблений групою вчених під керівництвом Л. С. Понтрягіна [105].
У стохастичних задачах оптимального керування функції І Понтрягіна та
Гамільтона є також стохастичними, тобто:
(2.1)
. (2.2)
З урахуванням принципу інваріантного вкладення, стохастичий функціонал якості
має вигляд
, (2.3)
де – необхідний для керування оптимального за швидкістю функціонування.
Якщо об’єкт керування лінійний, то маємо рівняння:
(2.4)
де x(t) та h(t) – вектори центрованих гауссівських білих завад, що накладаються
на ОК та вимірювальну систему.
На кінцевий стан об'єкта накладено обмеження X(tk) = Хk = Х*. Початковий і
кінцевий стани об'єкта визначені у вигляді - ймовірнісних характеристик –
математичних очікувань та кореляційних матриць векторів . Необхідно визначити
вектор оптимального керування U*, який забезпечує переведення об'єкта з його
початкового стану X0 в кінцевий Xk = Х* за мінімальний час. З урахуванням того,
що максимальні значення компонент керування обмежені величинами Мi, а в процесі
керування виконуються виміри, що описуються m-мірним вектором Y(t), згідно
формули (2.4) функціонал, що мінімізується, записують ще у такій формі [106]:
. (2.5)
Запишемо стохастичний гамільтоніан [106]:
. (2.6)
Згідно зі стохастичним принципом максимуму оптимальне керування повинно
забезпечувати максимум умовному математичному очікуванню функції Гамільтона, що
у даному випадку має вигляд:
(2.7)
З (2.7) видно, що умова максимуму по відношенню до ui має вигляд:
Звідки оптимальне керування, що мінімізує середній час керування, визначається
формулою:
. (2.8)
З формули (2.8) видно, що оптимальне керування є релейним, а моменти
перемикання визначаються поведінкою функцій які уявляють собою умовні
математичні очікування фазових координат "дзеркальної” системи Yi(t). Для
визначення функцій Yi(t) записуються диференційні рівняння Гамільтона:
звідки .
Подальший алгоритм вирішення задачі побудови системи оптимальної за швидкістю
функціонування пов'язаний з отриманням оцінок на основі теорії нелінійної або
лінійної фільтрації в залежності від властивостей об'єктів керування та
рівнянь, що їх описують.
Введення зворотного зв'язку за вектором стану, тобто формування закону
регулювання типу:
U = -KX
перетворює передавальну матрицю об'єкта Wok(p) в матрицю замкненої системи:
якій відповідає характеристичне рівняння:
det(pI – A + BK) = 0.
Останнє рівняння показує, що належним вибором матриці К можна одержати бажані
значення коренів характеристичного полінома і тим самим впливати на динамічні
властивості системи. При цьому, якщо об'єкт керований, то значення коренів
можна задавати довільно. Задача визначення закону регулювання, який забезпечує
задані бажані величини коренів, має назву задачі модального регулювання
(керування) [107].
Але формування такого закону вимагає, щоб всі складові вектора стану X(t) були
доступні для вимірювання, що часто не здійснюється тому, що спостерігається та
вимірюється тільки вектор виходу Y(t). Тому необхідно мати пристрій, який
дозволяє оцінювати вектор стану X(t) за результатами спостережень векторів Y(t)
та U(t). Такі пристрої називають спостерігаючими пристроями (або естиматорами,
спостерігачами, ідентифікаторами стану).
Спостерігаючі пристрої можна розподілити на два класи: детерміновані та
стохастичні. Перші – вирішують задачу оцінювання вектора стану X(t) та
визначення матриці L = Ke за заданим розподілом власних значень матриці W без
урахування статистичних характеристик завад. Другі дозволяють знайти матрицю L
= Ke, яка дає оптимальну оцінку вектора X(t) (наприклад, з точки зору
квадратичного критерію), але вони вимагають знання статистичних характеристик
завад і, взагалі кажучи, більш складні в реалізації, ніж перші.
У цьому розділі розглядаються принципи побудови і методи розрахунку
спостерігаючих пристроїв першого класу [108].
2.1. Принципи побудови детермінованих естиматорів
Під спостерігаючим пристроєм (СП) розуміють динамічну систему, що здатна
визначити невимірювані складові вектора стану X(t) з відомих векторів входу
U(t), виходу Y(t) і тим складовим Хс(t), які доступні для спостереження (рис.
2.1).
Рис. 2.1. Структурна схема спостерігаючого пристрою
Прозорий принцип побудови спостерігаючого пристрою полягає у тому, що за
допомогою рівнянь об'єкта:
(t) = AX(t) + BU(t); (2.9)
Y(t) = C(t),
- Київ+380960830922