РАЗДЕЛ 2
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ТЕМПЕРАТУРного поля СТЕНОК ПОЛЫХ ЦИЛИНДРОВ ПРИ
НАГРЕВЕ КОЛЬЦЕВОЙ ЗОНЫ
В главе приводятся решения задач методом интегральных преобразований и методом
источников по определению температурных полей стенок полых цилиндров,
нагреваемых локальными различными источниками теплоты при учете и без учета
теплообмена с окружающей средой на граничных поверхностях [169…178]. Для
получения решений по расчету температур в телах цилиндрической формы наиболее
эффективным оказывается метод интегральных преобразований. Существенным
преимуществом этого метода является его «стандартность» - общий подход к
решению различных задач. Сравнительная простота реализации полученных решений
на ПЭВМ позволяет широко использовать этот метод для решения различных задач в
инженерной практике.
2.1. Температурное поле стенки цилиндра, нагреваемого источником теплоты
произвольной формы
Сформулируем задачу определения температурного поля стенки сосуда следующим
образом. Дан бесконечный полый цилиндр, имеющий внутренний радиус , наружный
радиус . На наружной поверхности имеется симметричный источник теплоты . На
внутренней и наружной поверхностях, вне зоны расположения источника, теплообмен
с окружающей средой отсутствует.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Дифференциальное уравнение теплопроводности данной двумерной задачи
представлено, с учетом симметричности, в следующем виде:
, (2.1)
(r1 < r < r2 , t>0, 0 Ј x).
Начальное условие:
. (2.2)
Граничные условия:
; (2.3)
; (2.4)
. (2.5)
Схема нагрева и необходимые обозначения приведены на рис. 2.1.
Рис.2.1. Схема нагрева полого цилиндра источником теплоты произвольной формы,
расположенным снаружи.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Решение данной задачи получено [151], путем применения интегральных
преобразований Ханкеля и Фурье соответственно по переменным r и x.
Преобразование Ханкеля по аргументу r имеет вид [146]:
, (2.6)
где ядро преобразования определяется [146]:
. (2.7)
Здесь:
- функции Бесселя первого рода первого и нулевого порядка;
- соответственно функции Бесселя второго рода первого и
нулевого порядка;
- корни характеристического уравнения [146]:
. (2.8)
Формулой обращения для этого преобразования служит разложение функции в ряд по
ортогональным функциям ядра преобразования [146]:
, (2.9)
где . (2.10)
Применив преобразование Ханкеля, из уравнений (2.1 … 2.4) имеем:
. (2.11)
По переменной х применим бесконечное косинус - преобразование Фурье [146]:
(2.12)
Формула обращения [146]:
(2.13)
Из (2.11) и (2.12) получаем:
. (2.14)
Решая (2.14), получаем:
. (2.15)
Обозначим . (2.16)
Применяя формулу обращения (2.13), из (2.15) с учетом (2.16) получаем:
. (2.17)
Применяя формулы обращения (2.9, 2.10), из (2.17) получаем окончательное
решение:
. (2.18)
Первый член суммы ряда, соответствующий нулевому корню pn=0, имеет вид:
. (2.19)
Для всех остальных pn №0, имеем:
, (2.20)
. (2.21)
С учетом (2.7, 2.19 - 2.21) решение (2.18) принимает вид:
. (2.22)
Решение (2.22) запишем в виде:
(2.23)
где
. (2.24)
Из решения (2.23) можно получить частные решения, известные в литературе.
1. Если (2.25)
. (2.26)
Тогда
. (2.27)
Учитывая, что согласно [84]
уравнение (2.27) принимает вид:
. (2.28)
Решение (2.23) по определению температурного поля стенки цилиндра, нагреваемого
снаружи равномерным источником теплоты на участке будет иметь вид:
, (2.29)
где - функция ошибок Гаусса. (2.30)
Решение (2.29) совпадает с известным решением [83], полученным для случая
нагрева кольцевой зоны полого цилиндра равномерным источником теплоты, что
доказывает на достоверность полученного решения (2.23).
2. Если , то получим:
Тогда
. (2.31)
С учетом (2.31) решение (2.23) принимает вид:
(2.32)
Решение (2.32) совпадает с известным решением [179], полученным для нагрева
кольцевой зоны полого цилиндра нормально-полосовым источником теплоты, что
указывает на достоверность полученного решения (2.23).
Сопоставим полученное решение (2.29) с известным в классической теории
теплопроводности при нагреве полого цилиндра неограниченным источником теплоты
q(х,t)=const, действующим на всей поверхности.
При l>?, имеем:
Из (2.29) получаем:
(2.33)
где .
Решение (2.33) согласуется с известным решением, приведенным в классической
теории теплопроводности [146], что указывает на достоверность полученного
решения (2.23) и, следовательно, (2.29).
Запишем решение (2.29) в безразмерном виде. Отнесем все переменные к . Введём
новые переменные: - безразмерная температура; - число Фурье; ; ; ;; -
соответственно безразмерные радиусы, ширина источника, координаты по оси
цилиндра, в которых определяется температура. Обозначим .
С учетом принятых обозначений из (2