РОЗДІЛ 2
ДИСКРЕТНЕ ФОРМУВАННЯ ОДНОВИМІРНИХ ОБРАЗІВ НА РІВНОМІРНІЙ СІТЦІ
Вступ
Розглянемо довільну дискретну структуру, що складається з і вузлів і
прямолінійних зв’язків між ними (рис.2.1). Можна привести наступне твердження.
Будь-яка дискретна система, що складається з вузлів та прямолінійних зв’язків
між ними в просторі довільного числа вимірів може бути представлена, як
зрівноважена система сил, де внутрішні зусилля у в’язях Rn, що пропорційні
довжинам в’язей, зрівноважуються зовнішніми зусиллями Pi, прикладеними до
вузлів [62].
Дійсно, припустимо, що в кожній в’язі існує розтягуюче зусилля Rn пропорційне
довжині в’язі. Тоді завжди можна знайти зовнішнє зусилля Pi прикладене до
даного вузла, що зрівноважить зусилля Rn у в’язях. Виходячи із цього можна
зробити припущення про можливість розв’язання оберненої задачі – завжди можна
визначити координати вузлів структури за заданими зовнішніми зусиллями,
прикладеними до її, визначених нумерацією, вузлів. Система рівнянь рівноваги
вузлів буде лінійна, оскільки координатні складові зусиль лінійно залежать від
координат сусідніх вузлів.
В загальному випадку число рівнянь рівноваги вузлів системи дорівнюватиме m x n
, де m – число невідомих вузлів, а n – розмірність простору. Лінійне рівняння
рівноваги для одного і-го вузла дискретної структури можна записати у вигляді:
; (2.1)
де u1, u2, …, un – узагальнені координати вузлів сусідніх від і-го вузла,
ui – координати і-го вузла,
a1, a2, … an – коефіцієнти лінійних різницевих операторів, що показують дольову
участь сусідніх вузлів у формуванні і-го, які прийнято подавати у вигляді
обчислювальних шаблонів,
Рі – зовнішнє навантаження, прикладене до і-го вузла.
Якщо записати систему лінійних рівнянь рівноваги (2.1) для всіх вузлів
дискретної структури, то можна помітити, що управляючими параметрами моделі є,
з одного боку - зовнішнє навантаження kРі, прикладене до вузлів, а з іншого –
коефіцієнти лінійних різницевих операторів an.
Дослідження впливу приведених управляючих параметрів на процес дискретного
формування кривих з рівномірним кроком вузлів дозволить узагальнити та
розширити формоутворюючі можливості статико-геометричного методу.
Крім того, дослідження можливих методів, алгоритмів переходу від
скінченно-різницевих рівнянь статико-геометричного методу до замкненого виду
одновимірних числових послідовностей дасть можливість формоутворювати дискретні
аналоги кривих, з рівновагою у вузлах, без розв’язання громіздких систем
лінійних рівнянь, а в цілому ряді випадків ефективно переходити до їх
неперервного виду без застосування складних інтерполяційних алгоритмів.
Матеріали досліджень, поданих у розділі, опубліковані [76, 77, 78, 170, 173,
182, 183, 185, 186, 187, 192, 195, 196].
2.1. Дослідження впливу характеру функціонального заданого навантаження на
форму модельованої ДПК
Як обумовлювалося у першому розділі (стор. 31), при формуванні
статико-геометричним методом дискретних аналогів кривих з рівномірним кроком
вузлів уздовж однієї із осей декартової системи координат, зусилля Рі
орієнтуються паралельно іншій осі і система рівнянь (2.1) набуває вигляду:
(2.2)
З іншого боку, скінченно-різницеву апроксимацію диференціальних рівнянь, з
певною похибкою, що зменшується при збільшенні кількості суміжних точок, які
приймають участь в даному процесі, теж представляють у вигляді лінійних
різницевих операторів. Так, наприклад, значення 2-ої похідної з похибкою h2 при
триточковій залежності суміжних вузлів [18] можна представити у вигляді:
. (2.3)
Виразивши трихточкову залежність (2.2) через , використовуючи вираз (2.3),
отримаємо:
. (2.4)
Якщо позначити , тоді:
. (2.5)
Виходячи з вище наведених міркувань, можна висунути припущення, що форма
континуального аналога дискретно представленої кривої безпосередньо залежить
від характеру функціонально заданого управляючого навантаження, яке формує
ДПК.
Із (2.5) видно, що функція формоутворюючого навантаження є 2-ою похідною від
рівняння континуального аналога кривої з деяким коефіцієнтом. Так, система
лінійних рівнянь виду (2.2) при дасть дискретний аналог параболи 2-го порядку
.
При цьому , а отже дискретна множина точок на параболі 2-го порядку формується
під дією рівномірно розподіленого навантаження.
Система лінійних рівнянь виду:
, ,
аналогічна системі:
(2.6)
і описує дискретну множину точок на параболі 3-го порядку , друга похідна якої
дорівнює:
Тоді формоутворююче навантаження , де при рівномірному кроці вздовж осі Ох,
лінійно залежить від i і при його дії утворюється дискретна множина точок, що
належить параболі 3?го порядку.
Наведені результати аналогічні висновкам, зробленим в роботі [62].
Розглянемо класи кривих відмінних від парабол n-го порядку, наприклад, клас
гіпербол. Рівняння гіперболи з вертикальною асимптотою і центром у початку
координат (рис. 2.2) можна представити у вигляді:
, (2.7)
де a та b – коефіцієнти гіперболи, геометричний зміст яких представлений на
рис. 2.2.
Запишемо рівняння для трьох суміжних вузлів дискретного аналога кривої при
рівномірному кроці вузлів дискретизації уздовж осі 0х:
,
, (2.8)
.
Використовуючи рівняння системи (2.2), знайдемо значення навантаження в і-му
вузлі дискретної моделі даної гіперболи:
, (2.9)
підставивши (2.8) в (2.9), отримаємо:
. (2.10)
Можна помітити, що функціонально задане навантажен