РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКАМАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СЛАБОМАГНИТНЫХ НЕФЛОКУЛИРУЮЩИХ ЧАСТИЦ В ОКРЕСТНОСТИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ФЕРРОМАГНИТНОГО ЭЛЕМЕНТА МАТРИЦЫ
В рабочих зонах высокоградиентных сепараторов различных типов в качестве матриц
используют стержни, стальные нити, стальные плетеные сетки, стальную “вату” и
наиболее мелкую разновидность - стальную “шерсть”. Все эти матрицы можно
рассматривать как совокупность элементов цилиндрической формы, расположенных
упорядоченно или произвольно ориентированных. Этот вид матриц наиболее изучен.
Сепараторы с матрицами, элементы которых имеют цилиндрическую форму,
производятся в США, Европе, Японии и используются для сепарации
труднообогатимых руд и очистки нерудных материалов и сточных вод.
Дифференциальные уравнения (1.15) и (1.16), описывающие траектории движения
частиц в окрестности намагниченного цилиндра, позволяют рассчитать сечения
захвата и проанализировать коэффициент улавливания частиц в рабочей зоне ВГМС с
элементами цилиндрической формы. Экспериментальная проверка результатов
расчетов по этим уравнениям, выполненная многими исследователями, показала,
что, хотя они в целом верно отражают процесс движения частиц, для
количественного анализа требуется уточнение моделей.
Анализ уравнений движения частиц в рабочей зоне сепаратора показывает, что в
них не учитываются инерционные и гравитационные компоненты сил, действующих на
частицу в окрестности цилиндра. Поэтому, в соответствии с целью работы, в
данном разделе разработаны уравнения движения частиц в окрестности
намагниченного цилиндра на основе баланса векторной суммы всех основных сил,
действующих на частицу: магнитной, гравитационной, силы гидродинамического
сопротивления движению частицы и силы инерции [113, 114, 115, 116].
2.1 Вывод дифференциальных уравнений движения частицы в окрестности
цилиндрического ферромагнитного элемента
В рабочей зоне магнитного сепаратора каждая частица подвергается воздействию
сил, векторная сумма которых определяет направление и характер ее движения.
Запишем уравнение движения магнитной частицы в потоке жидкости вблизи
цилиндрического ферромагнитного элемента:
, (2.1)
где Vp(r,и) - скорость частицы;
Гравитационная сила представляет собой алгебраическую сумму силы тяжести и силы
Архимеда. Магнитная сила обусловлена совместным действием внешнего магнитного
поля напряженностью H и намагниченностью цилиндра, помещенного в это поле.
Уравнение (2.1) может быть представлено в виде его проекций на координатные
направления r, полярной системы координат, центр которой совмещен с центром
поперечного сечения цилиндра (рис. 2.1):
mpwr=Fm,r+Fd,r+Fg,r; (2.2)
mpwи=Fm,и+Fd,и+Fg,и, (2.3)
где wr – проекция вектора ускорения частицы на координатное направление r;
wq – проекция вектора ускорения частицы на координатное направление q.
Будем определять функцию H(r,q) как для одиночного цилиндра, ось которого
перпендикулярна вектору внешнего поля H0, используя известные формулы [64].
Здесь б - угол между направлением скорости потока несущей среды и осью х.
Найдем выражения компонентов сил, входящих в правые части уравнений (2.2),
(2.3). Магнитная сила, действующая на частицу, определяется по формуле:
, (2.4)
где ;
ж=жp- жf
жp, - объемная магнитная восприимчивость частицы;
жf - объемная магнитная восприимчивость среды;
Vp - объем частицы;
H = H(r, q) - напряженность магнитного поля в окрестности ферромагнитного
коллектора.
Вектор выражается через его компоненты формулой:
(2.5)
где Нr - радиальная составляющая вектора напряженности внешнего магнитного
поля;
Ни - тангенциальная составляющая вектора напряженности внешнего магнитного
поля.
Следовательно,
(2.6)
Компоненты вектора напряженности магнитного поля в окрестности кругового
цилиндра, помещенного в однородное магнитное поле напряженностью Н0, могут быть
представлены в виде [72]:
(2.7)
где ;
- магнитная проницаемость материала ферромагнитного элемента матрицы ;
- магнитная проницаемость несущей среды ( );
rw - радиус цилиндрического ферромагнитного элемента
Подставляя в (2.6) выражения для , , ,,, получим:
(2.8)
Тогда из (2.4) получим следующие выражения для компонентов Fm,r, Fm,и вектора
магнитной силы :
(2.9)
где (2.10)
;
rp – плотность материала частицы;
M = 2AH0 - намагниченность коллектора;
mp – масса частицы.
Используя выражение «магнитной скорости», введенное Дж. Ватсоном [76]:
(2.11)
где h - коэффициент динамической вязкости несущей среды;
dp - диаметр частицы,
и вводя обозначение:
, (2.12)
получим: . (2.13)
Тогда выражения для составляющих ускорения, приобретаемого частицей под
действием магнитной силы, примут вид:
(2.14)
Вектор силы гидродинамического сопротивления движению в жидкой среде частицы
можно представить в виде:
, (2.15)
где Сd - коэффициент гидродинамического сопротивления частицы;
- скорость частицы относительно несущей среды;
– плотность несущей среды;
Sm – площадь миделевого сечения частицы (для сферической частицы S = p dp2
/4).
Коэффициент гидродинамического сопротивления Сd зависит от формы частицы и от
числа Рейнольдса:
, (2.16)
Значение Cd может быть определено по диаграмме Релея Сd(Re) или по эмпирическим
формулам, аппроксимирующим эту зависимость[123-125, 126-129].
С учетом (2.12), получаем следующие выражения проекций вектора
гидродинамического сопротивления на координатные направления r, q :
(2.17)
где Nd = Cd,1 /Cd,0 ;
Сd,0 – коэффициент гидр
- Київ+380960830922