РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВОЛНОВЫХ
ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ С ГЕНЕРАТОРАМИ
ЖИДКОСТНОГО ТРЕНИЯ И КАЧЕНИЯ
2.1. Обоснование структур математических моделей
В нашей работе изучались различные механизмы, основные из них подверглись комплексному исследованию. Схемы этих механизмов показаны на рис 1.5 и 1.6. Более подробно будем анализировать ВЗМ с двумя гибкими и двумя жесткими колесами, содержащими кулачковые генераторы волн с подшипниками жидкостного трения (рис. 1.5, а) [239] и генераторы с гибкими шариковыми подшипниками (рис. 1.4, б) [236]. ВЗМ с одним гибким колесом считаем частным случаем рассматриваемых механизмов.
Расчет волновых зубчатых механизмов с различными типами генераторов волн с учетом всех факторов, оказывающих влияние на их характеристики, чрезвычайно сложен, но не все из этих факторов одинаково существенны для работоспособности механизма. Поэтому возникает необходимость создания математических моделей двух уровней: модель высшего уровня, учитывающую все основные факторы, и модель второго уровня, адекватную реальному объекту, но содержащую большее число допущений. Модель второго уровня позволяет использовать менее сложный математический аппарат и, что особенно важно для прикладных работ, является более простой.
При рассмотрении критериев работоспособности волновых передач отмечалось, что основной причиной выхода из строя высокоскоростных ВЗП является разрушение гибкого подшипника генератора волн. При использовании подшипника скольжения основным критерием работоспособности передачи также должно быть обеспечение надежной работы подшипника. Для этого необходимо, чтобы в любой точке подшипника сохранялся радиальный зазор. Но этого не достаточно. Для обеспечения нормальной работы зубчатого зацепления необходимо, чтобы в зоне зацепления деформация гибкого колеса была близкой к расчетной. Опыт экспериментальных исследований волновых передач показывает, что нормальная работа зацепления обеспечивается, если уменьшение деформации гибкого колеса относительно расчетной не превышает [138]. Это ограничение вводится в математическую модель передачи как критерий сохранения нагрузочной способности ВЗП с генератором скольжения и обеспечивается путем подбора необходимого давления питания.
Таким образом, важной особенностью разрабатываемых нами математических моделей является постоянство формы деформирования гибкого элемента. Это касается ВЗМ с генераторами скольжения и качения. В последнем случае постоянство формы обеспечивается соответствующим расчетом радиальной податливости звеньев.
При создании математических моделей ВЗМ необходимо: принять расчетную схему гибкого элемента; провести анализ силовых факторов, действующих в механизме; исследовать несущую способность подшипника жидкостного трения генератора; установить реакции в генераторе с подшипником качения; определить силы в зацеплении.
2.2. Расчетная схема гибкого элемента
волновой зубчатой передачи
Гибкий элемент ВЗП, в общем случае, представляет из себя одну, или несколько совместно работающих тонкостенных оболочек, сочлененных каждая со своим зубчатым венцом и связанных с тихоходным валом [121, 149]. Иногда гибкий элемент выполняют в виде тонкостенного кольца, снабженного зубьями.
В многочисленных публикациях, касающихся расчетной схемы гибкого элемента, не рассматривается вариант одновременной работы двух и более гибких колес. При этом не учитывается влияние на перемещение этих колес формы деформирования и сил инерции. В то же время подчеркивается, что в качестве расчетной схемы можно принимать кольцо эквивалентной жесткости зубчатому венцу. Кольцо, сочлененное с полубезмоментной или моментной оболочками в пределах зоны зацепления дают незначительные различия перемещений по сравнению с кольцом эквивалентной жесткости [200].
Рис.2.1. Расчетная схема гибкого колеса Для составления расчетной схемы одного гибкого зубчатого колеса воспользуемся предложением Бидермана В. Л. [15] и представим это колесо как сочетание цилиндрической оболочки и зубчатого венца, который рассматривается как кольцо (см. рис. 2.1). Расчет будем выполнять на основе полубезмоментной теории, приняв при этом следующие допущения:
- кольцо, сопряженное с оболочкой, деформируется так же, как и свободное;
- влияние оболочки учитываем путем добавления к кольцу пояска с некоторой эквивалентной жесткостью.
Таким образом, жесткость эквивалентного кольца, можно выразить в виде
, (2.1)
где - жесткость кольца без оболочки; - эквивалентная жесткость пояса, заменяющая оболочку; - момент инерции сечения кольца при изгибе в плоскости кривизны.
, (2.2)
где - толщина оболочки;
; (2.3)
, (2.4)
где - длина оболочки; - срединный радиус оболочки; 0,3 - коэффициент Пуассона.
Для применяемых значений геометрических параметров гибких колес и 0,03 получим [15]
. (2.5)
Момент инерции эквивалентного кольца как системы (2.6)
Если гибкий элемент состоит из нескольких, например двух, гибких колес, то момент инерции такой системы
; (2.7)
. (2.8)
, (2.9)
где - коэффициент, учитывающий влияние зубьев на жесткость зубчатого венца.
Момент инерции системы можно определить и экспериментально. Если гибкий элемент нагрузить двумя равными, противоположно направленными силами F, то форма деформирования будет описываться уравнением [46, 47]
. (2.10)
Зная приложенную силу и замеряя перемещение точек приложения силы, можно вычислить .
Для составления расчетной схемы гибкого элемента рассмотрим плоское тонкое кольцо, нагруженное в своей плоскости. Размеры поперечного сечения кольца малы по сравнению со средним радиусом . Полагаем, что поперечное сечение кольца прямоугольное и постоянное по окружности, а нагрузка равномерно распределена по ширине кольца. При таких допущениях напряжения и перемещения одинаковы по ширине, а решение сводится к решению плоской задачи.
Задачу о перем