РОЗДІЛ 2.
НАЙПРОСТІШІ ДИСИПАТИВНІ СТРУКТУРИ
2.1. Хвилі перемикання при оборотному тепловому пробої у напівпровідникових пластинах
Глибокий зв'язок між фазовим переходом першого роду й оборотним тепловим пробоєм відзначався у літературі [144]. Як відомо, у фізичних системах автохвилі звичайно являють собою рух границі фазового переходу. Взагалі, під автохвильовим процесом прийнято розуміти хвильовий процес, що самопідтримується, в активному нелінійному середовищі та зберігає свої характеристики за рахунок розподіленого в середовищі джерела енергії [130]. Ці характеристики - період, довжина хвилі, швидкість поширення, амплітуда і форма - в усталеному режимі залежать лише від локальних властивостей середовища і не залежать від початкових, а достатньо далеко від границь середовища і від крайових умов. При цьому, в просторі передбачається зв'язок через процеси переносу дифузійного типу. У такому підході хвиля розглядається як просторово-часова еволюція деякого стану. Найпростішою структурою в автохвильовому процесі, яка спостерігається в однорідному середовищі, є відокремлений фронт збудження, що відповідає руху границі фронту перемикання (доменної стінки) і має лише один хвильовий фронт. Тому не викликає подиву існування хвиль перемикання при оборотному тепловому пробої. При їх поширенні елементи середовища переходять з одного стійкого стану в інший, що характерно для простих бістабільних середовищ. Бістабільний елемент має два стаціонарні стани, в кожному з яких він може знаходитися дуже довго. Щоб викликати перехід між станами, інтенсивність зовнішньої дії повинна перевищити деякий пороговий рівень.
Кінетику теплових процесів у напівпровідниковій пластині, вздовж вісі якої прикладено постійне електричне поле , а на торцях припускається відсутність специфічних механізмів розсіювання енергії, описують нелінійним параболічним рівнянням
(2.1)
з граничними умовами Неймана
. (2.2)
В рівняннях (2.1) і (2.2) прийняті наступні позначення: - концентрація носіїв, - коефіцієнт теплопровідності зразка, - питома електропровідність , - частота ударів, що зумовлюють передачу тепла в ґратку. Електронний газ достатньо великої густини, так що функцію розподілу носіїв за енергіями можна вважати максвелівською з електронною температурою . Температура зовнішнього середовища (термостата) не співпадає з температурою електронного газу. Рівняння (2.1) описує нелінійне активне одномірне однорідне середовище з дифузією. Електричне поле відіграє роль зовнішнього параметра задачі.
Нехай , =const. Температура зразка, що відповідає стаціонарному стану, визначається балансом тепловиділення і тепловідводу :
. (2.3)
Рівняння (2.3) можна розв'язати графічно. У випадку оборотного теплового пробою провідність зразка змінюється стрибкоподібно. Це приводить до того, що в залежності від величини зовнішнього параметру можливе існування від одного (прямі 1 і 5) до трьох (пряма 3) коренів рівняння (2.3) (Рис. 2.1). Остання ситуація характерна для порогового характеру виникнення теплового пробою по відношенню до постійного електричного поля . Така зміна провідності відповідає уявленням про звичайний вигляд провідності , де - ширина забороненої зони провідника.
Дослідимо стійкість розв'язків рівняння (2.1) по відношенню до періодичного в просторі збурення (нормальної моди) з довжиною хвилі [105]. Тоді відхилення від стаціонарного стану рівні
, (2.4)
де . Рівняння (2.1), лінеаризоване за малими добавками :
, (2.5)
після підстановки (2.4) зводиться до дисперсійного рівняння (співвідношення) для спектру флуктуацій, яке визначає частоту збурення в залежності від хвильового числа і постійного електричного поля
, (2.6)
де і . Кожен корінь рівняння (2.6) породжує окрему хвилю, що називається модою.
Рис. 2.1. Графічний спосіб розв'язання рівняння (2.3).
Еволюція в часі залежить від властивостей величини . Оскільки чисто уявна величина, то ми маємо стоячу хвилю. Стоячу хвилю можна розглядати як результат інтерференції прямої і відбитої хвиль при їх зустрічному поширенні. Загальною особливістю стоячих хвиль є те, що вони не переносять енергію. Якщо , то з часом експоненціально зростає, а якщо , то експоненціально затухає в часі. У першому випадку початкове збурення системи необмежено росте, і кажуть, що система нестабільна відносно даної моди. Має місце температурна нестійкість системи. У другому випадку кажуть, що система відносно даної моди стабільна. Таким чином, умова стійкості розв'язку може бути сформульована у вигляді наступного графічного "правила дотичних"[145]: стійкі ті корені рівняння (2.5), для яких тангенс кута нахилу в точці більший за тангенс кута нахилу дотичної до кривої (Рис. 2.1). У випадку інтервал визначає область нестійких значень, де . Лівий () і правий () корені на Рис.2.1 стійкі, тоді як середній нестійкий. Таким чином, стійкі стани системи і можуть співіснувати у вигляді двох фаз, границі між якими (доменні стінки) можуть як рухатися, так і бути нерухомими. Еволюція системи у часі полягає у наближенні до одного з таких однорідних стаціонарних станів. Стаціонарні однорідні стани і завжди стійкі по відношенню до малих збурень. Область багатозначності визначається інтервалом (). На Рис. 2.1 значенням і відповідають граничні положення кривих 2 і 4 відповідно.
Пороговий характер оборотного теплового пробою дозволяє апроксимувати функцію , що є густиною теплових джерел середовища, поліномом третього степеня [130, 146]:
, (2.7)
де . Якщо шукати розв'язки у вигляді хвиль, форма яких не змінюється в часі, то можна перейти до автомодельної змінної , що відповідає стаціонарній біжучій хвилі, яка поширюється в додатному напрямі вісі з постійною швидкістю . При рух відбувається у протилежному напрямі. Автомодельні розв'яз
- Київ+380960830922