ВВЕДЕНИЕ
Задачи теории упругости стали предметом исследований, как только были найдены основные уравнения движения упругой среды. Интенсивная работа продолжается и в настоящее время для применения существующих методов решения основных задач теории упругости к новым задачам, возникающих при анализе напряженно-деформированного состояния в различных условиях деформации, при наличии значительных градиентов температур, термо- и бародиффузии, нестационарных, электромагнитных полей и других явлений немеханического характера. С другой стороны появление быстродействующих электронных вычислительных машин поставило вопрос решения задач теории упругости (в некоторых случаях - заново) в удобном для численных реализаций виде.
Предлагаемая работа посвящается эффективному решению некоторых граничных, контактных, гранично-контактных и начальнограничных задач теории упругости и термоупругости в виде позволяющим наиболее эффективное применение ЭВМ.
Работа состоит из четырех глав и двух приложений.
В первой главе решаются задачи упрощенной теории термоупругости, известной под названием несвязанной, температурно- напряженной, квазистатической, а также при стационарном температурном поле - статической. В теории температурных напряжений, которая восходит к истокам теории упругости и за последнее время интенсивно развивается ввиду ее растущего прикладного значения, исследуется классическое уравнение теплопроводности, не содержащее члена связанного с деформацией тела. Задачи решаются здесь в следующем порддке: на основе уравнения теплопроводности находится распределение температуры в теле, а затем решают-
- 3 -
;я уравнения теории упругости в смещениях, содержащие уже навден-ше члены, зависящие от градиента температуры.
Не имея возможности хотя бы вкратце остановиться на обозре-ши имеющих шогочисленных работ, упомянем что важные результаты ^следований и методы решения задач несвязанной теории термоупру-?ости изложены в книгах Б.Боли, Дж.Уэйнер [13], А.Н.Динник [29] ,
I.Д.Коваленко [32], Б.Г.Коренев [33] Н.Н.Лебедев [45], В.М.Май-зель [49], Э.Мелан и Г.Паркус [51], В.Новацкий [61,63], С.П.Ти-лошенко, Дж.Гудьер[77], а также в статьях В.И.Даниловская [27],
7.Н.Маслов [50], Н.И.Мусхелишвили [54], П.Ф.Папкович [бб] и др.
3 этих работах имеются также подробные исторические и библиографические справки.
За последние двадцать лет начались интенсивно развиваться лсследования и по более общей, чем теория температурных напряжений, теории связанной термоупругости, где учитывается взаимное влияние полей деформации и температуры, В этом направлении отметим работы /М.Ви>/ [91], Т.В.Бурчуладзе [1о] , С- то6 [92]>
1опйЬа1-Са.Ипиг V. [93] , Ь.У&пЫсХ [95], Н.С.Кахниашвили [30] ,
З.Д.Купрадзе, Т.В.Бурчуладзе [39—41] , В.Новацкий [б2,63], Я.С. Тодстригач [71]. Я.О .Подстригая, Р.Н.Швец [72], Р.Н.Швец[8б] и др.
Чаще всего в работах по несвязанной теории термоупругости рассматриваются задачи с первой (на границе заданы вектор смещения и температура или поток тепла) или второй (заданы вектор тер-лонапряжения и температура или поток тепла) основными граничными условиями, причем в явном виде получены решения в основном для симметрично нагруженных и симметрично нагретых круговых областей.
В §1 настоящей работы, используя результаты решения первой а второй основных задач статики классической теории упругости, подученные М.О.Башелейшвили [2,3], а также формулы Пуассона и Дини (решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа) эффектив-
_ 4 -
но (в квадратурах) решаются не только первая и вторая, но и третья (на границе заданы нормальная составляющая вектора смещения и касательная составляющая вектора термонапряжения, а также температура или поток тепла) и четвертая (заданы касательная составляющая вектора смещения и нормальная составляющая вектора термонапряжения, а также температура или поток тепла) основные граничные задачи статики термоупругости для круга и бесконечной плоскости с круговым отверстием.
В §2 эффективно (в рядах) решены гранично-контактные задачи термоэластостатики для кусочно-однородных круга и кольца. В этих задачах на границе тела задаются одно из основных краевых условий а на контактных линиях, являющихся концентрическими окружнос-тьми, разные условия сопряжения векторов смещений и напряжений.
Вторая глава посвящается эффективным решениям динамических задач теории упругости в общей постановке для круговых областей. Задачи динамики классической теории упругости исследованы многими авторами. Доказательство теорем существования и единственности решений основных пространственных и плоских начально- граничных задач динамики однородного изотропного и анизотропного упругого тела с конечной границей методами теории потенциалов и интегрального преобразования Лапласа было получено в работах Т.В. Бурчуладзе [1б], Т.Г.Гегелиа [во] , В.Д.Купрадзе, Т.В.Бурчуладзе [42, 4з], а также М.О.Башелейшвили, Д.Г.Натрошвили [9]. Другим методом, основанным на общем представлении решения динамических уравнений с помощью произвольных гармонических, аналитических функций и специальных потенциалов динамические задачи исследованы в работе Л.Г.Магнарадзе [48]. Для неоднородных упругих тел методами функционального анализа динамические задачи исследованы в работах Т.Г.Гегелиа, О.И.Маисаиа [21], Г.Тикера [80]. Теоремы существования и единственности имеются также в работе кХнор*,
и 'Раупя [97]. Динамические смешанные задачи теории упругости цля неклассических областей исследованы в монографии И.И.Ворович,
3.А.Бабешко[18] . Из работ, посвященных эффективный решениям ос--ювных задач динамики изотропного однородного упругого шара и Зесконечного слоя, отметим работы Д.Г.Натрошвили [оЭ] , Е.И.Обо-аашвили [б4| .Г.И.Петрашень [б8], Ж.А.Рухадзе [7о].
В § 3 рассматриваются основные начально-граничные задачи ди-ламики для изотропного упругого круга. Задачи решаются способом, тредложенным в работе [43], в которой рассмотрены первая и вторая основные трехмерные задачи динамики изотропного упругого тела. Преобразованием Лапласа рассматриваемые задачи приводятся к граничным задачам псевдоколебаний, решения которых пишутся в зиле абсолютно и равномерно сходящихся рядов. Доказывается, что обратные преобразования дают решения исходных динамических задач.
Аналогичным подходом решаются в § 4 основные гранично-контак-?ные задачи динамики для кусочно-однородных круга и кольца.
Третья глава посвящена задачам о равновесии упругого шара. 1звестно много решений этих задач. Решение первой и второй ос-ювных граничных задач статики для шара (сплошного и полого) было получено еще Ламе. Эти задачи разными методами решали также Ахлпсон, Тедоне, Сомилиана, Черути. Сведения о их и других ран-шх работах можно найти в книгах А.Лява [*47) и А.И.Лурье [4б]. Третья основная граничная задача для круга и шара была решена в лаботе СО Н ас/а маге/ [а%] я Отметим еще некоторые более поздние >аботы, касающиеся задач о равновесии шара. Это работы Л.Г.Гиор-’ашвили [22], А.И.Лурье [4б], Ю.Н.Подильчук [70], Во всех перечис-:енных работах решения задач даются в виде рядов. В виде квадратур >ешения всех четырех основных граничных задач статики для изот-юпного упругого шара получены в работе Д.Г.Натрошвили [57] , а дя т-мерного ( М ^ 2) шара - в работе М.О.Башелейшвили [4].
- б -
В случае симметрично нагруженного шара решения задач в квадратурах получены в работах А.Я.Александров, Ю.И.Соловьев [1], В.Ф. Бондарева [14], Б.Г.Галеркин [19].
Вопросы существования и единственности решений основных граничных задач теории упругости для трехмерных областей изучены достаточно хорошо и подробно изложены в монографиях В.Д.Купрадзе [36], В.Д.Купрадзе, Т.Г.Гегелиа, М.О.Башелейшвили, Т.В.Бурчулад-зе [44] , В.Новацкий [бЗ] , А.Ляв [47], Г.Фикера [в(|. В двумерном случае теоремы существования решений основных задач статики теории упругости доказаны Н.И.Мусхелишвили [оэ] , Д.И.Шерманом [89, 90] , С.Г.Михлиншл [ 5й] .
Отметим, что вопрос существования решения рассматриваемых в работе задач не возникает, поскольку эти решения будут построены фактически, а теоремы единственности для этих задач доказываются.
Контактные и гранично-контактные задачи статики теории упругости с условиями сопряжения, рассмотренные в настоящей работе (главы I и III), для трехмерных кусочно-однородных изотропных областей поставлены и отдельные задачи исследованы Л.кентчем ( Ь. Зеп^5Сл[94] ). В работе В.Д.Купрадзе [37] доказаны теоремы существования и единственности решений задач с такого рода условиями контакта (различные случаи сопряжения, относящиеся к касательным и нормальным составляющим векторов смещения и напряжения) . Для этих же задач М.О.Башелейшвили [о] доказал теоремы су-дествования и единственности решений в случае плоских областей.
Отметим, что контактные задачи, когда на разделяюще]; граните заданы разности векторов смещения и напряжения, исследованы з работах В.Д.Купрадзе [Зб], М.О.Башелейшвили, Т.Г.Гегелиа [7], Д.Г.Натрошвили [08] , Г.Фикера [80].
В третьей главе настоящей работы с помощью специального
- 7 -
ппедставления решения системы уравнений теории упругости, полученного М.О.Башелейшвили [б], методом, отличным от примененных в упомянутых выше работах, единым образом решены граничные, контактные и гранично-контактные задачи статики теории упругости для тел со сферическими границами или со сферическими поверхностями контакта. Все решения представлены рядами или квадратурами в удобном для численной реализации виде.
В §5 решены основные граничные задачи эластостатики для однородного изотропного упругого шара и пространства с шаровой полостью, причем решения первой и третьей задачи записаны в квадратурах, а второй и четвертой - в рядах по сферическим функциям Лапласа.
Используя решения первой основной внутренней и внешней задач в §6 решены контактные задачи для кусочно-однородного пространства, состоящего из двух частей, разделенные сферической поверхностью. Рассмотрены различные случай сопряжения, относящиеся к касательным и нормальным составляющим поля.
В §7 решаются гранично-контактные задачи для кусочно-однородного сплошного и полого шара, состоящего из т 2) концентрических шаровых слоев из различных изотропных упругих материалов, когда на границе задано предельное значение вектора смещения, а на поверхностях контакта слоев заданы разности нормальных составляющих векторов смещений и напряжений и касательные составляющие векторов смещений.
Строится представление решения для шарового кольца с помощью которого находятся решения (в рядах) поставленных задач. Во всех случаях указаны достаточные условия, которым должны удовлетворять заданные на поверхностях функции для того, чтобы полученные ря"ы сходились абсолютно и равномерно.
В четвертой главе на основе эффективных решений рассмотрен-
- 8 -
шх в предыдущих главах некоторых задач составлены алгоритмы и 1рограммы для их численной реализации. Имеется общирная литература, где наряду с общими аналитическими и численными методами ре-зения задач механики рассматриваются приемы и схемы реализации этих методов при решении прикладных задач на ЭВМ (см..например, работы Н.И.Безухов, 0.В.Лужин [_12^, А.И.Каландия [зо], А.Г.Угод-1ИКОВ, М.И.Дяугач, А.Е.Степанов[79], Б.Е.Победря [б9]).
Описывавши в §8 алгоритм рассчитан на приближенное вычислена регулярного решения, данного в виде интегралов типа потенциа-1а, первой основной граничной задачи термоэластостатики для однородного изотропного круга. Автоматический выбор шага интегрированы! для каждой точки дает возможность вычислить смещения, напряжения и температуру внутри круга (в частности, в точках, лежащих жак угодно близко к границе круга) с погрешностью, меньшей зара-!ее заданного числа. Приведен контрольный пример.
В §9 описываются алгоритм и программа, составленные для писанного решения гранично-контактной задачи многослойного сплошного шара. Применены стандартные (библиотечные) программы. Решена контрольная задача.
В приложении I приведен текст программы, записанной на алгоритмическом языке АЛГОЛ-60, с помощью которого получаются числен-ше решения первой основной граничной задачи термоэластостатики.
В приложении 2 дана программа, записанная на алгоритмическом языке ФОРТРАН, для численного решения гранично-контактной задачи в случае многослойного шара.
Основные результаты настоящей работы опубликованы (см. работы [Ю, II, 81 - 8б] ).
Глава I
ЗАДАЧИ ТЕРМОЭЛАСТОСТАТИКИ ДЛЯ КРУГОВЫХ ОБЛАСТЕЙ
§ I. Эффективное решение основных граничных задач
термоэластостатики для круга и бесконечной плоскости с круговым отверстием
I. Некоторые предварительные замечания. В дальнейшем нам понадобятся некоторые известные определения и обозначения, которые в основном заимствованы из книги [44] . Приведем часть из них - остальные будут определены в тексте.
1. Конечную область двумерного (или трехмерного) пространства а, (или Е3 ) обозначим через ?)+ , а бесконечную область через £)" . Если не имеет значения какую область (конечную или бесконечную) рассматриваем, то обозначим ее через 9) . Если
3 - граница конечной области , то Р)~- Ва,\(£)+ М3) (или
= ЕД(9+иЗ)
2. УгР(Л) - внешний, по отношению области 2)+( нормаль к границе 3 в точке 2 е 3.
3. Пусть ^ - функция, определенная в области х)
Определение 1.1. Функция § принадлежит классу с*(®) , если ^ непрерывна в принадлежит
классу С ( Ф) , где к - целое положительное число, если
в каждой точке х области Я) все ее частные производные
до К,-го порядка включительно непрерывны.
Определение 1.2. Функция ^ непрерывно продол-жима в точке 2 € 5 из Я) , если существует конечный пре-
дел
X) Э Х°»2
Определение 1.3. Если функция , определен-
- 10 -
ная в £)+ (или в <£Г ), непрерывно продолжима в точке гє5, то предел будем обозначать через
Определение 1.4. Функция I принадлежит клас-су сш если і Є СЧФ) и, кроме ТОГО, ^ и все ее производные до порядка К включительно непрерывно продолжимы в каждой точке границы 8
Определение 1.5. Функция ^ , определенная в
области Ф , называется регулярной, если і £ С*( ?)) и ;[ Є С ( ф) • Если рассматривается область Ф , тогда к определению регулярной функции добавляются условия на бесконечности
](ї) = 0(О, |х|г^- = 0(О, К=и
а ЗС)с
- в случае двумерной области, или
тё-Чгг,)--'»
- в случае трехмерной области.
Вектор называется регулярным, если все его компоненты регулярны.
4. Пусть (X - двухкомпонентный вектор. Тогда 0 ,= СП и
5 7 V
‘СЦ = |0Л^ - соответственно нормальная и касательная составляющие вектора а . Очевидно, ау= (а V) и а^(а-о) . где V? = С 0 ц, ^г') и 0 = (- , 1)0 - 0Рты нормали и касательной. В
случае, когда (X - трехкомпонентный вектор, то 01и=(а-р)( 0о= а-у(и а) , где р = (^і(\)2,\)3).
П. Задачи для круга и бесконечной плоскости с круговым отверстием.
- II -
Система уравнений статики несвязанной термоупругости в компонентах смещения при отсутствии объемных сил и источника тепла имеет вид [51] , [32] , [63]
р ДЫСЗСЬСЦ(ЗС)=^^ и3Сх), ^
Ли3(х) = 0,
где и(хМи,(х),и2(зс))- вектор смещения точки ас = (Т^ОСг), из -температура, )> и Ц - постоянные Ламе, о<(зЛ + 2ц.), ск - коэффициент линейного теплового расширения.
Сформулируем граничные задачи для системы уравнений (1.1). Пусть областью, занимаемой изотропной однородной средой является круг Ю (ОД) , ограниченный окружностью 5 > с радиусом К и центром в начале координат, или бесконечная область Ф с круговым отверстием.
Требуется найти в области *£) регулярное решение 1/-=и(и,и3) системы (1.1), удовлетворяющее граничным условиям:
(1.0- , ■*М(2), иИ--13(г);
(1.2): 1
(ГО* 1 'Ри)!0(О, ^=£(0;
( I- г)1 {Р
(!.()- (ри- и («Р 1/)}Ч(:0, иЦ(5);
(1.2)1 ! 'PV-
(IV • 0£ {
- 12 -
(іу. 2)* [u-v(v-u]j*=J(i), (v-pu^c*;, (
где 2=Ui,b)e$, У = (1^,1)г) .причем , І.-12;
iiU - поток тепла, PU= P(^x,V)U(oc)= T(9sc,tf)U(x)--^РІЛзСХ) - вектор термонапряяения [44] , a
Tfax,o)ufx)=^~p + ^cliuuca:D+^l V^-taolu-COCJ) (1.2)
- вектор силового напряжения [44J , [бб] , ]з,^ч
заданные на S непрерывные санкции.
Задачу с условиями ( I.i)+ бУДем называть задачей (1.\). аналогично, по номерам граничных условий получат названия и остальные задачи.
Легко решается вопрос об единственности решений задач несвязанной термоэластостатики, поскольку в этом случае происходит разделение задач: отдельно решается задача Дирихле или Неймана для уравнения Лапласа (ищется Ц3 ) и отдельно I, П, Ш или ІУ граничная задача статики теории упругости. Теоремы единственности формулируются (см. например, 1бз] , [бб] , [бЗ] ) следующим образом.
Теорема I.I. Внутренняя, или внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа имеет не более одного регулярного решения.
Теорема 1.2. Регулярное решение внутренней или внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа определяется с точностью до постоянного слагаемого.
Теорема 1.3. Задачи I~, IV ~ ill - статики теории упругости имеют единственные регулярные решения.
Теорема 1.4. Любые два регулярных решения задачи П+ могут отличаться лишь вектором жесткого смещения, а два регулярных решения задачи П ' - произвольным постоянным вектором.
Теорема 1.5. Любые два регулярных решения задачи
- ІЗ -
(Л * могут отличаться лишь вектором жесткого вращения.
Приведем доказательства теорем І.З-І.5. Как известно (см., например, [44] , [55] , [63] ), если Ц^Си^Ы*) есть Ре-
гулярное решение системы уравнений
)лди *(л+^)с|Ч.аоІоІіо ц = о (і.і)0
в области Ф , то
] Е (и,Ю СІ ос = ] Ц+ ( Т о| 5 , (1'2)°
Б J
где Е (и,її) - неотрицательная квадратичная форма ( [44] , [55] ):
е (и,и)=а ♦ *|£)г+ ^ [(г ^
'ЭОС) ЭХг
(1.3)
о
Если и есть регулярное решение системы (1.1)0 в области ф , удовлетворящее в окрестности р = |ос| =оо ус-
ловиям
и, (*) =0(0, |ж|21^ = 0(0. С1.4)
то ?Хк
] Е(Ц,и)с<Ж =-|и” ( Ти] с1$. <1.5)0
9" 5 т
В случае однородных граничных условий произведение и |и
на окружности 5 обращается в нуль (для задач (Г) 1 (Я')±
— 4 — 4 - /о
это очевидно, а для задач (Щ)0~ ( И/- вытекает из тож-
деств
иТц = и [Ти^(у-Ти)] + (у-и)(\>.Ти)= [и-р(У и)]Ти t
+ (\) и)(р-Т и)).
- 14 -
Поэтому интегралы в правых частях (1.2)^ и (1.5)о исчезают и в силу неотрицательности формы Е ( и, и) получаем Е ( и,и)=0 . Общее решение этого уравнения имеет вид
исос) = р ("я*) + ^ > (1-6)0
где Н'1 ^2/); - произвольные постоянные.
Пусть ц 1 и и11 - два различных регулярных решения какой-либо из задач Г ± > П ”, ^ , IV ' Тогда разность
и = и'- ц" будет решением соответствующей однородной задачи и согласно сказанному выше, представится в виде (1.6)0 .
Для задач 1д~ имеем: и1 =0 » следовательно, р=с^ = 0,
и поэтому и' = ц". Таким образом, задачи X - имеют единственные решения.
Для задач !|0~ имеем; (ТиУ=0 • Постоянные р и ^
остаются произвольными в круге § + , а вне круга (в области $0 ) в силу условий (1.4)0 будем иметь р = 0 . Итак, решения задачи И + могут отличаться вектором жеткого смещения
вида (1.6)с , а решения задачи Ц - постоянным вектором.
Для задач III ~ имеем: ( Тц-У (и-Ти)^’=0.
Второе условие выполняется для произвольных р и . Из первого простыми вычислениями получаем 0^2, + - о. Ото
уравнение прямой. Так как 2 - окружность и 2 =
то имеем <^,-^2 = 0 • Итак, в круге Ф+ два решения
задачи Щ+ могут отличаться вектором вида Ц(оО-р( Согласно условий (1.4)0 в области Ъ~ получаем р=о и
поэтому задача III ~ имеет единственное решение. Аналогично доказываются единственность решения задач 1_У ~ .
Задача (I. I)"**. Функцию и3 (ос) , как решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа можно представить формулой Пуас-
- Київ+380960830922