2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ............................................................4
РАЗДЕЛ 1. Состояние вопроса и задачи исследований...................12
1.1. Динамика стержней с присоединенными массами....................12
1.2. Постановка задачи..............................................22
РАЗДЕЛ 2. Исследование собственных и вынужденных колебаний составного стержня на упругом основании с упруго
присоединенными массами.............................................32
2.1. Собственные колебания составного стержня
на упругом основании.................................................32
2.2. Собственные колебания составного стержня на упругом основании
с упруго прикрепленными к нему отдельными дискретными массами 52
2.3. Собственные колебания составного стержня на упругом основании
с упруго прикрепленными к нему цепочками дискретных масс.............60
2.4. Вынужденные колебания составного стержня на упругом основании
и упруго прикрепленных к нему цепочек дискретных масс................67
2.5. Собственные колебания составного стержня на упругом основании
с упруго прикрепленными к нему отдельными твердыми телами............77
2.6. Собственные колебания составного стержня на упругом основании
с упруго прикрепленными к нему цепочками твердых тел.................89
2.7. Вынужденные колебания составного стержня на упругом основании и
упруго прикрепленных к нему цепочек твердых тел......................99
РАЗДЕЛ 3. Статические и динамические напряжения в составных конструкциях....................................................... 105
3.1. Расчет напряженно-деформированного состояния стационарно нагруженного составного стержня.................................... 105
3.2. Расчет напряженно-деформированного состояния стационарно нагруженного составного стержня с упруго прикрепленными массами 114
3.3. Динамические напряжения в составных конструкциях.............. 122
РАЗДЕЛ 4. Анализ точности разработанных математических моделей 130
4.1. Тестирование метода расчетного моделирования динамических характеристик составных конструкций............................... 130
4.2. Тестирование метода расчетного моделирования статических
и динамических напряжений в составных конструкциях................. 146
4.3. Сравнительный анализ теоретических результатов с данными
экспериментальных исследований..................................... 156
РАЗДЕЛ 5. Апробация и применение разработанных алгоритмов к исследованию зависимости динамических характеристик стержневых
систем от изменения их конструктивных параметров................... 160
5.1. Исследование зависимости динамических характеристик составного стержня на упругом основании с упруго прикрепленными сосредоточенными массами........................................................... 160
5.2. Пример расчета динамических характеристик составного стержня
с упруго прикрепленными твердыми телами............................ 175
5.3. Пример расчета динамических характеристик карданного
вала автомобиля УАЗ-2206 и его модификаций......................... 180
5.4. Разработка рекомендаций, направленных на повышение эксплуатационных качеств составной конструкции,
схематизированной многоонорным составным стержнем.................. 182
ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................189
БИБЛИОГРАФИЯ......................................................190
ПРИЛОЖЕНИЕ........................................................201
4
ВВЕДЕМИК
Составные неоднородные стержни являются механическими моделями широкого класса реальных конструкций, условия работы которых исключительно многообразны. Во многих машинах и промышленных аппаратах осуществляют крепление на стержневых элементах узлов машин, приборов и аппаратуры. При строительстве мостовых переходов с целыо повышения их эксплуатационной надежности применяют конструктивные приемы поддемпфирования введением трибодемпферов, поперечно подпружиненных затяжек, торцевых демпферов и т.д. [48], осуществляющих связи между главными балками смежных пролетных строений. Конструкции в виде стержней, расположенных на упругом основании, находят широкое применение в промышленности. Прогрессивное решение современных технических проблем таких как интенсификация производственных процессов, повышение эффективности работы транспорта, увеличение выпуска промышленной продукции обуславливает неуклонный рост мощностей машин и механизмов. Это приводит к увеличению эксплуатационных нагрузок на строительные сооружения, звенья машин и механизмов, нарушение работоспособности которых может быть сопряжено с тяжелыми экономическими и экологическими последствиями. Поэтому совершенствование и развитие методов расчетного анализа деформирования и напряженного состояния составных конструкций в виде составных неоднородных стержней на упругом основании с упруго прикрепленными массами в условиях нестационарного нагружения продолжают оставаться необходимыми.
Известно, что упруго прикрепленные к стержню массы оказывают существенное влияние на динамические свойства конструкции. К примеру, при определенных условиях присутствие упруго прикрепленной к стержню массы вызывает полное гашение колебаний стержня в точке установки подпружиненной массы [71]. В то же время изменение динамических характеристик составной конструкции при неблагоприятных внешних воздействиях может вызвать явление резонанса. Квалифицированное применение указанных выше устройств для трансформирования разрезных пролетных строений мостов в частично не-
5
разрезные позволяет гасить колебания пролетных строений при отпуске подвижной нагрузки и при сейсмическом воздействии [48]. Временные мосты по своей конструкции, как известно, существенно отличаются от капитальных. Для них характерны прежде всего повышенная гибкость пролетных строений, а соответственно и повышенная деформируемость подрельсового основания. В силу этого при движении транспорта рельсовая колея подвергается значительным прогибам [44], что вызывает, во-первых, неблагоприятные условия для движения поездов по цепи пролетных строений, а во-вторых, быстрый износ и даже разрушение рельсовой колеи. Это далеко не полный перечень актуальных практических задач, требующих глубокого анализа всех факторов, оказывающих влияние на динамические и статические свойства одномерных стержневых конструкций.
Все это является той материальной предпосылкой, которая стимулирует интерес к изучению динамики неоднородных составных стержней с упруго прикрепленными массами на упругом неоднородном основании.
К настоящему времени имеется большое количество работ, посвященных исследованию динамического поведения неоднородных стержней, нагруженных твердыми массами. Можно, например, указать на работы [2], [24], [32], [36], [38], [39], [55], [64]-[66], [70], [85]-[88], в которых обобщены и изложены решения подобного рода задач в самой различной постановке. Тем не менее, в области динамики стержневых систем остаются недостаточно исследованными вопросы, связанные с аналитическим разрешением задач динамики многопролетных стержневых систем, имеющих разрывные кинематические связи, переменные параметры распределенной жесткости и массы, расположенных на упругом неоднородном основании и несущих упруго присоединенные массы. Приближенные численные методы расчета при условиях выраженной неоднородности и нерегулярности приводят к большим порядкам разрешающих систем уравнений и затруднениям в оценке достоверности получаемых численных результатов. Эти обстоятельства обуславливают потребность дальнейшего развития аналитических методов решения таких задач. В настоящее время высо-
6
кую эффективность при проведении расчетного анализа динамических харак теристик (частот и форм собственных колебаний) и напряженного состояния составных стержней демонстрируют аналитические методы, основанные на сплайн-преобразованиях, предложенных в работах отечественных исследователей [55]. С их помощью получены вычислительно эффективные методы расчетного анализа указанных характеристик при крутильных и продольных колебаниях составных стержней [21 ]-[24], [84]. В то же время вопросы моделирования поперечных колебаний составных стержней изучены не в полной мерс. В частности, недостаточно разработаны методы расчетного анализа динамических характеристик и напряженного состояния составных стержней переменного сечения, расположенных на упругом неоднородном основании, имеющих разрывной характер кинематических связей на стыках стержней и несущих упруго прикрепленные твердые тела.
11одобные расчетные схемы могут быть использованы при исследовании колебаний и статической нагруженности самых различных конструкций: мачт, телескопических антенн, колонных аппаратов химических производств, башен, опор электропередач, мостовых сооружений, валов машин и многих других. Может исследоваться движение и на1руженность конструкций как в эксплуатационных условиях, гак и в процессе демонтажных работ. Гак, например, при определении расчетных усилий для аппаратов колонного типа от ветровых нагрузок и сейсмических воздействий [20| корпус аппарата принимают в виде консольного упруго защемленного стержня. В этом случае размещенные в нем тарели различной конструкции целесообразно принять в виде одной или нескольких масс, упруго прикрепленных к стержню. При этом в зависимости от геометрических размеров моделируемых объектов можно полагать, что к стержню упруго прикреплены сосредоточенные массы или же абсолютно твердые тела. 11рисутствие в общей расчетной схеме упругого основания с переменным коэффициентом постели позволяет, в частности, оценить прогибы рельсовой колеи с учетом мест перехода с насыпи подхода на пролетное строение, а также зон сопряжения пролетных строений, имеющих разную конструк-
7
цию мостового полотна и разные упругие свойства подрельсового основания [44]. При расчете частично неразрезных пролетных строений [48] демпфирующие элементы типа трибодемпферов, прорезных гасителей и т.п. могут моделироваться в виде упругих шарниров второго рода.
Из вышеизложенного следует, что разработка и совершенствование методов расчетного анализа динамических характеристик и напряженно-деформированного состояния (НДС) в условиях нестационарного нагружения составных конструкций в виде линейных стержневых систем на упругом основании с упруго присоединенными твердыми телами является актуальной задачей, решение которой обеспечивает возможность уточненного исследования и обоснования достоверности соответствующих результатов моделирования, направленного на обеспечении работоспособности ряда ответственных конструкций, применяемых в народном хозяйстве.
Целыо работы является совершенствование и развитие методов расчетного анализа динамических характеристик и напряженно-деформированного состояния нестационарно нагруженных составных конструкций в виде составных неоднородных стержней на упругом основании с упруго присоединенными цепочками твердых тел и разрывным характером кинематических связей стержней, исследование зависимости указанных характеристик соответствующих стержневых систем от их конструктивных параметров, разработка конструктивных рекомендаций, направленных на повышение эксплуатационных качеств подобных стержневых систем.
Основная идея работы состоит в использовании для расчетного анализа динамических характеристик и НДС составных неоднородных стержней, расположенных на упругом основании, имеющих разрывной характер кинематических связей, и упруго прикрепленные к ним цепочки твердых тел, сплайн-прсобразоваиий пространственных координат, параметры которых выбираются зависящими от собственных частот исследуемых деформируемых конструкций.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие основные задачи:
8
1. Разработать уточненную математическую модель и метод расчетного анализа динамических характеристик и напряженного состояния составной конструкции в виде ступенчатого составного стержня на упругом основании с учетом разрывного характера кинематических связей стержней и неоднородности упругого основания, обусловленной переменной жесткостью в вертикальном направлении и промежуточными упругими опорами.
2. Разработать уточненную математическую модель и метод расчетного анализа динамических характеристик и напряженного состояния составной конструкции в виде ступенчатого составного стержня на упругом неоднородном основании при наличии упруго прикрепленных цепочек твердых тел.
3. Разработать алгоритм расчетного анализа НДС указанных составных конструкций в условиях их нестационарного нагружения.
4. Разработать метод расчетного анализа НДС составной конструкции в виде ступенчатого составного стержня с упруго прикрепленными цепочками твердых тел в условиях стационарного нагружения.
5. Осуществить программную реализацию и апробацию разработанных алгоритмов, оценку их вычислительной эффективности на ряде модельных задач.
6. Осуществить с помощью предложенного подхода исследование зависимости динамических характеристик ряда конкретных стержневых систем от их конструктивных параметров, а также разработку конструктивных рекомендаций, направленных на совершенствование эксплуатационных свойств исследованных систем.
Защищаемые новые научные положении.
1. Разработаны уточненные математические модели поперечного изгиба составного стержня на упругом неоднородном основании, отличающиеся тем, что предложенные модели учитывают возможность возникновения разрывов кинематических характеристик в зоне стыка стержней и наличие упруго присоединенных цепочек твердых тел.
2. Разработан, апробирован и применен к исследованию конкретных конструкций метод расчетного анализа динамических характеристик и напряженно-
9
деформированного состояния нестационарно нагруженных составных конструкций в виде линейных стержневых систем на упругом основании, стержни которых сопряжены с разрывом кинематических характеристик и к ним упруго присоединены цепочки твердых тел, основанный на сплайн-преобразовании пространственных координат, отличающийся параметрами используемою сплайн-преобразования, которые представлены в виде функций собственных частот рассматриваемой конструкции и алгоритмом исключения промежуточных расчетных параметров.
Практическая значимость результатов исследований.
1. На основе разработанных математических моделей и методов решения соответствующих граничных задач составлены программные средства, позволяющие осуществлять расчетное моделирование динамических характеристик и напряженного состояния в исследуемом классе конструкций.
2. Полученные результаты исследования зависимости динамических характеристик составных конструкций в виде неоднородных составных стержней на упругом основании с упруго присоединенными цепочками масс от изменения их конструктивных параметров позволяют ускорить и упростить выбор рационального варианта динамической системы.
3. Полученные алгоритмы расчетного анализа динамических характеристик и напряженного состояния рассматриваемых составных конструкций могут применяться при тестировании программных модулей, реализующих метод конечных элементов, разработке рекомендаций по выбору конечно-элементных моделей рассматриваемого класса конструкций, а также при верификации результатов расчетного моделирования, полученных с помощью других приближенных методов.
4. Разработанные математические модели и методы их расчетного анализа позволяют исследовать линейные стержневые системы на упругом основании с разрывным характером сопряжения стержней, неоднородностью характеристик упругого основания, а также с учетом упруго прикрепленных к ним цепочек твердых тел.
10
5. Сравнение результатов вычислительных экспериментов с известными в литературе точными и приближенными решениями тестовых задач, а также с данными опубликованных результатов натурных исследований позволили подтвердить обоснованность применения разработанных математических моделей и методов их расчетного анализа в исследованном диапазоне изменения конструктивных параметров динамических систем.
Реализация полученных научных результатов.
1. Разработанная в диссертации методика и программное обеспечение для расчетного анализа динамических характеристик и напряженного состояния составных конструкций в виде неоднородного составного стержня на упругом основании с упруго прикрепленными массами используются при проведении расчетов динамических качеств отдельных узлов машин на Улан-Удэнском авиационном заводе.
2. Научные результаты, полученные в диссертации, использованы в учебном процессе Бурятского государственного университета в специальных курсах по учебным дисциплинам «техника физического эксперимента» и «теория автомобильных и тракторных двигателей» на физико-техническом факультете.
Методы исследования. Анализ и обобщение результатов ранее проведенных исследований динамики неоднородных стержней, несущих упруго прикрепленные массы. Для вывода математических моделей поперечных колебаний указанных составных конструкций применен вариационный метод Га-мильтона-Остроградского. Решение полученных модельных задач осуществлялось с помощью методов математической физики, аппарата обобщенных функций, математического анализа и линейной алгебры. Для расчета по разработанной в диссертации методике динамических характеристик и напряженного состояния модельных конструкций используются специально разработанные программные средства для вычислительной техники. При проверке разработанных аналитических методов решения граничных задач использовано программное средство COMPASS [9J, реализующее метод конечных элементов.
Личный вклад соискателя заключается в следующем:
11
1. Сбор и анализ данных о ранее проведенных исследованиях.
2. Постановка задач исследований и методика их решения, формулировка цели и идеи работы.
3. Разработка и программная реализация аналитического метода расчетного анализа динамических характеристик и НДС нестационарно нагруженных составных конструкций в виде неоднородных стержней с упруго прикрепленными цепочками твердых тел, расположенных на упругом основании.
4. Обобщение и анализ полученных результатов.
5. Внедрение результатов.
Достоверность и обоснованность основных научных положений определяются применением известного вариационного принципа Гамильтона-Остроградского, корректным применением хорошо разработанных методов математической физики, теории обобщенных функций и аппарата ма тематического анализа, а также подтверждается сходимостью результатов расчетов тестовых задач, проведенных при помощи конечно-элементной программы СОМРАЭБ к результатам, полученным по предлагаемой методике, а также сравнением с численными и экспериментальными результатами других исследователей.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Межрегиональной научно-практической конференции «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири и Дальнего Востока» (г. Хабаровск, Владивосток, 2001 г.) и научно-практических конференциях преподавателей, научных работников и аспирантов БГУ (г. Улан-Удэ, 1998-2001 гг.).
Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в работах [4]-[7], [12], [13], [72], [73].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения и библиографического списка из 120 наименований. Общий объем работы - 200 страниц, включая 60 рисунков и 21 таблицу. Диссертация имеет приложение, содержащее акты внедрения результатов исследования.
12
РАЗДЕЛ 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЙ
1.1. Динамика стержней с присоединенными массами
Методы расчетного анализа динамики стержней начали разрабатываться давно. Исследованиям в области динамических задач предшествовали работы по статическому расчету стержней. Большой вклад в развитие теории расчета стержней внесли Леонард Эйлер, Сен-Венан, Навье, Бернулли, Д.И. Журавский, Х.С. Головин, Ф.С. Гадолин, Ф.С. Ясинский, И.Г. Бубнов, A.II. Крылов, Б.Г. Галеркин, С.ТI. Тимошенко, П.Ф. Папкович, Г.В. Колосов, Н.И. Мусхелишвили,
Н.М. Беляев, М.М. Филоненко-Бородич, В.А. Гастев, Н.М. Герсеванов, М.И. Горбунов-Пасадов, Б.Н. Жемочкин, И.А. Симвулиди, И.П. Прокофьев, Н.И Бс-зухов, И.М. Рабинович, А.Н. Динник и целый ряд других выдающихся исследователей.
Для расчета колебаний однородных стержней при различных краевых условиях основополагающее значение имеет работа А.Н. Крылова [46|. Большой вклад в формировании знания о колебаниях упругих стержней с присоединенными массами внес А.П. Филиппов. В монографиях 185]-[87] автором были рассмотрены многочисленные задачи о свободных и вынужденных колебаниях стержней с присоединенными массами. Рассматривались стержни постоянного поперечного сечения с произвольным конечным числом сосредоточенных грузов и упругих опор, стержни на сплошном упругом основании. Изучалось влияние инерции поворота и перерезывающих сил на колебания стержней с присоединенными массами. Также исследовался вопрос о колебаниях нагруженных стержней с учетом внутреннего трения в материале. В этих задачах действие сосредоточенных масс на несущий стрежень заменялось действием сосредоточенных периодических сил. Полученные таким образом задачи о вынужденных колебаниях стержня затем решались операционным методом. Для решения ряда задач о колебаниях нагруженных стержней с произвольными переменными поперечными сечениями применялись различные приближенные методы.
13
Монография [87] во многом отражает достигнутые к 1970 г. результаты исследований по динамике стержней с присоединенными массами. В этой связи здесь лишь отметим, что полезные рекомендации по расчету колебаний стержней, несущих присоединенные массы, можно найти в книгах [2], [ 14]-[ 16], [241-126], [28], [321, [36], [38], [39], [47], [55], [70], [76]-[82], [88] и т.д.
За период с 1970 г. по настоящее время появилось значительное число исследований, в которых уточняются и углубляются представления о динамике стержней с присоединенными массами. Существенную роль в развитии аналитических методов исследования динамики неоднородных стержней сыграло применение теории обобщенных функций и сплайнов. Основы теории сплайн-приближений и некоторых ее применений заложены в работах Дж. Ал-берга, Э. Нильсона, Дж. Уолша [I], Д. Сарда, С. Вейнтрауба, Н.П. Корнейчука [40], [41] и др. Основанная на теории обобщенных функций методика аналитического решения задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем была заложена в монографии В.А. Лазаряна и С.И. Конашенко [55]. В работе излагаются основные понятия и некоторые положения теории обобщенных функций, а также поня тия о сплайн-функциях. Авторы расширяют понятие сосредоточенного включения, представляя различного рода шарниры и другие связи, соединяющие отдельные части стержня, как включения в жесткость стержня. Сосредоточенные включения, обусловленные наличием сосредоточенных масс, отдельных упругих опор, шарниров и других связей между частями стержня вводятся в аналитические выражения распределенных параметров при помощи импульсивных функций первого и более высокого порядка, т.е. при помощи дельта-функции Дирака и ее производных. В работе рассматриваются стержневые системы, в которых распределенные параметры являются ступенчатыми функциями. Применяя сплайп-прсобразованис координат, дифференциальные уравнения с кусочно-постоянными и сингулярными коэффициентами приводят к уравнениям с постянными коэффициентами сингулярными правыми частями. Промежуточные параметры, содержащиеся в решениях уравнений, исключаются в общем виде при помощи
14
некоторых рекурентных соотношений. Решение, в конечном итоге, выражается только через начальные параметры и некоторые функции влияния, относящиеся к классу сплайнов и названные в монографии обобщенными функциями А.Н. Крылова.
Этот метод оказался весьма плодотворным, был применен и развит для расчета продольных колебаний составных стержней с упруго прикрепленными в некоторых сечениях дискретными массами [21]-[24], 1841. В монографии [24] осуществлена систематизация сведений о продольных и крутильных колебаниях различных конти нуально-дискретных систем, состоящих из неоднородного стержня, и подсистем дискретных масс. В расчетных схемах предполагается, что стержень может быть неоднородным но массе и жесткости и иметь точечные включения как в интенсивность массы, так и в жесткость. Любое сечение стержня и любая масса могут быть упруго прикреплены к неподвижному основанию. Во всех случаях решение проводится с использованием сплайн-нреобразования координат.
В работе [30] описанный метод используется для решения задачи о вынужденных поперечных колебаниях одномерной стержневой системы с распределенными параметрами массы и изгибной жесткости и сосредоточенными включениями в эти параметры. Получено аналитическое решение уравнения, записанное сразу для составного стержня с помощью обобщенных функций А.Н. Крылова.
Другое направление в развитии аналитических методов исследования колебаний однородных стержней с упруго присоединенными массами представлено в работах А.Д. Мижидона, С.В. Архипова и М.Е. Федорова [60], [61]. В статье [60] рассматривается построение математических моделей поперечных колебаний: а) однородного стержня с упруго присоединенной сосредоточенной массой; 6) однородного стержня с присоединенным при помощи двух упругих элементов твердым телом. При выводе уравнений движения используется принцип Гамильтона-Остроградского. Работа [61] посвящена составлению характеристических уравнений для указанных выше динамических систем. При
15
этом формы собственных колебаний стержня У(х) разыскиваются в виде сложной функции, зависящей от амплитуды колебаний присоединенной точечной массы (соответствующих амплитуд твердого тела), параметров упругого подвеса точечной массы (твердого тела) и функции У(х), удовлетворяющей уравнению
-шг7(х) + Ь-^^ = б(х), с1х~
в котором о) - собственная частота, Ь - некоторое число, 8(х) - функция Дирака. Кроме того функция У(х) должна удовлетворять заданным условиям. В предложенном методе затруднительно определять ординаты форм собственных колебаний упруго присоединенных масс. Условия, налагаемые на функцию У(х), достаточно сложны уже для простейших континуальнодискретных систем, что затрудняет нахождение функции У(х).
Для решения задач о колебаниях стержневых систем с кусочнопостоянными параметрами весьма часто использовался метод начальных параметров [37], [52], [53], [101], [120] и др. В статье [ 120) предлагается ступенчато-редукционный метод для аналитического исследования динамической реакции стержня Бернулли-Эйлера с произвольным и поперечным сечением. Пространственная область исходной стержневой конструкции при этом дискретизируется на конечное число ступенчатых элементов, каждый из которых рассматривается как однородный и имеюший постоянную толщину. После чего общее аналитическое решение составленных дифференциальных уравнений движения для всего стержня в целом получено в терминах начальных параметров посредством удовлетворения физических и геометрических условий неразрывности между соседними элементами. В работе [101] рассматривается проблема анализа параметров свободных поперечных колебаний стержня Бернулли-Эйлера на ступенчатом упругом основании типа Винклера. Решение этой проблемы в замкнутой форме достигается посредством разбиения исходного стержня на ряд сегментов,
16
каждый из которых лежит на постоянном упругом основании.
Вопросу о колебаниях стержней со ступенчатым изменением сечения, погруженных в неоднородную среду Винклера, посвящена работа [95]. Здесь рассматривается стержень, состоящий из двух частей, которые различаются площадью сечения, моментом инерции, модулем упругости, плотностью и коэффициентом постели Винклеровского основания. Для решения этой задачи используется два способа: разделения переменных и процедуры Релея. Отмечается, что вторым способом можно охватить практически все приложения.
Большое число задач по динамике стерженй с присоединенными массами было решено с использованием вариационных методов типа Бубнова-Галеркина, Ритца и Реля [891, [97], [100], [103], [105], [106], [116], [118] и др.
Исследования проводились для стержней с постоянными и пременными произвольными сечениями при различных краевых условиях и различных способах опирання в промежуточных сечениях. Изучались случаи жесткого и упругого крепления сосредоточенных масс.
В [118] представлен аналитический метод для свободных изгибных колебаний консольного стержня с сосредоточенной массой, использующий введение новой функции модальной формы в процедуру Бубнова-Галеркина.
Статья [100] посвящена исследованию поперечных колебаний стержней переменного сечения с сосредоточенными массами. Предполагается, что помимо обычных жестких опор стержень опирается на дополнительные опоры, часть из которых упруго сопротивляется линейным, а другая часть угловым перемещениям. Число и размещение как жестких, так и упругих опор может быть производным. Основное внимание обращено на особенности применения метода Релея-Ритца, в том числе и в тех случаях, когда одна и та же опора одновременно оказывается и упруго оседающей, и упруго поворачивающейся. Исследованы также консольные стержни, имеющие на одном конце упругое защемление.
Задача о колебаниях консольного стержня с сосредоточенной массой на
17
конце и упругими связями, препятствующими линейным смещениям и повороту промежуточных сечений, рассматривается в [89]. Допускаются стержни с постоянными сечениями, а также ступенчатые и с непрерывным изменением момента инерции и площади поперечного сечения. Применяется классический метод Релея.
В работе [106] рассматривается задача определения собственных частот колебаний неоднородного стержня, имеющего упругие крутильные опоры по торцам и сосредоточенные промежуточные массы. Приведено уравнение свободных колебаний такого стержня, записанное с помощью функций Дирака, и граничные условия. Задача решается методом Релся-Ритца, где в качестве аппроксимирующего ряда используются балочные функции.
Нелинейным колебаниям свободно опертого стержня с упругим закреплением (вдоль его оси) одного из концов и сосредоточенной массой, соединенной упруговязкими элементами с подрессоренной массой, посвящена работа 1116]. Предполагается, что к первой из масс приложена гармоническая сила. Нелинейный характер колебаний обусловлен действием продольной силы, зависящей от перемещения стержня. Учитывается инерция вращения сосредоточенной массы и вязкое демпфирование. Колебания описываются системой двух связанных дифференциальных уравнений в частных производных для стержня и обыкновенных для подрессоренной массы. Применен метод Бубнова-Галсркина.
Точность и сходимость трех приближенных дискретных методов расчета: метод Релея-Ритца, метода Бубнова-Галеркина и метода конечных элементов исследовались в работе [97]. Сравнение проводилось на примере задачи анализа параметров свободных линейных поперечных колебаний однородных стержней Бернулли-Эйлера, несущих инерционные элементы в промежуточных точках.
Учету особенностей динамики стержней с присоединенными массами при несовершенной упругости материала посвящены работы [57]-[59], [68], [69]. В [57] рассмотрены поперечные колебания стержней, оборудованных динамическими гасителями колебаний ДГК, при гармоническом и случайном
18
стационарном возбуждении в уточненной нелинейной постановке - с учетом гистерезисного рассеяния энергии как упругой связи гасителя, так и в основном обьектс. 11ри решении использованы методы гармонической и статистической линеаризации в частной независимой комплексной форме, позволившие свести задачи определения амплитудно-частотных и вероятностных характеристик колебаний к решению на ЭВМ полученных систем нелинейных алгебраических уравнений. Последний метод использован в работе [58] при исследовании поперчпых колебаний стержня с ДГК, происходящих вследствие кинематического случайного стационарного широкополосного возбуждения. 11есовершенная упругость материала стержня и гистерезисное рассеяние энергии в гасителе учитывается по обобщенной модели Г.С. Писаренко.
Сравнение двух моделей стержня: Бернулли-Эйлера и Тимошенко в задачах о динамике стержней с присоединенными массами посвящены работы [108], [112], [113]. В [113] представлено точное аналитическое решение проблемы свободных колебаний стержня Тимошенко с сосредоточенной упруго закрепленной массой. Используются функции комплексной переменной. Рассматриваются граничные условия: свободное онирание двух концов, один конец свободно оперт - другой защемлен, оба конца защемлены. Анализируется влияние упруго прикрепленной массы, как динамического гасителя колебаний, и поперчного сдвига на частоту колебаний. Дается сравнение со стержнем Бернулли-Эйлера. В статье [108] рассмотрены частоты собственных изгибных колебаний стержня, лежащего на двух опорах и несущего сосредоточенную массу. Сопоставлены результаты в соответствии с теорией Бернулли-Эйлера и Тимошенко при различном расположении массы и различных значениях относительного радиуса инерции. Работа [112] посвящена изгибным колебаниям стержня переменного поперечного сечения. Один конец стержня закреплен в упругой опоре, а другой свободен. На свободном конце стержня закреплена сосредоточенная масса. Стержень имеет кусочнопостоянное по длине ионерчное сечение прямоугольной формы. Проведен численный анализ зависимости наименьшей частоты свободных колебаний от
- Київ+380960830922