ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........................................................ 4
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК......................................................... 11
1.1. Обзор литературы и постановка задачи........................ 11
1.1.1. Обзор литературы...................................... 11
1.1.2. Постановка задачи..................................... 18
1.2. Преобразование уравнений теории упругости. Формулировка условий согласованности.................................................. 21
1.3. Вывод уравнений теории произвольных оболочек................ 28
1.4. Выводы к первой главе....................................... 35
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК.......................................... 36
2.1. Построение уравнений теории цилиндрических оболочек и формулировка краевых условий..................................... 36
2.2. Приведение краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью тригонометрических рядов в окружном направлении. Общие решения однородных систем дифференциальных уравнений....................................... 43
2.2.1. Преобразование двумерных уравнений с помощью
•фигономегрических рядов в окружном направлении.............. 43
2.2.2. Общие решения однородных уравнений.................... 47
2.2.3. Анализ корней основного характеристического уравнения 56
2.3. Приведение краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью тригонометрических рядов в продольном направлении. Общие решения однородных систем дифференциальных уравнений....................................... 57
2.3.1. Преобразование двумерных уравнений с помощью тригонометрических рядов в продольном направлении............ 57
2
2.3.2. Решение однородных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений................................. 62
2.4. Выводы ко второй главе.................................... 66
ГЛАВА 3. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК............................ 67
3.1. Обоснование применения операционного метода............... 67
3.2. Цилиндрическая оболочка под действием осесимметричной нагрузки. 70
3.3. Цилиндрическая оболочка под действием ветровой нагрузки... 87
3.4. Цилиндрическая оболочка под действием нагрузки, изменяющейся по закону собгпО в окружном направлении........................... 107
3.5. Выводы к третьей главе.................................... 118
ГЛАВА 4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ........................................ 120
4.1. Влияние краевых условий................................... 120
4.2. Влияние толщины оболочки.................................. 126
4.3. Влияние длины оболочки.................................... 132
4.4. Влияние характера нагрузок................................ 135
4.5. Выводы к четвертой главе.................................. 137
ГЛАВА 5. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ....................................................... 139
5.1. Уравнения движения оболочки............................... 139
5.2. Свободные колебания оболочки, шарнирно опертой по двум концам... 140
5.3. Исследование влияния краевых условий на свободные колебания оболочки....................................................... 155
5.4. Сравнение результатов, полученных по разным теориям....... 161
5.5. Выводы к пятой главе...................................... 165
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................... 166
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.............................................. 168
3
ВВЕДЕНИЕ
Современная техника выдвинула в теории пластинок и оболочек более сложные проблемы, чем тс, которые исследуются классической теорией типа Кирхгофа - Лява. Один из аспектов этих проблем заключается в построении более достоверных методов определения напряженно — деформированного состояния (НДС) вблизи зон искажения напряженного состояния (области вблизи крепления конструкций, действия локальных и быстро изменяющихся нагрузок), а также элементов конструкций, выполненных из неоднородных материалов. Это объясняется тем, что для этих случаев классическая теория не дает удовлетворительного соответствия с практикой в силу существенной трехмерности НДС.
Поэтому для описания объемного НДС необходимо построить уточненные теории пластинок и оболочек, базирующиеся на трехмерных уравнениях теории упругости. Такой подход позволит более точно определить НДС для тонких оболочек вблизи соединений и стыков, в том числе выполненных из неоднородных материалов, в местах приложения локальных нагрузок, а для нетонких оболочек - и во внутренних областях.
Построение уточненных теорий и методов определения НДС указанных элементов строительной механики позволит решить проблему расчета на прочность таких авиационных конструкций, как силовые корпуса летательных аппаратов, различные переходные зоны, а также элементов конструкций в различных отраслях машиностроения и в строительном деле.
Учет трехмерности НДС в элементах конструкций в сочетании с методами механики разрушения дает возможность оценить трещиностойкость в наиболее нагруженных зонах, более обоснованно выбрать тип конструкционного материала и рациональным образом распределить его вблизи концентраторов напряжений.
4
Здесь возникает также важная задача о расчетном определении параметров собственных колебаний пластинок и оболочек, так как они часто используются в качестве расчетных схем при исследовании колебательных движений. В динамике упругих летательных аппаратов возникает много различных проблем, связанных с определением динамических нагрузок, обеспечением виброустойчивости, снижением уровня вибраций и шума. Для этого выполняются соответствующие теоретические исследования и расчеты, проводятся необходимые экспериментальные исследования.
В связи с этим применение уточненных методов расчета пластинок и оболочек, позволяющих рассчитывать колебания более высоких частот, чем определяемых классической теорией, например, колебания, вызванные ударными воздействиями, представляет собой важную в научном и практическом отношении проблему.
Результаты расчета общего, местного НДС и колебаний пластинок и оболочек могут быть использованы при обосновании режимов лабораторных исследований на действие статических нагрузок, вибраций и ударов.
Поэтому разработка методов прогнозирования ЫДС и вибродинамического состояния пластинок и оболочек, уточняющих результаты классической теории и применяемых на этапах проектирования перспективной техники, представляет собой актуальную проблему.
Объект диссертационного исследования -оболочечные конструкции.
Предмет исследования — методы расчета НДС и колебаний оболочек на основании энергетически согласованной теории оболочек, позволяющие уточнить результаты классической теории.
Целью диссертации является построение математической модели определения НДС произвольной оболочки, в том числе круговой цилиндрической оболочки, на основе энергетически согласованной теории; исследование НДС круговой цилиндрической оболочки с различными
5
краевыми условиями при действии локальных и распределенных нагрузок различной изменяемости, а также свободных колебаний цилиндрической оболочки.
Задачи работы, решаемые для достижения поставленной цели:
1. Построение системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей равновесие оболочки, на основе трехмерных уравнений теории упругости в триортогональной криволинейной системе координат и принципа виртуальных перемещений.
2. Построение для круговой цилиндрической оболочки системы уравнений в перемещениях с соответствующими краевыми условиями.
3. Разработка метода расчета оболочки, находящейся под действием локальных нагрузок, при различных краевых условиях с помощью аппарата операционного исчисления.
4. Проведение параметрических исследований по оценке влияния типа нагружения, условий закрепления и геометрических параметров оболочки на ее НДС. Сравнение результатов расчета НДС, полученных в диссертационной работе, с данными классической теории.
5. Построение уравнений для определения характеристик свободных колебаний цилиндрической оболочки, их анализ с использованием вариационного метода Бубнова - Галеркина и сравнение полученных результатов с данными классической теории.
Методы исследования
В диссертационной работе основу исследований составляют трехмерные уравнения теории упругости в триортогональной криволинейной системе координат, энергетически согласованное направление в теории оболочек, аппарат операционного исчисления, вариационный метод Бубнова - Галеркина.
Научная новизна работы заключается в следующем:
6
1. Впервые построены двумерные уравнения и граничные условия для определения НДС произвольной оболочки в рамках энергетически согласованного подхода с использованием разложения компонентов НДС по полиномиальным рядам, зависящим от нормальной координаты. С помощью принципа возможных перемещений трехмерная проблема приводится к двумерной с согласованным количеством дифференциальных уравнений и краевых условий.
2. Для круговой цилиндрической оболочки получена система дифференциальных уравнений в перемещениях и сформулированы граничные условия для всех случаев крепления оболочки.
3. С помощью аппарата операционного исчисления разработана методика расчета круговой цилиндрической оболочки с различными краевыми условиями под действием различных видов локальных нагрузок, что позволило вдвое сократить число произвольных постоянных интегрирования и существенно упростить аналитическое решение задачи.
4. На основе энергетически согласованной теории оболочек построены уравнения и граничные условия для свободных колебаний цилиндрической оболочки, с их помощью впервые получены высокие частоты колебаний, не описываемые в классической теории.
Достоверность и обоснованность научных положений и результатов обеспечивается корректным использованием законов и уравнений механики деформируемого твердого тела, применением для решения краевых задач строгих математических методов, а также многочисленными сравнениями результатов расчета с известными теоретическими данными, подтверждающими их хорошее согласование для ряда конкретных задач.
Практическую ценность диссертационной работы составляют
1. Предложенные в работе математические модели, методы и алгоритмы расчета, позволяющие существенно уточнить НДС оболочечных конструкций в зонах искажения напряженного состояния.
7
2. В проведении качественного и количественного анализа влияния вида нагружения, условий закрепления, геометрических параметров цилиндрической оболочки на ее НДС и характеристики свободных колебаний.
3. В доказательстве наличия в тонких и менее тонких оболочках поперечных нормальных напряжений, соизмеримых с максимальными тангенциальными напряжениями, которые существенно повлияют на оценку прочности оболочек из изотропных и композиционных материалов.
4. В возможности определения амплитуд и частот свободных колебаний цилиндрической оболочки, соответствующих более высоким тонам.
5. Результаты, полученные на основе теоретических и численных исследований, могут быть использованы на этапе проектирования при оценке прочности конструкций расчетными и экспериментальными методами.
Основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту
1. Математические модели определения НДС произвольных оболочек, в том числе круговых цилиндрических оболочек, позволяющие существенно уточнить НДС, особенно в зонах искажения напряженного состояния.
2. Методика расчета круговой цилиндрической оболочки под действием локальных и распределенных нагрузок, основанная на аппарате операционного исчисления, упрощающая решение соответствующих краевых задач.
3. Доказательство существования быстро затухающих при удалении от зон искажения напряженного состояния поперечных нормальных напряжений, что подтверждается наличием дополнительных корней характеристического уравнения задачи.
4. Уравнения свободных колебаний цилиндрической оболочки, позволяющие получить формы и частоты, соответствующие первым восьми тонам колебаний.
Апробация работы и публикации
Результаты диссертационной работы докладывались на
8
- XIV-м, XVI-м, XVII-м международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Ярополец. Московская обл., 2008, 2010, 2011 г.г.;
- научно - практической конференции студентов и молодых ученых МАИ «Инновация в авиации и космонавтике - 2010». Москва, 2010 г.;
- VIII-й всероссийской юбилейной научно-технической конференции «Проблемы совершенствования робототсхнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов». Москва, 2010 г.
Работа в целом обсуждалась на заседании кафедры № 906 Московского авиационного института (государственного технического университета) и научном семинаре им. Горшкова «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин».
Основные результаты диссертации опубликованы в 12-и печатных работах [88 - 99], в том числе в 4-х статьях из Перечня, рекомендованного ВАК РФ.
Объем и структу ра работы
Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы. Работа содержит 178 страниц, 75 рисунков, 7 таблиц. Список литературы содержит 117 наименований.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, представлены объект и предмет научных исследований, сформулированы цель и задачи исследования, определена научная новизна и практическая ценность полученных автором результатов, приведены основные положения, выносимые на защиту, дано краткое содержание работы по главам.
В первой главе представлены обзор литературы и постановка задачи, определена проблема приведения трехмерных уравнений теории упругости в криволинейной ортогональной системе координат к двумерным уравнениям энергетически согласованной теории оболочек. При построении теории
9
сформулированы условия согласованности, позволяющие полно удовлетворить уравнениям равновесия и краевым условиям оболочки.
Во второй главе на основе дифференциальных уравнений и краевых условий, полученных в первой главе, построены уравнения теории круговой цилиндрической оболочки и метод решения постановленных задач.
В третьей /лаве с помощью операционного метода, основанного на преобразовании Лапласа, получены аналитические решения для замкнутой круговой цилиндрической оболочки с различными краевыми условиями при действии распределенной и локальной нагрузок. Применение преобразования Лапласа дает существенное преимущество по сравнению с классическими методами. При этом краевые условия на одном конце оболочки автоматически выполняются, что вдвое сокращает число произвольных постоянных при интегрировании дифференциальных уравнений.
В четвертой главе проведены результаты параметрических расчетов по исследованию влияния краевых условий, геометрических параметров и изменяемости нагрузки на НДС оболочки, дано сравнение результатов, полученных в данной работе, с классической теорией.
В пятой главе исследуются свободные колебания круговой цилиндрической оболочки. При помощи вариационного метода Бубнова -Галеркина исследовано влияние различных факторов, в том числе краевых условий, толщины оболочки, числа полуволн в окружном и продольном направлениях, на собственные частоты колебаний. Дано сравнение результатов, полученных в данной работе с другими известными теориями.
10
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК
В данной главе рассматривается построение уравнений теории произвольных оболочек на основе энергетически согласованном направлении, позволяющей уточнить классическую теорию типа Кирхгофа — Лява. При классическом походе к построению теории оболочек рассматривается деформирование их срединных поверхностей, что приводит к геометрической модели представления оболочек в виде двумерных поверхностей. На современном этапе развития теории оболочек, когда потребовался учет поперечных деформаций, геометрические представления вошли в противоречие с физической сущностью [14, 15, 74] оболочки, как трехмерного тела.
Задача сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям общей теории оболочек осуществляется путем разложения перемещений в полиномиальные ряды по нормальной координате. Формулируются условия согласованности разложений для перемещений, получены дифференциальные уравнения двумерной теории произвольных оболочек и соответствующие краевые условия.
1.1. Обзор литературы и постановка задачи
1.1.1. Обзор литературы
В настоящее время инженерные расчеты тонкостенных элементов конструкций типа пластин и оболочек в машиностроении, в том числе в авиационной и ракетно-космической отрасли, базировались на результатах классической теории пластин Кирхгофа и классической теории оболочек типа Лява. В основу этих теорий была положена гипотеза о сохранении нормального
11
элемента, которая позволила привести трехмерную проблему теории упругости к двумерной.
Теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа — Лява, была
построена в конце XIX века. Оформление классической теории оболочек, продолжавшееся около 100 лет, было, в основном завершено примерно 50 лет назад. С.А. Амбарцумян, H.A. Алумяэ, H.H. Вскуа, В.В. Болотин, В.З. Власов, A.C. Вольмир, Б.Г. Галеркин, A.J1. Гольденвейзер, Э.И. Григолюк, В.М. Даревский, H.A. Кильчевский, А.Д. Коваленко, М.А. Колтунов, А.И. Лурье,
Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, П.Ф. Папкович, Ю.Н. Работнов, С.П.
Тимошенко, И .Я. Штаерман, Г. Рейсснер, Э. Мейсснер, Ф. Дишингер, В. Флюгге, Л. Доннелл, Э. Рейсснер и др. создали теорию оболочек, с успехом применяемую в практике инженерных расчетов машиностроительных и строительных конструкций.
Основным теоретическим результатам, полученным в классической теории оболочек, посвящены известные монографии В.З. Власова [18], АЛ.
Гольденвейзера [32], А.И. Лурье [62], В.В. Новожилова [68], С.П. Тимошенко [82]. Фундаментальные исследования по нелинейной теории оболочек принадлежат A.C. Вольмиру [21, 22] и Х.М. Муштари, К.З. Галимову [64].
Краткий очерк развития теории оболочек можно найти в работах [4, 21, 23, 57, 67]. По мере развития теории оболочек появились обзорные статьи, либо охватывающие работы за определенный период, либо посвященные отдельными ее проблемам. Краткие обзоры исследований по расчету оболочек за различные периоды можно найти в работах [72, 73, 75, 85], иностранных ученных в работах [104, 112 - 114]. Основные положения классической теории можно найти также в следующих монографиях и учебных пособиях [42, 46, 71, 78, 100-102, 106].
Исследованиями НДС цилиндрических оболочек, находящихся под действием сосредоточенных и локальных нагрузок занимались В.З. Власов [18],
12
Э.И. Григолюк, В.М. Толкачев [35], Н.Г. Гурьянов [38], В.М. Даревский [40, 41, 43], Ю.П. Жигалко [49], С. Лукасевич [61], Б.В. Нерубайло [65, 66] и др.
Современная техника выдвинула в теории пластинок и оболочек более сложные проблемы, чем те, которые исследуются классической теорией. Один из аспектов этих проблем заключается в построении НДС вблизи мест крепления конструкций, так как в этом случае теория типа Кирхгофа - Лява не дает удовлетворительного соответствия с практикой в силу существенной трехмерности НДС.
Применение в различных отраслях техники композиционных материалов слоистой и волокнистой структуры, а также разработка новых методов расчета оболочечных конструкций из неоднородных материалов [6, 12, 47, 48, 70| показали неправомерность, в гой или иной степени, использования классической теории для этих материалов [75]. Поэтому основные усилия исследователей были направлены па усовершенствование [16] теорий типа Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейсснера.
Погрешность классической теории определяется, во-первых, мерой близости абстрактного материала, не допускающего поперечных деформаций, реальному материалу оболочки и, во-вторых, переопредсленностыо задачи, что потребовало введения обобщенной поперечной силы Кирхгофа. Первая оценка погрешности классической теории произведена В.В. Новожиловым и P.M. Финкельштейном [69], которая основывается на геометрических особенностях оболочки. Х.М. Муштари и К.З. Галимов [64] получили оценку, исходя из физических соображений. Оценка A.A. Гользенвейзера [32] получена методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости и в отличие от оценки [69] учитывает изменяемость НДС в оболочке. Классическая теория пластин и оболочек проверена временем и для ее использования имеется широкое поле практического применения. Однако физическую стройность классическую теории нарушает необходимость введения поперечной силы Кирхгофа.
13
Для устранения недостатка, связанного с переопределенностью задачи, необходимо было учесть деформации поперечного сдвига. В связи с этим была разработана сдвиговая теория оболочек типа Тимошенко-Рейсснера [81, 82]. К этому направлению развития теории оболочек принадлежат работы С.А. Амбарцумяна [5], Б.Ф. Власова [17J, Я.С. Уфлянда [84J, М.П. Шереметьева и Б.А. Пелеха [103] и т.д. Современное изложение сдвиговой теории пластин приведено в статье В.В. Васильева [13]. В сдвиговой теории поперечные деформации растяжения (сжатия) по-прежнему не учитываются, а для учета поперечных деформаций сдвига используются различные приемы [75]. В результате в сдвиговой теории исчезла погрешность, связанная с обобщенной силой Кирхгофа, но осталась погрешность, определяемая физической моделью материала, а также появляется такой недостаток, как невозможность учета самоуравновешенных составляющих краевых сил.
На всем протяжении развития теории оболочек разрабатывались математические направления в теории оболочек. Математические направления развития теории оболочек ведут свое начало в работах выдающихся математиков О. Коши (A. Cauchy) [105], С. Пуассона (S. Poisson) [115], опубликованных соответственно в 1828 и в 1829 годах. Обзор работ этого направления содержится в статье A.J1. Гольденвейзера и А.И. Лурье [34], в монографии [56] и статье [55] И.А Кильчевского, в статье И.И. Воровича [25].
Разложение перемещений, деформаций и напряжений в ряды по поперечной координате позволяет понизить размерность уравнений теории упругости на единицу. Но это достигается ценой увеличения числа двумерных уравнений до бесконечности, что имеет свои практические неудобства. Поэтому при построении теории оболочек основное внимание уделяется проблеме редукции бесконечной системы двумерных уравнений к конечной системе. Несколько разных способов такой редукции содержится в монографиях H.A. Кильчевского [56J и И.Н. Векуа [16]. Характерной особенностью рассматриваемого направления развития теории оболочек
14
является полное удовлетворение закона Гука и геометрии перемещений сплошной среды. Вследствие этого редукция бесконечной системы уравнений к конечной неизбежно входит в противоречие с локальными уравнениями равновесия. Из теорем теории упругости известно, что локальные уравнения равновесия доставляют минимум потенциальной энергии упругого тела, при котором реализуются истинные перемещения [63]. Отсюда следует, что решения редуцированных уравнений могут оказаться близкими к точным только в тех задачах, где нарушения локальных уравнений равновесия незначительны. В противном случае могут иметь место существенные ошибки.
Свыше шестидесяти лет тому назад для построения теории оболочек стали применять асимптотические методы, приводящие, в конечном итоге, к представлению решения в виде рядов, расположенных по степеням малого параметра е - относительной толщины пластинки или оболочки. Асимптотические методы превратились в основной инструмент преобразования уравнений классической теории оболочек. Асимптотические методы нашли успешное применение в исследованиях A.J1. Гольденвейзера [29 - 34], В.В. Болотина [10], К. Фридрихса [107], Э. Рейсснера [117], М. Джонсона и Э. Рейсснсра [109], Э. Рейсса [116], А. Грина [108], В. Койтера [110], И.И. Воровича [3], И.М. Рапопорта [80], A.B. Колос [58], П.В. Товсгика [83], JI.A. Агаловяиа [1, 2], Ю.Д. Каплунова [53, 54] и других авторов, работы которых можно найти в обзорных докладах [26, 28].
В соответствие с этим методом задача определения НДС пластинок и оболочек приводится к построению итерационных процессов, один из которых определяет основное напряженное состояние, а другие итерационные процессы позволяют получить быстро затухающие при удалении от края самоуравновешенные напряженные состояния (НДС типа «погранслой») плоской и антиплоской задач со стандартными условиями.
Анализ сформулированных краевых задач для определения НДС типа «погранслой» в прямоугольной ортотропной пластинке [86] и цилиндрической
15
- Київ+380960830922