Об устойчивости положения равновесия нестационарной механической системы

Оглавление
Введение...................................................... 3
Глава 1. Об устойчивости положения равновесия механической системы под Действием сил, зависящих от времени.............................................11
§1.1. Постановка задачи..............................12
§1.2. Об устойчивости положения равновесия системы под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил...................................................19
§1.3. Задача об устойчивости под действием гироскопических и диссипативных сил ...............................27
§1.4. О влиянии неконсервативных сил на устойчивость положения равновесия механической системы....................35
Глава 2. Об усч'ойчивости и стабилизации положения равновесия механической системы с
нестационарными связями .................................. .38
§2.1. Об устойчивости положения равновесия системы
с нестационарными связями ;................................. 39
§2.2. О стабилизации установившегося движения
механической системы на подвижном основании..................53
§2.3. Об устойчивости функционирования гирокомпаса 63
§2.4. Об устойчивости функционирования гирого-ризонткомпаса на подвижном основании.........................68
Заключение...................................................86
Литература...................................................88
2
ВВЕДЕНИЕ
Задача об устойчивости положения равновесия механической системы является классической задачей в теории устойчивости. Теорема об устойчивости положения равновесия под действием потенциальных сил была сформулирована Лагранжем (L.Lagrange[117]) еще в 1788 году, а ее доказательство было дано Дирихле (G.Lejeune-Dirichle L118j). Дальнейшее исследование связано с именами Томсона и Тета [121], которые сформулировали известные четыре теоремы о влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия. Их строгое доказательство было дано Н.Г. Четаевым [107,108]. В последующие годы данная задача многосторонне исследовалась в трудах многих ученых.
Задача об устойчивости положения равновесия механической системы со стационарными связями под действием сил, не зависящих явно от времени, в настоящее время достаточно подробно изучена. Показано, что она в общем случае может быть рассмотрена как задача об устойчивости под действием потенциальных, нокон-сервативных, гироскопических и диссипативно-ускоряющих сил (см. [62,69]). Основной метод исследования заключается в составлении уравнений линейного приближения и в определении их устойчивости на основе корней характеристического уравнения или построения функции Ляпунова. Многочисленные результаты в этой области подробно представлены в известных монографиях [63,69,70]. В последующем существенные результаты получены в работах [1-3,28,29,42-44, 52,59,80,99,100]. Их структура и сравнительный анализ освещен в этих работах достаточно подробно.
3
К задаче об устойчивости положения равновесия тесно примыкает задача об устойчивости стационарных движений механических систем, в основе исследования которой — метод Четаева связки интегралов и теоремы типа теорем Рауса-Л япунова [8,49,58,81,91,109, 119 и др.]. Однако ее исследование даже в случае потенциальных сил осложняется появлением в уравнениях Рауса дополнительных слагаемых гироскопического характера. Подробный анализ результатов в этой области проведен в обзорах [50,84,91].
Основной областью применения разработанных методов исследования устойчивости под действием структуры сил являются задачи об устойчивом функционировании гироскопических систем [41,43,46,47,53,57,95,96]. При этом, эти методы используются как для анализа устойчивости по прецессионным уравнениям [46,53,69], так и по полным уравнениям движения [41,45,55,56,97,98]. При ис следовании устойчивости на основании полных уравнений успешно применяется прямой метод Ляпунова с использованием функции Ляпунова в виде полной энергии [41,78,89] или связки интегралов [81,97-99], а так же построением специальных функций Ляпунова.
Результаты общих исследований о влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия стационарной механической системы с успехом используются в решении многих задач о стабилизации установившегося движения управляемой механической системы [54,57,60,78,79,86,88,92].
Подробнее остановимся на результатах исследования задачи об асимптотической устойчивости положения равновесия нелинейной механической системы как наиболее примыкающей к теме работы.
В.В. Румянцевым [85] и В.М.Матросовым [65] была показана асимптотическая устойчивость положения равновесия нелинейной механической системы по скоростям под действием гироскопических сил и сил полной диссипации. В.М. Матросовым в [66] рассмотрена механическая систем 1*1, у которой некоторые коэффициенты устойчивости Пуанкаре равны нулю, а остальные больше нуля. Под действием диссипативных сил с полной диссипацией и произвольных
4
гироскопических сил получили, что нулевое положение равновесия системы устойчиво, а всякое возмущенное движение стремится к одному из имеющихся положений равновесия.
В работе Г.К. Пожарицкого [82] ,6ыла исследована асимптотическая устойчивость под действием сил частичной диссипации. В этой работе указаны условия при которых введение диссипации по части координат обеспечивает асимптотическую устойчивость изолированного положения равновесия. Устойчивость неизолированного положения равновесия системы с двумя степенями свободы рассмотрена в [103].
В работах [66,67,82] по существу содержалось доказательство в общем случае теоремы об асимптотической устойчивости изолированного положения равновесия автономной механической системы под действием сил полной диссипации. Несколько более полно оно было дано Л.Сальвадори в [119], к которому и относят этот результат [93]. В [66,67] указан соответствующий результат о неустойчивости. Этот же результат на основе использования теоремы Барбашина-Красовского в нелинейной постановке дан В.Г.Койтером (см.[93]), а затем уточнен в [55,93].
Условия асимптотической устойчивости по скоростям и части координат нулевого положения равновесия автономной механической системы под действием сил полной и частичной диссипации получены в работах [77,85,87].
До настоящего времени остается мало исследованной задача об устойчивости положения равновесия в случае, когда действующие силы зависят от времени или на систему наложены нестационарные связи. Это объясняется как сложностью использования в исследованиях уравнения линейного приближения, так и сложностью построения специальных функций Ляпунова.
Вместе с тем, задача об устойчивости положения равновесия нестационарной механической системы является актуальной, т.к. она имеет широкое приложение в исследовании устойчивости программных движений механических систем, в исследовании устойчи-
вости функционирования гироскопической системы, установленных на объекте, совершающем нестационарное пространственное движение.
Задача об устойчивости программных движений возникла в процессе обоснования методов решения обратных задач механики [32,33,38,39]. Основное развитие этого важного направления аналитической механики и теории устойчивости получило в трудах научной школы, возглавляемой A.C. Галиуллиным [37-39]. Среди многочисленных работ этой школы отметим исследования по обоснованию динамики систем с устойчивыми программными связями в работах [74-76], т.к. результаты данной диссертации могут в дальнейшем развиты для задачи об устойчивости систем программных движений именно в направлении, развитом в этих работах.
Задача об устойчивости гироскопических систем на подвижном основании исследовалась следующими методами. Изменяющиеся во времени параметры системы принимались в виде периодических по времени или стахостических функций [43,63,95], что позволяет использовать для определения влияния изменения параметра по времени на устойчивость установившегося режима работы гироскопа методы исследования нелинейных систем [30,40,43,83,95,105].
В работе В.М. Матросова [68] рассматривается механическая система на подвижном основании, несущая гироскопы, вращающиеся с постоянной угловой скоростью. При наличии сил коррекции гироскопическая система определяет заданную ориентацию. Условие асимптотической устойчивости заданной ориентации найдено с построением функции Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.
Подробнее остановимся на анализе работ, определяющих условия устойчивости нестационарной системы, в зависимости от структуры сил.
В.М.Матросовым в [67] показана асимптотическая устойчивость и неустойчивость изолированного положения равновесия механической системы под действием диссипативных и гироскопических
6
сил, зависящих явно от времени, в зависимости от наличия минимума потенциальной энергии в этом положении.
Асимптотическая устойчивость но координатам аналогичной системы, но с потенциальной энергией n(t,q) = p(t)II[)(q) при условиях p(t) > 0,р(£) > 0, показана Л.Сальвадори в [120].
Условия асимптотической устойчивости и неустойчивости для механической системы с одной степенью свободы и переменными коэффициентами демфирования получены в [113].
Работы по исследованию частичной асимтотической устойчивости положения равновесия механической системы выполнены И. Тереки, Л.Хатвани, Л.Хатвани и Й.Тереки [101,103,106]. Различные условия асимптотической устойчивости, асимптотической устойчивости по скоростям и сходимости движений по координате для механической системы с одной степенью свободы получены в работах [106,114]. В [114] показана асимптотическая устойчивость и неустойчивость но скоростям и части координат механической системы под действием гироскопических и диссипативных сил, зависящих от времени, когда потенциальная энергия определенно-положительна, допускает бесконечно малый высший предел но этим координатам. Условия асимптотической устойчивости по скоростям под действием диссипативных сил, в том числе неограниченных, и предельное поведение при этом достаточно малых возмущенных движений исследованы в [102,103,114-116]. Среди результатов последнего времени по исследованию положения равновесия нестационарной механической системы большой интерес представляют работы [72,73].
Новые методы исследования устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений позволили A.C. Андрееву получить различные результаты но исследованию устойчивости положения равновесия неавтономных механических систем и их стабилизации [6,7,11,12,14,15].
Целью настоящей диссертации является развитие результатов работ [6-16] об исследовании задачи об устойчивости положения равновесия неавтономных механических систем и гироскопических