2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.................................................. 4
ГЛАВА I. Дифференциальные уравнения второго порядка на многообразиях
§1. Показатели Ляпунова систем уравнений
в вариациях для многообразий............................ 39
§2. Семейства дифференциальных уравнений и
показатели Ляпунова как функции параметра............... 44
§3. Векторные поля на касательном пространстве............ 48
ГЛАВА И. Голономные механические системы
§1. Геометрические основы реономной динамики.............. 54
§2. Показатели Ляпунова для механических систем........... 61
ГЛАВА III. Правильные системы дифференциальных уравнений
§1. Точки непрерывности показателей Ляпунова
правильных систем....................................... 65
§2. Примеры............................................... 76
ГЛАВА IV. Твердое тело с одной закрепленной точкой §1. Силовые характеристики, вызывающие
регулярную прецессию ...................................... 82
§2. Структура потенциала и существование
регулярных прецессий.................................... 94
з
ГЛАВА V. Уравнения в вариациях для регулярных прецессий
§1. Уравнения первого приближения для
несимметричного твердого тела :.......................... 120
§2. Устойчивость симметричного твердого тела............... 130
§3. Регулярная прецессия симметричного тела
в ньютоновском центральном поле.......................... 142
§4. Пример разрыва показателей Ляпунова для регулярных прецессий................................ 147
ГЛАВА VI. Устойчивость прецессионного движения планет
§1. Прецессия планет и ее характеристики................... 153
§2. Устойчивость прецессий планет Солнечной системы................................................. 165
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................. 172
ЛИТЕРАТУРА
174
4
Введение
Определенные в 1905г. Р.Вэром [1] классы измеримых функций представляют с одной стороны глубокий математический интерес, так как с их помощью можно фиксировать степень разрывности функции, заданной на метрическом или произвольном топологическом пространстве, а также дать описание множества точек разрыва.
С другой стороны, каждая такая функция, взятая в качестве характеристики некоторого естественно-научного объекта, отражает реакцию этого объекта на изменение его структуры, следовательно, бэровская классификация обладает прикладной значимостью.
Подобными функциями, в частности, являются характеристические показатели систем обыкновенных дифференциальных уравнений, введенные в 1892г. А.М.Ляпуновым [2], или их обобщение, данное в 1980г. В.М.Миллионщиковым [3]: показатели Ляпунова морфизмов в категории векторных расслоений.
Среди материальных объектов, движение которых описывается системами дифференциальных уравнений, выделяются механические системы, как известно [4], конфигурационным пространством у них служит гладкое многообразие. Показатели Ляпунова системы уравнений в вариациях, составленной для соответствующего невозмущенного решения, характеризуют степень устойчивости, а их бэровские классы отражают структурную устойчивость, например, когда система содержит параметры, эти классы являются характеристиками параметрической устойчивости.
5
Согласно Бэру функция, предельная для последовательности непрерывных функций, называется функцией первого класса. В общем случае она не является непрерывной, однако точек ее разрыва мало в том смысле, что они составляют множество первой категории, т.е. представимое в виде не более, чем счетного объединения нигде не плотных множеств [5]. Известно также [С], что в каждом замкнутом подмножестве области определения функции первого класса имеется хотя бы одна точка непрерывности.
Функция, являющаяся пределом последовательности функций первого класса, относится ко второму бэровскому классу. Она может быть разрывной всюду, как показывает ее классический пример -функция Дирихле.
Вообще, каждый последующий класс определяется аналогичным образом, а нулевой составляют непрерывные функции. Полагается также, что каждый бэровский класс вложен в предыдущий.
Определение класса функции, следовательно, устанавливает степень реакции свойств того или иного объекта, которые отражает данная функция. В качестве математического объекта могут быть выбраны морфизмы векторных расслоений, снабженные метрикой, индуцированной но базе, которая предполагается полным метрическим пространством, а в роли самих функций могут выступать показатели Ляпунова: соответствующее определение, обобщающее понятие
характеристического показателя, ввел Миллионщиков [3], одновременно доказав теорему, устанавливающую их бэровский класс - второй.
б
Неулучшаемость этой оценки доказал в 1982г. М.И.Рахимбердиев [7], построив пример системы дифференциальных уравнений с показателями Ляпунова, не являющимися функциями первого класса.
Тот факт, что этот класс не нулевой, был установлен ранее в 1928г. О.Перроном [8], который привел пример, когда система, непрерывно зависящая от параметра, имеет точку разрыва характеристического показателя.
Оба указанных примера относятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, определенных в Еп и записанных в нормальной форме, между тем как область применения теоремы Миллионщикова охватывает в числе прочих объектов динамические системы на многообразиях и дифференциальные уравнения произвольного порядка. Таковыми, в частности, являются лагранжевы уравнения движения механических систем, где каждое имеет второй порядок. Также характерной особенностью механических систем является то обстоятельство, что они как правило содержат параметры, часто существенно влияющие на одно из важнейших свойств движения - его устойчивость.
Характеристические показатели служат именно тем инструментом, с помощью которого оказывается возможным исследовать вопросы сохранения устойчивости при изменении структуры уравнений, например, при меняющихся параметрах.
Темой настоящей работы является структурная устойчивость механических систем, основанная на бэровской классификации показателей Ляпунова для систем уравнений движения.
7
Диссертация разделена на шесть глав.
В первой главе приводится определение показателей Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения, в качестве которого далее везде выбирается система дифференциальных уравнений, притом непрерывно зависящая от параметров. Результат Миллионщикова [3] (1980г.) об их принадлежности второму бэровскому классу был сформулирован как для исходно линейных систем [9], так и для систем уравнений в вариациях, полученных линеаризацией задачи Коши [10], причем сама система полагалась определенной на дифференцируемом многообразии.
В 1988г. Миллионщиков исследовал случай [11], когда задано непрерывное отображение некоторого топологического пространства в базу векторного расслоения, что отвечает зависимости показателей Ляпунова от параметров. Областью определения показателей тогда служит именно указанное пространство, и как функции параметра они принадлежат второму бэровскому классу.
В первой главе диссертации излагается результат автора [12] о применении теоремы Миллионщикова к зависящим от параметра системам дифференциальных уравнений на многообразии и формулируется утверждение о принадлежности соответствующих показателей Ляпунова ( как функций параметра) второму бэровскому классу.
Подобные функции, как отмечалось, могут быть всюду' разрывными, однако они ” лучше”, чем представители более высоких классов следующим: для них является типичной полунепрерывность сверху.
3
Типичность здесь понимается в смысле Бэра [5]. Имеется в виду, что указанное свойство выполняется на множестве точек, содержащем всюду плотное множество типа 6^; так, в свою очередь, называется пересечение не более, чем счетной совокупности открытых множеств.
Следует заметить также, что вещественнная функция /, определенная на топологическом пространстве, называется полунепрерывной сверху [13], если для любого х из этого пространства и любого вещественного числа г, удовлетворяющего неравенству 1'(х) < г, существует такая окрестность II точки х, что /(х') < г для любого х' € Ьт.
Наконец, в первой главе излагаются дифференциальногеометрические основы аналитической механики с той точки зрения, которая определена работами Ж.Клейна (1962-63) и К.Годбийона (1967-69). В частности, используется понятие дифференциального уравнения второго порядка на ( бесконечно ) дифференцируемом многообразии как векторного поля, которое с помощью так называемых вертикальных дифференциальных операторов приводит к уравнениям Лагранжа механической системы, записанным в локальных координатах. Формализованное определение механической системы позволяет сопоставить ей единственное уравнение второго порядка на соответствующем конфигурационном пространстве.
Тем самым выявляется путь, открывающий область применимости и дальнейшего развития результатов о бэровских классах показателей Ляпунова - по отношению к механическим системам.
9
Именно этим вопросам посвящена вторая глава диссертации.
В механике исходная система дифференциальных уравнений носит название уравнений движения, решение, исследуемое на устойчивость, называется невозмущенным движением, а соответствующая ему линеаризованная система в вариациях - уравнениями возмущенного движения первого приближения.
Матрица этой системы является постоянной, если невозмущенное движение стационарное, т.е. описывается постояннными значениями фазовых переменных, а система уравнений автономная, что имеет место всякий раз, когда соответствующая механическая система ~ склерономная. Для консервативных систем, в частности, такое означает, что выражение кинетической энергии Г(ф,.... с/т, .... qm) = Е сы(д 1, • • • > Ят) ЯиЯ1 и потенциальной энергии Щди..., дт) через обобщенные координаты и скорости не содержит время t.
В общем случае матрица системы уравнений первого приближения х = А^)х - переменная, и в дальнейшем она полагается ограниченной на 1£+ и кусочно-непрерывной. Зависимость ,4 от времени имеет место, если даже исследуемое движение описывается совокупностью постоянных координат, но сама механическая система - реономная; для консервативных систем функции Г и П тогда будут зависящими от £.
Как уже отмечалось, основы математической формализации механических систем описаны в [4], где рассмотрены именно склероНОМIIые системы.
10
Во второй главе диссертации аналогичное изучение проведено в отношении реономиых систем. Кинетическая энергия и векторное поле, соответствующее активным силам, определены в этом случае на прямом произведении дифференцируемого многообразия Мт и вещественной прямой Н = {£}. В связи с этим введено понятие неавтономного дифференциального уравнения второго порядка как векторного поля на прямом произведении касательного пространства Т(М) и прямой К.
Как известно, классический вывод уравнений Лагранжа II рода предполагает рассмотрение вариаций обобщенных координат, что соответствует возможным, или виртуальным перемещениям - так определяются линейные части бесконечно малых перемещений в фиксированный момент времени. Сочетание подобного подхода к выводу уравнений движения с одной стороны и стремления перенести аппарат формализации механики на голономные системы привели здесь к необходимости ввести новые операторы вертикального варьирования и вертикального антиварьирования, а также внешнего варьирования, обобщающие вертикальные операторы [4] и оператор внешнего дифференцирования. С их помощью доказана теорема о том, что каждой голономной реономной механической системе отвечает неавтономное дифференциальное уравнение второго порядка.
В качестве одного из результатов в локальных координатах касательной расслоения выведены уравнения, имеющие вид классических уравнений Лагранжа II рода. Тем самым установлены геометрические основы голономной механики - как склерономных, так и реономиых систем.
II
Представляющая математический интерес доказанная теорема дает при этом возможность применить результаты первой главы, а именно, утверждение о принадлежности показателей Ляпунова второму бэровскому классу, - к характеристическим показателям уравнений возмущенного движения первого приближения, составленным для голономных систем. Показатели, таким образом, оказываются функциями второго класса, если рассматривать их зависимость от структуры лагранжевых уравнений движения, в частности, от параметров, фиксирующих вид и структуру самих систем.
Значимость этого вывода для механики определяется тем, что следующая отсюда типичная полунепрерывность сверху характеристических показателей позволяет оценить реакцию свойства устойчивости движения данной механической системы на изменение ее структуры, если рассматривается старший показатель: в случае его отрицательности сохранение устойчивости для малых изменений является типичным по Бэру. Отрицательность младших показателей, в свою очередь, означает наличие устойчивого многообразия ( соответствующей размерности ) в фазовом пространстве линейной системы и, следовательно, типичность сохранения его устойчивости.
Ряд задач механики, рассмотренных в диссертации, показывает, что условие ограниченности матрицы А(£) выполняется в большом числе случаев, таким образом, результаты главы применительны к широкому кругу ситуаций, когда исследуется устойчивость конкретных движений тех или иных механических систем.
12
В третьей главе диссертации рассматривается частная задача теории характеристических показателей, вообще возникающая всякий раз, когда исследуется разрывная функция, а именно, поиск ее точек непрерывности. В отношении показателей Ляпунова задача была впервые поставлена в 1985г. В.М.Миллионщиковым [14], при этом имелось в виду, что областью определения показателей служит все метрическое пространство Лп линейных систем дифференциальных уравнений вида х = Л(£)я, х Е Кп, Ь Е с ограниченной и кусочно-непрерывной матрицей А.
Здесь предполагается, что характеристические показатели определены на метрическом подпространстве 7£п систем, правильных по Ляпунову [2]. Это множество, как показано в работе, является плотным в себе, таким образом, понятие близости двух систем в метрике равномерной сходимости, т.е. в метрике объемлющего пространства, сохраняет свою интуитивную значимость для правильных систем дифференциальных уравнений.
Имеются различные критерии правильности; помимо классического определения А.М.Ляпунова следует отметить критерии О.Перрона [15], В.П.Басова [16], Р.Э.Винограда [17], работы Ю.С.Богданова [18],
В.Ф.Былова [19], А.С.Галиуллина [20], Д.М.Гробмана [21], Б.П.Демидовича [22], Ю.Г.Золотарева и В.Х.Харасахала [23], другие исследования по теории правильных систем указаны в обзорах
Н.А.Изобова [24,25].
Термин устойчивости применительно к характеристическим показателям в 1936г. ввел К.П.Персидский в [26], а в 1947г. он
13
доказал [27] устойчивость показателей линейных систем с постоянными коэффициентами, периодических систем и вообще приводимых систем дифференциальных уравнений. Эти результаты означают, в сущности, что названные системы являются точками непрерывности показателей Ляпунова в Лп. Как показал в 1953г. Р.Э.Виноград, аналогичный вопрос для правильных систем решается отрицательно [28.29]: им был построен пример правильной системы, показатели которой менялся скачкообразно при переходе к близкой системе.
Необходимые и достаточные условия устойчивости показателей Ляпунова были найдены в 1969г. независимо В.М.Миллионщиковым [30], а также Б.Ф.Быловым и Н.А.Изобовым [31], причем в обоих исследованиях применялся метод поворотов Миллионщикова. В частности, точками непрерывности показателей являются так называемые системы с интегральной разделейностью [22,32]; это множество Хп, как показал В.М.Миллионщиков [33], совпадает с открытым ядром множества всех систем с устойчивыми характеристическими показателями в Лп.
Для функций второго класса известна теорема Бэра, согласно которой сужение этой функции на некоторое всюду плотное множество С типа в области определения непрерывно. В качестве такого множества в Лп может выступать именно подпространство Хп: будучи открытым, как показал Б.Ф.Былов [32], оно является пересечением счетного количества своих экземпляров, т.е. множеством С6, кроме того, результат В.М.Миллионшикова [34] устанавливает, что множество Хп всюду плотно в метрическом пространстве Ап.
14
Что касается правильных систем, то далее сужения показателей Ляпунова на 71п в смысле бэровской классификации ”не лучше” самих показателей ъ Ап - они также имеют второй бэровский класс, как это следует из работы М.И.Рахимбердиева [7]. В качестве множества, аналогичного С, в этом случае может выступать множество ТпГ\Т1п , более того, каждая точка этого пересечения служит точкой непрерывности рассматриваемого сужения.
Целью исследования, изложенного в третьей главе, является определение достаточных условий для того, чтобы некоторая линейная система х = А(£) х, о которой известно, что она правильная, была точкой непрерывности функции, представляющей ограничение ( сужение ) показателя Ляпунова на 71п. Другими словами, -достаточные для того, чтобы система, близкая к правильной, имела близкие характеристические показатели при условии, что она также является правильной [35].
Исследование существенно использует доказанную О.Перроном возможность триангуляции матрицы .4 с помощью унитарной матрицы £/(£), от которой требуется [32], чтобы она была по меньшей мере абсолютно непрерывна, и это вызвано тем, что такая функция имеет конечную производную почти в каждой точке. При этом следует заметить, что если дана последовательность матриц линейных систем Аш —> .4, стремящихся к предельной матрице, то вообще нельзя утверждать, что соответствующая последовательность матриц, полученных триангуляцией Ат, является сходящейся. Удалось доказать однако, что не только из последовательности
15
триангулирующих унитарных матриц 1'т выделяется сходящаяся подпоследовательность, но предельная матрица служит именно той, которая триангулирует А, если она абсолютно непрерывна.
Доказано также утверждение, представляющее математический интерес безотносительно к рассматриваемой проблеме, но играющее большую роль в процессе поиска достаточных условий для указанных выше точек непрерывности. Это утверждение связано с известным Л’-свойством Н.Н.Лузина [36], когда образ некоторого множества, имеющего меру нуль, также имеет меру нуль, что эквивалентно следующему: образ измеримого множества измерим [37]. Несмотря на то, что имеется результат А.Ф.Тимана [38], касающийся последовательности абсолютно непрерывных функций, но при определенных условиях, здесь это утверждение доказано без всяких ограничений: предел равномерно сходящейся на отрезке
последовательности абсолютно непрерывных функций обладает N -свойством.
Наконец, вводится определение, имеющее логический исток в известной теореме Асколи-Арцела, которая дает условия, достаточные для того, чтобы из последовательности заданных на отрезке функций могла быть выделена равномерно сходящаяся подпоследовательность. Поэтому свойство, указанное в определении, названо свойством (АА),
- оно имеет тот же смысл, однако функции могут быть заданы на прямой или полупрямой, где утверждение теоремы, как известно [39], перестает быть верным.
16
Итогом является теорема, устанавливающая достаточные условия, при которых характеристические показатели правильной системы изменяются непрерывным образом с переходом к близкой правильной системе: для некоторой окрестности данной системы любая
последовательность, составленная из соответствующих перроновских матриц, должна обладать свойством ( А А ).
Под перроновской матрицей здесь подразумевается унитарная и абсолютно непрерывная матрица, триангулирующая матрицу системы с помощью перроновского преобразования [32].
Содержание теоремы отнюдь не носит экзотического характера, и проверка выполнения ее условия особенно доступна для систем второго порядка ( не говоря, разумеется, о первом ), для которых имеется хорошее описание соответствующих унитарных матриц как матриц поворота.
Техника подобной проверки продемонстрирована на примере; в этой главе их два: один воспроизводит отмеченный выше пример Р.Э.Винограда [28], и в дополнение к его исследованию здесь показано, что система, близкая к исходной, не является правильной. Основой второго примера служит система, построенная М.И.Рахимбердиевым
[7], и именно в отношении этой системы доказывается, что существует подпоследовательность унитарных кусочно-дифференцируемых матриц, триангулирующих матрицу системы, такая, что сходится поточечно, но не равномерно. Таким образом, нарушается условие ( АА ), и как указывалось выше, показатели Ляпунова разрывны.
17
Далее в диссертации полученные результаты применяются к конкретным механическим системам, уравнения движения которых согласно гл. 2 являются динамическими системами на многообразиях, а именно, в качестве системы выбирается твердое тело с одной закрепленной точкой.
Предполагается, что система совершает заданное движение; тогда заданными являются некоторое многообразие, а в нем - либо кривая (воспринимаемая как образ дифференцируемого отображения отрезка вещественной прямой ), либо подмногообразие, причем кривая должна быть интегральной для динамической системы на этом многообразии, структура которой именно является предметом определения. В отношении подмногообразия ставится та же задача, имеется в виду, что векторное поле ( в такой постановке этот термин служит синонимом динамической системы ) должно касаться [4] данного подмногообразия.
В классическом случае многообразием служит область евклидова пространства, а динамическая система - это дифференциальные уравнения, записанные в нормальной форме. Подобные задачи, называемые обратными, прежде ставились и были решены, как правило, в механике. По-видимому, первой из них следует считать задачу, решен иную И.Ньютоном, - об определении силы, под действием которой планеты движутся по эллиптическим траекториям согласно законам Кеплера.
Что касается обратных задач качественной теории дифференциальных уравнений, то здесь основополагающей явилась статья Н.П.Еругина [40] 1952г., где устанавливается наиболее общий
- Київ+380960830922