Содержание
I Общие свойства нелинейных систем 8
1.1 Подавление хаоса в динамических системах........................... 9
1.1.1 Системы с внешними возмущениями............................. 12
1.1.2 Мультипликативное и аддитивное возмущения................... 13
1.1.3 Общие свойства периодически возмущаемых систем.............. 17
1.2 Нелинейные среды с диффузией.......................................20
1.3 Модели распределенных систем...................................... 26
1.3.1 Дискретные модели........................................... 26
1.3.2 Континуальная модель возбудимой среды. Реакционно-диффузионные системы............................................... 28
1.4 Распространение возбуждения в активных средах......................33
1.5 Спиральные волны в возбудимых средах...............................37
1.5.1 Фазовые сингулярности.................................... . 40
II Стабилизация турбулентной динамики точечным возбуждением 43
11.1 Реакционно-диффузионные модели возбудимых сред.....................44
11.2 Сосредоточенная система............................................46
11.3 Формулировка проблемы етабилизанди турбулентной динамики 1122, 171-173]............................................................... 53
11.4 Кинематический подход............................................. 55
11.5 Рождение пространственно-временного хаоса [122,168,171-173]....... 60
11.6 Методика исследования |95,122,132|................................ 62
11.7 Внешнее воздействие [95,122,132].................................. 64
11.7.1 Форма импульса............................................. 65
11.7.2 Оптимальные частоты ....................................... 67
11.7.3 Амплитуда импульса..........................................68
11.8 Стабилизация пространственно-временного хаоса [95,132,133,172] ... 70
11.9 Модель ФентонагКармы (171)
74
III Силовая стабилизация спирально-волновой
турбулентности 80
II 1.1 Преимущества и недостатки метода силовой стабилизации .........81
III.2 Результаты и обсуждение.........................................82
Ш.2.1 Возрождение хаоса...........................................83
Ш.2.2 Система с ведущим центром.................................. 84
IV Новые подходы к проблеме стабилизации турбулентной
динамики возбудимых сред 88
1У.1 Новый подход к проблеме (171)....................................89
1У.2 Нестационарные ведущие центры |171,173)......................... 93
1У.2.1 Чувствительность среды.....................................93
IV.2.2 Оптимизация выбора параметров воздействия..................96
V Механизмы стабилизации спирально-волновой динамики 100
У.1 Резонансный дрейф спиральных волн.............................101
У.2 Устойчивая среда..............................................104
У.З Неустойчивая среда............................................106
VI Заключение
108
Введение
Распределенные системы представляют собой достаточно широкий класс, включающий самые разные математические, физические, химические и биологические системы. Любой объект, если его компонента распределена в пространстве или времени по некоторому закону, является распределенным. К таким объектам относятся, например, жидкость или газ, популяция какого-либо вида, человеческий мозг или проводящая ткань сердца. Не удивительно, что уже очень давно данный класс систем привлекает исследователей из самых разных областей.
Однако настоящий прорыв в этой области произошел в конце 80-х — начале 90-х годов двадцатою столетия, когда стала бурно развиваться компьютерная техника. Это связано в первую очередь с тем, что из-за чрезвычайной сложности реалистичные модели распределенных систем почти не поддаются теоретическому исследованию. Ситуацию усложняет еще и тот факт, что подавляющее большинство таких моделей существенно нелинейны и при определенных условиях могут демонстрировать весьма сложное (хаотическое и квазипериодическое) поведение. Развитый математический аппарат нелинейной динамики оказывается зачастую неприменимым к распределенным системам по ряду причин, и поэтому необходимо разрабатывать новые методы исследования.
В последние годы развитие теории динамических систем и компьютерных методов моделирования позволило сформировать комплексный подход к исследованиям сложных распределенных
3
систем разнообразной природы. Один из таких методов — представить исследуемую среду как совокупность автоколебательных или возбудимых элементов, локально взаимодействующих друг с другом. Тогда использование комплексного подхода предоставит новые возможности для более глубокого понимания процессов и явлений, наблюдаемых в активных средах. Явления, к которым ранее был возможен только эмпирический подход, можно таким образом достаточно подробно исследовать теоретически.
Наиболее сложная проблема теории распределенных систем -управление их динамикой и, в частности, стабилизация (подавление) сложных режимов поведения (квазипериодических или хаоса). Эта. проблема возникла достаточно давно, и связана она с тем, что такие сложные режимы, как правило, являются крайне нежелательными. В особенности это касается реальных физических, экологических, химических или биологических систем.
Под стабилизацией неустойчивого или хаотического поведения динамических систем обычно понимается искусственное создание и поддержание в этих системах устойчивых (как правило, периодических) колебаний посредством внешнего воздействия. Эта задача, не смотря на простоту формулировки, оказывается весьма сложной научной проблемой, особенно в приложении к распределенным средам.
Актуальность такой задачи вполне очевидна. Рассмотрим несколько реальных примеров. В применении к сердечной ткани выведение системы на требуемый режим дает возможность влиять на сердечный ритм. Дело в том, что в настоящее время в теории возбудимых систем доминирует гипотеза, согласно которой возникновение фатальных сердечных аритмий — фибрилляций — есть следствие рождения в сердечной ткани большого количества автоволновых источников: спиральных волн или вихревых структур (т.е. пространственно-временного хаоса). Современные методы стабилизации таких режимов
с помощью одиночных электрических импульсов (в том числе от имплантируемых дефибрилляторов) являются весьма жесткими и далеко не всегда приводят к успеху. Однако исследования самого последнего времени открывают новые возможности. Оказывается, что турбулентный режим во многих возбудимых средах может быть стабилизирован достаточно слабым периодическим параметрическим, или силовым воздействием, приложенным к иекото^юй области среды.
Для реакции Белоусова-Жаботинского такое воздействие позволяет создавать структуры нужного вида, получив таким образом систему, способную распознавать образы.
Помимо перечисленных здесь идей, результаты данной работы можно применить для исследования самых разнообразных реальных систем, описывающих полимеризацию, структурообразование, гранулярные среды, фракталы и т.п.
Цели работы:
— Построение математической модели распределенной среды с различными граничными условиями, состоящей из автоколебательных элементов.
— Исследование динамики системы в том числе со слабым почти точечным внешним воздействием.
— Анализ поведения системы в зависимости от параметров возбудимости среды, а так же характеристик внешнего возбуждения.
— Стабилизация сложных режимов поведения, связанных со спирально-волновой турбулентностью.
Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем.
1. Изучена динамика математической модели распределенной среды с внешним воздействием при различных граничных и начальных условиях и в широком диапазоне параметров как среды так и внешнего воздействия.
5
2. На основе теории динамических систем и новых результатов в области теории распределенных сред показана возможность управления динамикой представленной модели.
3. Показана принципиальная возможность выведения системы из состояния сложной (в том числе хаотической) динамики слабым почти точечным воздействием.
4. Исследована возможность одновременного воздействия на все элементы среды, указаны преимущества и недостатки такого подхода.
5. Предложен новый метод подавления спирально-волновой турбулентности с помощью движущихся ведущих центров, позволивший заметно повысить эффективность стабилизации. Получена зависимость эффективности подавления от количества ведущих центров и их характеристик.
Практическая ценность работы вполне понятна и заключается в следующем:
1. Показана принципиально новая возможность подавления спирально-волновой турбулентности возбудимой среды внешним точечным воздействием малой амплитуды и выведения ее на периодический режим движения.
2. Разработаны практические методы, позволяющие вычислять наиболее предпочтительные для такой стабилизации частоты.
3. Найдено, что нестационарный пейсмекер, расположенный в среде, значительно повышает эффективность предложенного метода.
Работа состоит из введения, общих сведений (обзора литературы), четырех глав, посвященных результатам, заключения и списка литературы.
В первой главе, посвященной общим вопросам, содержится обзор литературы, вводятся необходимые математические понятия, и рассматриваются различные модели распределенных сред, как дискретные, так и континуальные, обсуждаются аспекты, касающиеся
численного моделирования.
В следующей главе проводится предварительное теоретическое исследование моделируемой системы уравнений, приводятся результаты численного анализа системы с одним неподвижным внешним источником возбуждения и изучаются возможные режимы движения среды в зависимости от управляющих параметров. Подробно описан переход системы к режиму спирально-волновой турбулентности. Здесь же показана принципиальная возможность подавления сложной динамики слабым почти точечным воздействием, а также ставятся новые вопросы.
В третьей главе изучается силовое воздействие на все точки среды одновременно, обсуждаются преимущества и недостатки такого выведения среды из хаотического состояния, рассматриваются дополнительно некоторые любопытные аспекты поведения системы, которые были обнаружены в процессе исследования.
В четвертой главе рассматривается среда с несколькими неподвижными и движущимигя ведущими центрами, обсуждаются преимущества и недостатки этого подхода, проводятся аналогии с результатами, полученными в предыдущих главах, производится оптимизация параметров внешнего воздействия, что позволяет обеспечить выведение из хаоса при любых начальных условиях.
В пятой главе рассматриваются и обсуждаются возможные механизмы подавления спиральных волн в исследуемой среде. Всего таких механизмов существует два: уничтожение спиральной волны
при столкновении с границей области и взаимное уничтожение двух спиральных волн, обладающих противоположными хиральностями.
В заключении обсуждаются возможные приложения полученных в работе результатов, а также выносимые на защиту положения.
7
Глава І
Общие свойства нелинейных систем
8
В данной части диссертационной работы рассмотрены наиболее существенные для дальнейших исследований свойства распределенных нелинейных сред. Представлены также основные методы стабилизации хаотического поведения динамических систем. Рассматриваются и подробно обсуждаются модели распределенных сред, приводятся основные имеющиеся на сегодняшний день теоретические результаты в этой области.
1.1 Подавление хаоса в динамических системах
Довольно долго считалось, что в системе необходимо возбуждение по крайней мере чрезвычайно большого числа степеней свободы, чтобы возникли хаотические колебания. Эти соображения, по-видимому, сформировалась под действием понятий, сложившихся в статистической механике: движение одной отдельно взятой частицы в принципе предсказуемо, но поведение системы из очень большого числа частиц чрезвычайно сложно, и поэтому детализированное динамическое описание невозможно. Однако, как показали многочисленные исследования в самых различных областях, статистическое описание не ограничено только очень сложными системами с большим числом степеней свободы. Дело здесь не в сложности исследуемой системы и не внешних шумах, а в появлении экспоненциальной неустойчивости движения.
Развитие теории динамических систем внесло много нового в понимание происхождения хаотичности и привело к появлению целого ряда важнейших результатов (см. обзор |1]). Обоснование эргодической гипотезы Больцмана для определенного класса систем [2 4], доказательство сохранения квазипериодического движения при возмущении интегрируемых систем (теория Колмогорова-Арнольда-Мозера) [5-71, введение энтропии Колмогорова [8-10], подковы
9
- Київ+380960830922