Теория резонаторов, содержащих негауссов элемент

СОДЕРЖАНИЕ
Введение........................................................................2
Обзор литературы................................................................12
Глава 1. Вывод основных соотношений, описывающих поведение луча в двумерном резонаторе с нсгауссовым элементом. Математическая формулировка
задачи..........................................................................18
Глава 2. Аналитическое исследование аксиальной структуры поля излучения
двумерного резонатора с негауссовым элементом...................................27
Глава 3. Исследование неаксиалыюй области излучения двумерного резонатора с
негауссовым элементом...........................................................39
Глава 4. Исследование резонатора, содержащею негауссов элемент с поперечными
периодическими оптическими неоднородностями.....................................56
Рисунки.........................................................................68
Выводы.........................................................................103
Список лигерагуры..............................................................105
1
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время лазеры широко используются в научных исследованиях, технике, медицине и т.д. Во всех этих применениях приходится решать задачи, связанные с распространением пространственно локализованных лазерных пучков но оптическим системам различной природы. Существенным элементом любого лазера является резонатор. Создание оптимальных схем оптических резонаторов занимает одно из важнейших мест в квантовой электронике. Специфические свойства лазерного излучения - когерентность и направленность формируются резонатором. Поэтому создание оптимальных резонаторов позволило существенно увеличить качество выходного излучения [1,2]. Качество пучка определяется как 7 = где 20 - расходимость пучка излучения, К - его радиус. Нели в процессе прохождения излучения через оптическую систему (например, телескоп) величины в и Я изменяются, то 7 остаётся постоянной величиной.
Особенностью резонаторов оптического диапазона является то, что их размеры существенно превосходят длину волны излучения, резонаторы являются открытыми, а лазерные пучки имеют узкий частотный спектр и малую расходимость. Эти обстоятельства способствовали созданию самостоятельной теории открытых резонаторов, заметно отличающейся от теории закрытых резонаторов СВЧ и других диапазонов.
В классических работах Когельника и Ли [3] по расчёт)' оптических резонаторов был использован аппарат лучевой матрицы («Закон АВСО», см. рисунок 1.1), при помощи которого было описано поведение гауссовых пучков в открытых резонаторах со сферическими зеркалами. Было показано, что собственными модами таких систем являются гауссовы пучки разнообразной природы, пространственная
2
структура которых характеризуется одним или несколькими комплексными параметрами. При этом движение центра гауссового пучка по гауссовой оптической системе подчиняется законам геометрической оптики. Изменения же пространственной структуры пучка описываются при этом системой алгебраических преобразований комплексных параметров этого пучка. Эти результаты были получены в предположении, что оптические схемы формирования и передачи лазерных пучков содержат лишь гауссовы оптические элементы, в которых расположение оптических неоднородностей в поперечном сечении описывается полиномом не выше второй степени от координат, т.е. при отсутствии аберрации. Предположение об отсутствии аберрации основывалось на том, что элементы резонатора обычно обладают небольшой оптической силой, лазерные пучки имеют узкий спектр и малую расходимость.
Подобный подход чрезвычайно упростил процесс анализа распространения лазерною пучка по оптической системе, в том случае, когда система гауссова. Л поскольку подавляющее большинство оптических систем, встречающихся на практике, достаточно близки по своим свойствам к гауссовым, то неудивительно, что подобный метод получил чрезвычайно широкое распространение. Большинство расчётов в лазерной гехнике, теории резонаторов, лазерной оптике проводится в рамках гауссовой модели.
Однако в последние годы стало ясно, что не все оптические элементы в резонаторах могут быть описаны гауссовой моделью. В частности, гермооптические неоднородности твердотельного оптического элемента при неравномерной накачке, различные нелинейные оптические элементы, оптические затворы с аберрациями -это далеко не полный перечень негауссовых элементов, которые часто встречаются в лазерной оптике. Существует и ещё одна причина, по которой влияние оптического
3
элемента даже е незначительными негауссовыми искажениями оказывается существенным в резонаторе. Дело в том, что особенностью резонатора является то, что световые пучки в нём испытывают многократные отражения от зеркал и излучение многократно проходит через нсгауссов элемент. При этом искажение пучка на этом элементе может стать существенным за достаточно большое количество проходов при условии, что эти изменения будут резонансным образом складываться.
Не будет преувеличением утверждать, что все к настоящему времени значимые задачи, возникшие в рамках линейной лазерной оптики, связаны с отличием реальных лазерных систем от гауссовой модели. Это обстоятельство приводит к постоянному интересу исследователей к проблеме негауссовых оптических систем. Выполнено огромное количество работ по многочисленным направлениям этой проблемы. Выяснилось, что решение подобной задачи сопряжено с целым рядом трудностей, не встречающихся в гауссовой модели. Просвет появился лишь тогда, когда стало ясно, что трудности, с которыми сталкивается лазерная физика негауссовых систем, того же порядка и характера, что и проблемы, возникающие в теории динамических неинтегрирусмых систем [51]. Сейчас исследование таких систем приобрело новые методы и новые понятия [4-6]. Это связано с открытием нового явления - динамического хаоса [591. Оно заключается в том, что траектории системы могут представлять собой реализацию случайных временных процессов, хотя никаких случайных источников в уравнениях нет. Свойство хаоса автоматически означает неинтегрирусмость системы. Оно присуще только нелинейным системам, каковыми и являются нсгауссовы системы (в том смысле, что преобразование координат луча в таких системах описывается нелинейными преобразованиями).
4
Первые усилия, предпринятые в этом направлении, принесли много научно значимых результатов. В работе Быкова В.П. [51] было обнаружено появление неаксиальных многоходовых структур в резонаторе с аберрациями. (Аксиальной областью излучения резонатора будем считать ту область, в которой лучи удовлетворяют условиям параксиальности, а неаксиальной областью, соответственно, ту область, где лучи не удовлетворяют условиям параксиальности.) Исследование резонатора с аберрационным элементом, проведённое Силичевым
0.0. и Малашиным П.О. [7,8], показало, что при формировании излучения в негауссовых системах возникает целый ряд принципиально новых эффектов: стохастизация пространственной структуры излучения, появление неаксиальных многоходовых мод, качественное изменение структуры излучения даже в аксиальной области вблизи так называемых резонансных значений параметра резонагора, где, как оказалось, «Закон АВСО» не применим.
Однако оставались открытыми ряд принципиальных вопросов, на которые удалось ответить в настоящей работе:
1. Было известно из экспериментов как физических, так и численных [7,8], что аберрации лазерных систем приводят в ряде случаев к сильным искажениям структуры выходною излучения даже вблизи оптической оси. Стало ясно, что такие искажения наиболее сильно проявляются вблизи так называемых резонансных значений параметра резонатора. (Резонансные значения параметра резонатора - это такие его значения, при которых в отсутствии негауссова элемента координаты луча остаются неизменными после ^ обходов резонатора, ^ - целое число, называемое порядком резонанса). Однако теории, в общем виде аналитически описывающей такие искажения, до настоящего времени не существовало. В настоящей работе впервые получено дифференциальное
5
уравнение для двумерного резонатора с негауссовым элементом, в общем виде описывающее аксиальную лучевую структуру поля излучения в тех случаях, когда «Закон АВСО» не применим.
2. В работах по лазерной физике, в которых изучались резонаторы с негауссовыми элементами [7,51,77,78,79] было показано, что в неаксиальной области резонатора возможно возникновение областей хаотического поведения лучей [7,77], а также появление неаксиальных мод [51,78,79]. Эти моды могут быть аналогичны классическим аксиальным модам [78,79]. Однако принципиальным отличием резонаторов с негауссовыми элементами является появление в таких резонаторах многоходовых мод [51]. Важной задачей в теории резонаторов, содержащих негауссов элемент, является проблема нахождения условий возникновения и положения в пространстве неаксиальных мод. Задача нахождения одноходовых неаксиальных мод (аналогичных классическим аксиальным модам) довольно проста. В части первой главы третей настоящей работы эта задача аналитически решена для наиболее важных типов аберрации (кома, сферическая, смешанная аберрация). Однако решение задачи нахождения условий существования и положения в пространстве многоходовых мод не является тривиальным. Решение этой задачи связано с рядом трудностей математического характера, с которыми приходится сталкиваться в задачах нелинейных неинтегрируемых систем. В частности, для определения координат многоходовых оптических осей необходимо было решить систему двух рекуррентных уравнений порядка М х п, где М - количество проходов резонатора, при котором происходит замыкание многоходовых мод, п - степень аберрационной функции (п=2- аберрация кома, п= 3 - сферическая аберрация). Автору данной работы впервые удалось решить эту задачу и аналитически найти
6
условия возникновения и положение в пространстве многоходовых мод в оптическом резонаторе с аберрационным элементом.
3. Исследование резонаторов, в которых в качестве негауссова элемента выступает оптический, периодически неоднородный элемент, проводились в работах [80,81]. В работе [80] таким элементом была дифракционная решетка. В работе [81] периодическая неоднородность оптического элемента была продольной. В настоящей диссертации предпринята попытка изучения резонатора, содержащего элемент с недифракционными поперечными периодическими оптическими неоднородностями. (Будем считать недифракционными такие неоднородности иегауссова элемента, на которых можно пренебречь дифракционными эффектами и воспользоваться приближением геометрической оптики.) В работе впервые аналитически описана лучевая структура поля для резонатора, содержащего негауссов элемент в виде фазовой пластины с недифракционными периодическими оптическими неоднородностями, вблизи резонансных значений параметра резонатора. Действие такого элемента способно в ряде случаев (когда параметр резонатора совпадает с резонансными значениями) ограничивать порядок мод выходного излучения, не уменьшая количества мод. Такие резонаторы, вероятно, будут обладать новыми технологическими возможностями.
ЦЕЛЬЮ ДИССЕРТАЦИОИІЮЙ РАБОТЫ ЯВЛЯЕТСЯ аналитическое описание лучевой структуры поля в оптических резонаторах с различного рода негауссовыми элементами.
7
В РАБОТЕ РЕШАЕТСЯ СЛЕДУЮЩИЙ РЯД ЗАДАЧ:
♦ Поставлена и решена задача аналитического описания аксиальной лучевой структуры поля двумерного резонатора с негауссовым элементом. Получено уравнение, описывающее поведение лучей вблизи оптической оси двумерного резонатора с негауссовым элементом.
♦ Наряду с классическими аксиальными модами в резонаторах с негауссовым элементом могут существовать аналогичные одноходовые неаксиальные моды. Такие моды могут существовать и в неустойчивых резонаторах с негауссовым элементом. Найдены условия существования и положение в пространстве устойчивых неаксиальных одноходовых мод в резонаторах с аберрацией кома, сферическая и смешанная аберрация.
♦ Характерной особенностью оптических резонаторов с негауссовым элементом является появление в таких резонаторах многоходовых мод. Эти моды формируются вокруг соответствующих им устойчивых многоходовых оптических осей. Предложена и реализована методика нахождения неаксиальных многоходовых оптических осей низкого порядка в резонаторах с аберрациями. Удалось решить задачу преобразования двух рекуррентных уравнений порядка М х п (уравнения для нахождения координат М - ходовых оптических осей в резонаторе с аберрацией порядка п) в систему М рекуррентных уравнений порядка п, которые решать оказалось значительно проще. Найденные многоходовые оптические оси исследованы на устойчивость. Полученные результаты позволили:
8