ВВЕДЕНИЕ......................................................................4
1. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ........................................................17
1.1 Гамильтониан релятивистской частицы во внешних полях.....................17
1.2 Классическая теория возмущений ..........................................23
1.3 Теория канонических преобразований Ли ...................................29
1.4 Функции возмущения.......................................................35
1.5 Гармоники потенциала возмущения..........................................40
2. МОДЕЛИРОВАНИЕ.............................................................51
2.1 Общие требования к моделирующей программе................................51
2.2 Моделирование движения частицы в 6-мерном фазовом пространстве...........55
2.3 Моделирование движения частицы в гармоническом потенциале................60
2.4 Моделирование змеек и ондуляторов........................................66
3. СЕКСТУПОЛЬНОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ..................................................75
3.1 Нерезонансная теория возмущения..........................................76
3.2 Свойства сскступольных резонансов........................................80
3.2.1 Универсальные свойства резонансов первого порядка малости..............80
3.2.2 Резонансы ух-п и Зух = п...............................................84
3.2.3 Разностный резонанс ух -2уу = п .......................................90
3.2.4 Суммовый резонанс у х + 2уу = п........................................94
3.2.5 Резонансы второго порядка..............................................96
3.2.6 Резонансы высших порядков.............................................100
4. ДРУГИЕ ТИПЫ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ.......................................110
4.1 Кубическая нелинейность.................................................110
4.1.1 Гамильтониан..........................................................111
3
4.1.2 Кинематические эффекты...................................................112
4.1.3 Октупольиое возмущение...................................................115
4.1.4 Краевое поле квадрупольной линзы.........................................117
4.1.5 Сравнение кубической нелинейности различного рода........Г...............122
4.2 Нарушение симметрии магнитной структуры....................................125
4.3 Нелинейности змеек и ондуляторов...........................................132
5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ....................................................146
5.1 Цели и задачи..............................................................146
5.2 Описание ВЭПП-4М...........................................................148
5.3 Методика измерений.........................................................152
5.4 Результаты измерений.......................................................162
5.4.1 Фазовые траектории.......................................................166
5.4.2 Зависимость частоты колебаний от амплитуды...............................177
5.4.3 Динамическая апертура....................................................185
5.4.4 Влияние змеек на нелинейное движение.....................................195
5.5 Управление параметрами нелинейной системы..................................200
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................................213
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Гамильтониан релятивистской частицы...............................219
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Азимутальные гармоники...........................................222
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Зависимость частоты от амплитуды.................................223
ЛИТЕРАТУРА.....................................................................224
ВВЕДЕНИЕ
По мере развития циклических ускорителей высоких энергий растет роль нелинейных явлений в динамике пучка. Это вполне естественно, так как повышение эффективности работы ускорителя, как правило, сопряжено с появлением или усилением факторов, возмущающих движение частиц. Тогда это движение уже недостаточно рассматривать в линейном приближении, и для его корректного описания следует учитывать поправки следующих порядков.
Источником нелинейных сил могут служить погрешности поля основных магнитных элементов ускорителя, специальные нелинейные линзы (секступольные и октуполь-ные), змейки (особенно сильнополевые) и ондуляторы, пространственный заряд, вихревые токи в вакуумной камере и т.д. Нелинейность движения частиц вызывает ряд явлений, которые могут ограничивать эффективность работы установки: зависимость частоты колебаний от амплитуды, появление большого числа нелинейных резонансов, ограничение области устойчивого движения пучка (динамическая апертура), искажение фазовых траекторий, ведущее к эффективному увеличению фазового объема, занимаемого пучкам, формирование стохастических областей движения и т.п. Иногда свойства нелинейного движения используют для достижения определенных целей, например, для резонансного выпуска пучка из вакуумной камеры ускорителя, или для подавления коллективных неустойчивостей введением искусственного разброса частот колебаний частиц (затухание Ландау). Однако по большей части последствия нелинейного возмущения негативны: уменьшение времени жизни пучка, ограничение светимости или яркости синхротронного излучения и т.п.
Таким образом, с одной стороны, нелинейное поведение пучка в циклическом ускорителе должно изучаться с практической точки зрения и учитываться на стадии проек-
тирован ия с целью улучшения параметров и характеристик установки. С другой стороны, частица, движущаяся в нелинейных полях, является частным случаем более общей категории - многомерной динамической системы, чье изучение представляет несомненный интерес для многих областей науки от небесной механики до химии и биологии. При этом параметры пучка в ускорителе (бетатронная частота, тип и величина возмущения, связь различных мод колебаний, затухание и т.п.) могут меняться в широких пределах, а наличие развитых средств диагностики позволяет с высокой точностью измерять характеристики движения. Иными словами, циклический ускоритель, как нелинейная система, является и предметом, и удобным инструментом исследования. Этот факт привел к тому, что практически с момента появления ускорителей высоких энергий (особенно с сильной фокусировкой) проблема изучения нелинейного движения привлекала внимание многих исследователей и на сегодняшний день превратилась в большой самостоятельный раздел физики ускорителей.
В настоящее время принято (с некоторой долей упрощения) различать особенности нелинейной динамики легких и тяжелых частиц [1]. Для лептонных машин наличие мощного синхротронного излучения приводит к следующим эффектам: (а) радиационное затухание эффективно подавляет слабую неустойчивость нелинейных резонансов высоких порядков, (б) квантовый «шум» излучения приводит к тому, что частица «забывает» начальные условия за характерное время радиационного затухания соответствующей моды колебаний. Следствием этого дтя электронных ускорителей является, во-первых, возможность рассматривать нелинейное движение на достаточно коротком отрезке времени (порядка времени затухания) и, во-вторых, ввести иерархию сил или источников возмущения. Основным из них считается квадратичная нелинейность, вносимая секступольными магнитами, компенсирующими натуральный хроматизм. Остальные эффекты (коррекция куби-
ческой нелинейности, краевое поле магнитов и линз и т.д.), как правило, можно рассматривать в виде поправки к влиянию сильных секступолей.
Для протонных ускорителей, где затухание практически отсутствует, существенную роль играют эффекты стохастической диффузии, вызываемой и/или усиливаемой суммарным действием многих незначительных возмущающих факторов (резонансы высоких порядков, нестабильность источников питания и т.п.). Эти явления ввиду их слабости могут приводить к выбыванию частиц из пучка за времена, недостижимые для прямого моделирования на современных ЭВМ. Поэтому для таких ускорителей одной из основных задач исследования нелинейного поведения пучка является разработка и обоснование методов, позволяющих предсказывать глобальную неустойчивость системы исходя из результатов, полученных для ограниченного отрезка времени.
Далее речь пойдет о теоретическом и экспериментальном изучении динамики частицы во внешних нелинейных полях применительно к электронным ускорителям. Хотя, как уже упоминалось выше, различие между электронными и протонными машинами является слегка искусственным: для легких частиц резонансы высоких порядков и стохастические траектории, порождаемые их взаимодействием, также играют значительную роль, например, в ограничении области устойчивого движения пучка или увеличении его эмит-танса.
Дадим краткий обзор истории предмета, современного его состояния и основных результатов нелинейной динамики циклических ускорителей, полученных как теоретически (с помощью аналитических методов и численного моделирования), так и экспериментально. При этом общие положения теории нелинейных колебаний, дифференциальных уравнений, методов теории возмущений, регулярной и стохастической динамики будут, в виду обширности материала, излагаться кратко и применительно к конкретным примерам
ускорительной физики. Для глубокого ознакомления с этими вопросами в целом можно порекомендовать монографии [2-5 J.
Принципиальным понятием теоретических работ, значительное число которых появилось в 50-х годах прошлого столетия в связи с открытием метода сильной фокусировки, является понятие нелинейного резонанса [6-10], реализующегося при следующем условии, накладываемом на бстатронные частоты:
mxvx + myvy = п.
В этих работах выводится гамильтониан релятивистской частицы в сопровождающей криволинейной системе координат, который затем раскладывается в степенной ряд по каноническим переменным до появления требуемых нелинейных членов. Применение метода Боголюбова-Митропольского (первый порядок теории возмущений или метод усреднения, см. Главу 1) позволяет исключить быстроосциллирующие члены и получить «укороченные уравнения», где основную роль в возмущении линейного бетатронного движения частицы играют медленно меняющиеся слагаемые (постоянная и резонансная гармоники потенциала возмущения). Полученные инварианты движения [11]
т
J T—LJX - const, тх
(где Jх у - переменные действия) позволяют делать важные выводы об устойчивости нелинейных резонансов связи в общем, не прибегая к детальному решению уравнений движения.
Особенностью нелинейных резонансов является то, что при наличии неизохронно-сти системы (зависимости частоты колебаний от амплитуды), могут существовать устойчивые траектории колебаний даже при точном выполнении резонансных условий (в отличие от линейных резонансов). Эти траектории приводят к формированию сложной карта-
ны фазового пространства системы, влияют на стабильность движения частиц, определяют апертуру ускорителя и распределение частиц внутри апертуры.
В ранних работах предполагалась неизохронность системы первого порядка, хотя для самого сильного возмущения - секступольного это не так, зависимость частоты от амплитуды появляется во втором порядке, и требует более изощренной техники вычислений. Поэтому последующие теоретические работы, посвященные нелинейным колебаниям частиц в циклических ускорителях, развивали тему в трех направлениях: (а) более углубленное и методичное изучение нелинейных резонансов, [12-15], (б) применение более эффективных методов теории возмущений [16-20], (в) приложение результатов теории для конкретных ускорителей и сравнение их с численным расчетом и экспериментом. Из теоретических методик, применяемых дчя исследования устойчивости движения частицы в ускорителе можно отметить технику сскулярных рядов Пуанкаре-Линдштедта [16], последовательную линеаризацию уравнений движения [17], классическую теорию возмущений Пуанкаре-Цайпеля [18], теорию канонических преобразований Ли [19].
Кроме анализа, основанного на применении функции Гамильтона, существует альтернативный подход к изучению нелинейных систем, ориентированный на построении и исследовании нелинейных отображений [44]. Конструирование пооборотных нелинейных отображений и их изучение может проводиться, например, методом «нормальных форм» [20,21] или с помощью операторной техники Ли [22]. Однако, как представляется, этот подход удобен для предсказания долговременной стабильности нелинейной системы и, требуя достаточно сложных математических выкладок, не имеет особых преимуществ при изучении эволюции нелинейной системы на коротких промежутках времени.
В 1984 г. Т.Коллинсом [23] было введено понятие нелинейных «функций возмущения», которые описывают поведение возмущенной динамической системы в нерезонансном случае. Формализм функций возмущения подробно разработан в работах [24-25] и
9
позволяет вычислять различные характеристики нелинейных колебаний частицы (искажение фазовых траекторий, сдвиг частоты от амплитуды и пр.) учитывая весь спектр гармоник возмущенного потенциала. В резонансном случае V -+п1т формализм функций возмущения переходит в приближение изолированного резонанса (см. Главу 3).
Несколько слов необходимо сказать об определении и оценках области устойчивого движения частицы (динамической апертуры). В теории линейных бетатронных колебаний существование инварианта Куранта-Снайдера позволяет легко и однозначно определять апертуру или ахцептанс ускорителя. Нелинейность приводит к искажению формы инвариантных кривых и возникновению на границе области устойчивости причудливой структуры резонансов высоких порядков, чьи стохастические слои при этом могут перекрываться. Тогда фазовый объем системы (аналог линейного акцептанса) невозможно описать аналитически, а определять его численно, особенно для двух- или трехмерного движения требует большого времени счета. Поэтому ниже мы пользуемся, может быть не бесспорным, но общепринятым и простым для оценок и сравнений определением динамической апертуры как набора таких начальных условий Лу0(Ах0), х(0) = Лх0, у(0) = Л><>,
х'(0) = у'(0) = 0, при которых колебания частицы остаются устойчивыми некоторое заданное число оборотов (для электронных ускорителей это число обычно равно от ~500 оборотов до нескольких периодов синхротронных колебаний).
Теоретическая оценка динамической апертуры зависит от используемого метода. Признаком границы устойчивой области при аналитическом подходе может быть формальная расходимость рядов решения, сингулярности фазовой траектории ЛД^)— сильное искажение траектории Д//У—>1, близость частоты к сильному резонансу у(л)&п/т и т.д.
10
Помимо теории возмущений мощным методом изучения нелинейных систем является моделирование [26], [27]. Именно численное решение позволило обнаружить одно из фундаментальных свойств нелинейных многомерных систем - наличие стохастических траекторий [28], которое в настоящее время имеет большое значение при объяснении многих явлений.
Наиболее простые и распространенные программы, моделирующие движение частицы, основываются на описании нелинейных элементов в виде набора «тонких» линз:
Ь„(*)х-у'-+Бш.х-у"б(*-51).
Такие программы автоматически удовлетворяют условию симплектичности (см. Главу 2.1), поскольку факторизация тонкими линзами строится на основе гамильтонова формализма. Линейные участки магнитной структуры, как правило, учитываются с помощью матриц, которые, для ускорения счета, могут быть приготовлены заранее до начала моделирования. Помимо нелинейностей, счетные программы более или менее реалистично (в зависимости от требований и способностей автора) учитывают другие эффекты, влияющие на динамику пучка: синхротронные колебания, излучение, ошибки и погрешности различного рода, апертурные ограничения и т.п. Чем более полной является модель ускорителя и чем больше эффектов она учитывает, тем больше времени счета требуется для получения результата. Поэтому для численного изучения адронных ускорителей, где принципиальным является моделирование движения частицы в течение 106-108 оборотов, активно разрабатывается другой класс компьютерных программ, основанный на технике нелинейных отображений:
2{п) = Т{2{п-1)),
где вектор координат 2 преобразуется пооборотно с помощью заранее сконструированного отображения Т. Размерность вектора может быть от двух до шести, в зависимости от изучаемой задачи (несвязанное или связанное бетатронное движение, или синхро-
бстатронное движение). Основной проблемой для такого рода алгоритмов является обеспечение симплектичности счета, поскольку построить отображение, содержащее все порядки возмущения невозможно, а усечение ряда неизбежно ведет к нарушению условия симплектичности и накапливанию нежелательной ошибки. Решение этой проблемы ведется, в основном, двумя способами, один из которых, основанный на формализме операторов Ли, был предложен А.Драгтом, другой - дифференциальная алгебра - разработан М.Берцем. В настоящее время имеется обширная литература, посвященная построению такого рода отображений для ускорителей [29-32].
Результатом работы моделирующих программ является массив координат, рассчитанный в течение требуемого числа оборотов. Обработка этого массива позволяет определить зависимость частоты колебаний от амплитуды, наличие стохастической компоненты движения, построить фазовые траектории и т.д.
В качестве примера распространенных программ для численного изучения динамики частиц в циклических ускорителях можно упомянуть SAD [33], MARYLIE [34], TRANSPORTAS], MCETRACK [36], PATRICIA [37], MAD [38].
Какими бы совершенными и развитыми ни были аналитические или численные методы исследования нелинейных систем, окончательная проверка их правдоподобности всегда будет проводиться с помощью эксперимента. По-видимому, первый цикл экспериментального изучения основных характеристик таких систем применительно к циклическим ускорителям был проведен в ИЯФ СО РАН на накопителе электронов ВЭПЛ [39-42]. В указанных работах проводились исследования характерных особенностей нелинейного резонанса, взаимодействия нескольких резонансов и формирования области стохастического движения, прохождение частиц через и их захват в сепаратрису резонанса (область бетатронной автофазировки по терминологии того времени). Изучались как резонансы, внутренне присущие магнитной структуре накопителя ВЭПЛ, так и искусственно возбуж-
12
дасмые внешней резонансной раскачкой. Наблюдение нелинейных явлений проводилось оптическим путем с помощью диссектора [43]. В качестве результатов этих работ можно привести экспериментальное подтверждение теоретических представлений связанных с нелинейным резонансом, измерение его характеристик и сравнение их с аналитическими оценками, наблюдение возникновения стохастического слоя при взаимодействии нескольких резонансов, проверка критерия перекрытия резонансов (критерий Чирикова), стохастическое увеличение фазового объема, занимаемого пучком и пр.
Далее изучение нелинейной динамики проводились на многих ускорителях и накопителях, включая ALADDIN [45], TEVATRON [46], CERN SPS [47], TRISTAN [48] и других. Типичная схема эксперимента включает быстрое возбуждение когерентных колебаний пучка специальными магнитами или электродами и регистрация положения центра тяжести пучка в течение некоторого числа (несколько тысяч) оборотов с помощью датчиков положения. Данная методика весьма похожа на численное моделирование и позволяет изучать динамическую апертуру, зависимость частоты от амплитуды, фазовое движение, нелинейные резонансы и т.д. Необходимо, однако, учитывать распределение частиц по амплитудам, а, следовательно, по частотам, что приводит к эффекту раскогеренчивания пучка. С другой стороны, измерение времени раскогеренчивания само по себе может служить источником информации о нелинейных характеристиках системы [49,50].
Кроме метода возбуждения когерентных колебаний пучка существуют другие подходы к исследованию свойств пучка частиц в ускорителе, например, измерение поперечного эмиттанса пучка под воздействием нелинейного возмущения сканирующей проволочкой [51] или изучение скорости потерь частиц из «хвостов» функции распределения с помощью регулируемого ограничителя поперечной апертуры (скрепера) [52].
Отдельно хотелось бы упомянуть о методике изучения области устойчивого движения по измерению времени жизни пучка. В работе, проведенной на источнике синхро-
тронного излучения ВЕВЗУ-1 [53], время жизни частиц определялось как функция положения скрепера, вдвигаемого внутрь вакуумной камеры. Исследования, проведенные на установке со встречными пучками ВЭПП-2М, основывались на измерении тушековского времени жизни пучка в зависимости от амплитуды напряжения ВЧ резонатора [54]. В обоих случаях динамическая апертура обосновывалась и определялась как величина такого ограничения, при которой происходит качественное изменение поведения зависимости времени жизни.
Нелинейность движения частиц играет значительную роль в различных областях физики циклических ускорителей, многие явления и эффекты существенно меняются, и приобретают новые черты при учете поправок высших порядков. Можно кратко упомянуть влияние квадратичной нелинейности на сдвиг частоты спиновой прецессии частицы [55], наблюдение совместного действия эффектов встречи и внешней кубической нелинейности [56] с целью оптимизации светимости установки со встречными пучками, эксперименты по изучению кинематики когерентных бстатронных колебаний [57] и т.д.
Институт ядерной физики им. Г.И.Будкера СО РАН является одним из ведущих центров России по созданию и использованию ускорителей высоких энергий, источников СИ и установок на встречных пучках. Поэтому вопросы исследования нелинейной динамики частиц в ускорителях, а также практического применения результатов этих исследований при проектировании новых установок и оптимизации параметров уже работающих, всегда занимали заметное место в деятельности Института. Автор принимал непосредственное участие во многих таких исследованиях, включая работы по определению и оптимизации динамической апертуры источника СИ Сибирь-2 [58,59 и др.], изучение нелинейной динамики коллайдера ВЭПП-4М ([60] и ссылки далее в тексте диссертации), работы, выполненные в сотрудничестве с российскими и зарубежными ускорительными центрами [61-64]. Актуальность этой тематики обусловлена как неослабевающим интересом науч-
14
ной общественности, так и практической значимостью применения результатов для развития уже существующих ускорительных комплексов, и создания новых установок с предельными параметрами.
Диссертация основывается на работах, выполненных автором в ИЯФ им. Г.И.Будкера СО РАН за период 1980-2002 гг., и посвящена аналитическому, численному и экспериментальному исследованию одночастичной нелинейной динамики в циклических ускорителях электронов. Диссертация состоит из введения, пяти основных глав, заключения, списка литературы и приложений.
Во Введении сформулирована направленность работы, дается краткий обзор истории изучения нелинейных колебаний применительно к циклическим ускорителям, современное состояние теоретических и экспериментальных исследований в этой области, описаны структура и содержание диссертации.
Глава 1 посвящена методам теории возмущений и их применению к конкретным случаям нелинейного возмущения, свойственным циклическим ускорителям. В настоящее время разработано большое число таких методов, однако, с точки зрения практического использования трудно выделить те из них, которые существенно превосходили бы остальные. Поэтому подробно разобраны два подхода: классическая теория возмущений и метод канонических преобразований Ли. В качестве иллюстрации применения этих методов выбрано секступольное возмущение (требующее использования как минимум второго порядка малости). С помощью классической теории исследуется интегральное представление потенциала возмущения, а алгоритм преобразований Ли применен к гармоническому представлению. Первый подход позволяет ввести «функции возмущения», фактически эквивалентные бстатронным функциям теории линейных колебаний. Второй подход, основанный на возможности описания системы ограниченным набором гармоник, дает возможность естественным образом перейти к изучению важных конкретных резонансов, а
также, проводить простые оценки. Получена зависимость величины* амплитуды главных резонансных гармоник от основных параметров ускорителя.
В Главе 2 описываются основные алгоритмы и программы математического моделирования, использующиеся для исследования движения частицы в циклическом ускорителе, разработанные и реализованные в ИЯФ СО РАН при непосредственном участии автора. Здесь же даются примеры использования компьютерного моделирования применительно к конкретным установкам, а также, поясняются методы и особенности анализа результатов численного расчета.
Глава 3 посвящена подробному теоретическому исследованию (аналитическому и численному) случая секступольного возмущения, как наиболее существенному и важному для ускорителей электронов и позитронов. Рассмотрены свойства основных секступоль-ных резонансов (в т.ч., двумерных и резонансов второго порядка теории возмущений). Продемонстрированы фазовые траектории, свойственные этому виду возмущения, при различных параметрах системы, а также, проведены оценки динамической апертуры и других нелинейных характеристик для каждого конкретного случая.
В Главе 4 рассматриваются на основе теоретических методов, развитых в предыдущих главах, другие различные важные с прикладной точки зрения типы возмущения: октупольное, влияние краевого поля квадрупольных линз, кинематические члены гамильтониана, поля змеек и ондуляторов.
В Главе 5 приводятся результаты экспериментальных исследований, проведенных на элсктрон-позитронном накопителе ВЭЛП-4М. Описана экспериментальная установка, условия проведения экспериментов, аппаратура и методика измерений. Результаты исследований включают в себя такие аспекты возмущенной динамической системы как зависимость частоты от амплитуды, динамическая апертура, фазовые траектории, нелинейные резонансы и т.д. при воздействии различного рода нелинейностей (секступольные и окту-
польные линзы, змейки и т.п.). Здесь же обсуждаются различные варианты управления характеристиками нелинейного движения частиц в ускорителе с целью оптимизации параметров и повышения эффективности установки.
И, наконец, в Заключении перечислены основные результаты работы.
В диссертации содержится 108 графиков и рисунков, в библиографии приведены 140 ссылок. Число опубликованных автором работ 82 из них по теме диссертации - 26.
17
1. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
1.1 Гамильтониан релятивистской частицы во внешних полях
Вывод гамильтониана релятивистской заряженной частицы в статическом магнитном поле циклического ускорителя можно найти во многих работах, например, в [7,8,9,13-14,18] и др. Для справки в Приложении 1 принципиальные этапы получения искомого гамильтониана изложены близко к работе [65]. Ниже мы будем пользоваться разложением функции Гамильтона до 4-го порядка по степеням координат и импульсов, удобном для дальнейших целей, и приведенном в [66]:
Я = Я0+ //, + //,, (1.1.1)
Но =(р) + У)/2 + А2(5)*2/2 + к,(1)(дг! -у1)/2 + И(1)хр1, (1.1.2)
Я, = кг (*)(*’ - Здгу!)/ 6 + А(*)А, М(2*5 -Зху2)/6- АГ(*)У / 2 - И'(*)хуру
+ А(*)*(р2 + р))/ 2 + Л (р) + />2)/ 2, (1.1.3)
=(р,! + />5)*/8 + *}м(*4 -6*У + /)/24 + А(5)А2(х)(з*4 -12хУ +/)/24 - А2 (*)*, (*)/ / 24 - А'2 (*)/ / 24 + ЗА'2 (*)*У / 4 - А( *)А‘Ш2ур, 12 -к\{р)хгуру/2 + АЛ'(Зх2У-/)/12 + А;(у4 -6*У)/24
- Н(5)хурурь + Л(*)х(р2 + р,)р1 / 2 + р1 (р\ + /7*)/2. (1.1.4)
Необходимые пояснения к выражениям (1.1.1)-(1.1.4):
(1) Гамильтониан записан в канонических переменных (г,рх = Д /Р0), 2 = (дг,^),
Р0 = тсръУ0 - полный импульс равновесной частицы, а Д - соответствующая проекция
импульса.
18
(2) Движение частицы рассматривается, как это принято для циклических ускорителей, относительно некоторой замкнутой равновесной орбиты, которая в нашем случае лежит в горизонтальной плоскости, кроме того, отсутствует кручение. К равновесной орбите привязана (рис. 1.1.1) правосторонняя криволинейная сопровождающая система координат с взаимно перпендикулярными единичными векторами
Рис. 1.1.1 Сопровождающая система координат.
На рис. 1.1.1 точка А обозначает положение частицы с радиус-вектором г, чьи координаты в сопровождающей системе задаются (х,у,з) относительно равновесной частицы с координатами (0,0,5о). Имеют место следующие соотношения
^ = ^> = $х.*, $ = Хх_р.
Переменная 5 является независимой и производная по ней обозначается штрихом: а =<1а/(к. В частности для ортов
X' = А(*)£, у = 0, 5' = -ВД*.
Элемент приращения радиус-вектора в сопровождающей системе координат записывается как
19
с/Г = Х(1х + $Лу + (1 + /*($))?<&.
(3) Величина р, = -5 = -(Р - Р0)/Р0 показывает отличие импульса рассматриваемой частицы от равновесного.
(4) Кривизна орбиты = еВ0у 1{сР0) является функцией азимутальной координаты, а магнитное поле вблизи равновесной орбиты содержит все (нормальные) мультипольные компоненты В„{з), разрешенные симметрией относительно медианной плоскости (скалярный потенциал такого поля является нечетной функцией от>>). В гамильтониане такие мультиполи присутствуют в виде, нормированном на равновесную энергию пучка: Ш = В,/(ср0).
(5) Зависимость кривизны орбиты и мультипольных коэффициентов от азимута приводит к появлению в гамильтониане дополнительных (по сравнению с кусочно-постоянным приближением магнитного поля) нелинейных членов, которые важны при рассмотрении движения частицы в краевом поле магнитов или в поле змеек и ондуляторов.
Если записать уравнения Гамильтона из (1.1.2)
*.(*))*-•-*-ад. (1.1.5)
дх држ
Р\=~Щг = к '^)у' 0-1-6)
ду дру
продифференцировать второе выражение (1.1.5) и (1.1.6) по 5, и подставить р’х / из первого, то получим уравнения линейных бетатронных колебаний:
х'+И*)+*,м)*=<*-ад. у"-шу=о. (1.1.7)
Т.о., га.мильтониан (1.1.1) описывает малое возмущение линейных колебаний частицы в циклическом ускорителе и представляет типичный пример (следуя терминологии
[3]) динамической системы «близкой к интегрируемой». Аналитическое исследование та-
20
кой системы возможно только с использованием аппарата теории возмущений. Однако прежде чем приступить к такому исследованию, удобно перейти к переменным «действие-угол» невозмущенной задачи при помощи канонического преобразования, задаваемого производящей функцией
Р,{х.У.<Р,,<Р/^)=--^-^ал<рж + а,^))-^-^(\аа<ру *а,^)), (1.1.8)
где <згЛ(5) = а Рх(5) - бетатронная функция и так же для вертикальных коорди-
нат. Тогда старые и новые переменные связаны соотношениями
дх /?,(*)
J = -^1 = — п 1.9)
д<Р* 2/?, (5) со Ь2<ря{5)’
или
х = №хРя{5)соз<рх9 рх = -/—+ <Хх(5)С08фх). (1.1.10)
Новый невозмущенный гамильтониан равен
38 рх{8) Ру{5)
а уравнения Гамильтона запишутся как
1-0, <р\ = дЯ° - ~ ■ (1.1.12)
д<р, &/, /?,М
Проинтегрировав (1.1.12) можно получить
Л=Л(0), <рЛ*)= \-ггъ+ч>№. (1-1-13)
о Рх\5)
где Jx(0) и <рх{0) определяются начальными условиями. Аналогичные выражения получаются и для вертикального движения.
Смысл константы 3х становится ясным, если скомбинировать (1.1.10) совместно со вторым выражением (1.1.5) следующим образом:
= Т5~Г\ (*г + (Л (*)*'+ (*)*)2 ]• (,л14)
2 РМ
Последнее есть ни что иное, как инвариант Куранта-Снайдера для бетатронного движения, чье постоянство является следствием теоремы Лиувилля о сохранении плотности фазового потока для консервативных динамических систем.
Еще одно упрощающее преобразование может быть сделано с помощью производящей функции
где К - средний радиус ускорителя. Данное преобразование позволяет перейти к монотонному набегу бетатронной фазы, и приводит в случае невозмущенного движения к простому гамильтониану гармонического осциллятора (1.1.16).
Возмущенная (нелинейная) часть гамильтониана в переменных «действие-угол» записывается путем подстановки (1.1.8) в (1.1.3-4). Далее, изучая различные типы возмущения (1.1.3) и (1.1.4) в каждом конкретном случае мы проделаем эту процедуру, а сейчас, для примера, приведем гамильтониан, записанный в переменных «действие-угол» для секступольного возмущения )
(1.1.15)
(1.1.17)
и октупольного возмущения (~гг2)
(1.1.18)
В первом случае результатом будет
- Київ+380960830922