РОЗДІЛ 2
ПОБУДУВання гамільтонових матриць та АНАЛІЗ дисперсійних рівнянь
2.1. Вступні зауваження
Як правило, у напівпровідниках в умовах термодинамічної рівноваги електрони
концентруються поблизу мінімуму зони провідності, а дірки - поблизу максимуму
валентної зони. Тому у переважній більшості випадків необхідно знати
енергетичний спектр носіїв тільки поблизу екстремумів зон. Нижче наводиться
варіант теорії збурень, який буде застосований для побудови гамільтонових
матриць різних кристалічних класів сполук .
Стаціонарне рівняння Дірака для електрона, що рухається у періодичному полі
кристалу, у слабкорелятивістському наближенні має вигляд [116]
, (2.1)
де - оператор імпульсу; - періодичний потенціал (потенціальна енергія)
електрона у кристалі; - дворядна вектор-матриця Паулі з компонентами
(2.2)
– блохівський спінор. У рівнянні (2.1) третій доданок є оператором
спін-орбітальної взаємодії, який “змішує” стани з різною проекцією власного
моменту імпульсу електрона на вісь (два інших релятивістських члени, які не
залежать від , у (2.1) опущені).
За теоремою Блоха
(2.3)
де – кількість елементарних комірок у кристалі; – блохівські періодичні
амплітуди (символи та відповідають двом протилежним значенням спінового
магнітного квантового числа електрона). Підставляючи праву частину (2.3) у
(2.1), отримаємо систему двох рівнянь для блохівських амплітуд:
(2.4)
Через те, що спін-орбітальна взаємодія в основному обумовлена електронами
атомів решітки, останнім доданком у (2.4) можна знехтувати. Розглядаючи третій
(терм вільного електрона), четвертий (оператор “kp-взаємодії”) і п’ятий
(оператор спін-орбітальної взаємодії) члени в якості збурення, систему (2.4)
можна записати у наступному вигляді:
(2.5)
де
(2.6)
(2.7)
В останньому виразі
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Зазначимо, що компоненти оператора імпульсу перетворюються під дією операцій
симетрії як компоненти полярного вектора, а компоненти
(2.11)
оператора - як компоненти аксіального вектора. Оператор (2.8) завжди
перетворюється за одиничним представленням відповідної групи хвильового вектора
.
Для побудови матриці оператора Гамільтона , яка фігурує у виразі (2.5),
необхідно обрати зручний базис для розкладання блохівських амплітуд і далі,
використовуючи міркування симетрії, виразити всі матричні елементи через
невелику кількість незалежних параметрів. Розгляду цих питань стосовно до
сполук класу і присвячено наступний підрозділ.
2.2. Розрахунки для актуальних кристалічних класів
Згідно з [117] екстремуми актуальних зон у матеріалах при нехтуванні
спін-орбітальною взаємодією, розташовані у центрі зони Бриллуена, тому група
симетрії хвильового вектора співпадає з кристалічним класом кожної модифікації.
Оскільки симетрія фаз цих матеріалів різна, то розрахунки необхідно проводити
для кожного випадку окремо.
Клас . Точкова група може бути визначена за допомогою двох твірних елементів
симетрії [116]: повороту () на кут навколо головної осі кристала та площини
відбиття (), що проходить через цю вісь. Твірні елементи пов’язані за допомогою
співвідношень
(2.12)
Характери й матриці необхідних незвідних представлень групи для твірних
елементів наведено у таблиці 2.1.
Таблиця 2.1
Характери й матриці актуальних незвідних представлень для твірних елементів
групи
Твірний елемент
Представлення
1
-1
Базисні функції
x, y; ,
Матриці двовимірного представлення побудовані у базисі компонент полярного
вектора x, y. В аксіально-векторному представленні , ці матриці відрізняються
знаком лише для елементів другого роду () [118]. В останньому рядку дано
розподіл компонент полярного (r) та аксіального (J) вектора по представленням.
З таблиці 2.1 видно, що векторне представлення розпадається на пряму суму двох
представлень: , за яким перетворюється функція , та , за яким перетворюються
функції та , тобто виродження валентної зони у центрі зони Бриллуена частково
знімається.
Однак, при цьому ще не враховано вплив симетрії, пов’язаної з оберненням часу,
яка, у деяких випадках, може приводити до додаткового подвійного виродження.
Оскільки для точки то будь-які незвідні представлення довільних груп хвильового
вектора можуть бути віднесені до одного з випадків згідно з класифікацією,
наведеною у [116]. Для представлень, наведених у таблиці 2.1, безпосередній
підрахунок суми
( - порядок групи, - характер незвідного представлення, - основний елемент
групи хвильового вектора ) за критерієм Херринга [116] показує, що їх слід
відносити до випадку . Це означає, що інверсія часу не приводить до додаткового
виродження. Тому для побудови матриці оператора Гамільтона, за аналогією з [6],
оберемо наступне представлення для блохівських амплітуд:
(2.13)
де , (, ), - власні функції незбуреного гамільтоніана (2.6) з власними
значеннями та ; – коефіцієнти розкладання.
У базисі (2.13) гамільтонову матрицю зручно представити у блочному вигляді
;
при цьому
,
де
(2.14)
Технічно найбільш прийнятним для подальшого розгляду є варіант теорії збурень,
запропонований Льовдіним [29]. Нехай сукупність восьми базисних функцій (див.
вище) складає клас (А) базисних функцій у розумінні [29]. Надалі будемо
працювати у першому наближенні теорії збурень за Льовдіним, а саме: точно
враховувати “взаємодію” між цими чотирма зонами, нехтуючи впливом більш
віддалених.
Явне обчислення матричних елементів від будь-якого оператора потребує знання
хвильових функцій, на яких беруться такі елементи. Однак, як правило, їх
числові значення знаходяться емпірично, тому у більшості випадків достатньо
з’ясувати кількість ненульов
- Киев+380960830922