РОЗДІЛ 2
ОСОБЛИВОСТІ ФОРМУВАННЯ КВАЗІСТАЦІОНАРНОГО СПЕКТРА ЕЛЕКТРОНІВ ВНАСЛІДОК ЗМІНИ РОЗМІРІВ ЗОВНІШНЬОГО ШАРУ-ЯМИ ТРИШАРОВОЇ ЗСКТ ТА ВЛАСТИВОСТІ КВАЗІСТАЦІОНАРНИХ СТАНІВ ПРОСТОЇ ВСКТ
Сучасні експериментальні можливості створення багатошарових наногетеросистем дозволяють отримувати, а отже і досліджувати як закриті, так і відкриті квантові точки (КТ) [1, 16, 17]. На відміну від закритих КТ, важливою особливістю відкритих систем є можливість керування додатковим каналом релаксації енергії квазічастинок через можливість їх проникнення з квантової ями крізь потенціальний бар'єр на безмежну відстань.
На основі наногетероструктур з КТ створені лазери, які випромінюють у інфрачервоній області спектра [2]. Прилади такого типу мають покращені характеристики в порівнянні з лазерами на плоских КЯ. Можливість впливати на часи життя квазічастинок дозволяє створювати надшвидкі датчики випромінювання у необхідній області спектра шляхом підбору геометричних та фізичних параметрів багатошарових відкритих КТ.
При дослідженні фізичних явищ у відкритих наносистемах виникають загально-теоретичні питання, які або залишилися недослідженими у класичній теорії квантово-механічного тунельного ефекту електронів [56], або вони просто не виникали при вивченні квантово-механічних систем, у яких маса квазічастинки не залежала від просторових змінних.
На відміну від теорії електронного, екситонного чи фононного спектрів та взаємодії цих квазічастинок у закритих гетероструктурах [45, 124, 133], яка є досить добре розвинутою і дає задовільне узгодження з експериментальними результатами [16, 17], теорія квазічастинок у відкритих наносистемах лише починає розвиватися, а теорія взаємодії електронів і дірок між собою та з фононами відсутня взагалі.
Математичний апарат квантової механіки [134] і методи вторинного квантування із застосуванням теорії функцій Гріна [56, 135] в задачах про взаємодію квазічастинок з квантованими полями (фононами) добре спрацьовує для закритих систем, але не може бути безпосередньо застосований для відкритих систем із казістаціонарними станами.
Теорія спектрів електронів і дірок увідкритих сферичних КТ (ВСКТ) була розвинута [131] на основі загальної теорії S-матриці [45]. Але узагальнити цю теорію на випадок екситона, як системи взаємодіючих між собою електрона та дірки, не дозволяють математичні труднощі, які виникають при спробі знайти точний розв'язок повного рівняння Шредінгера для системи навіть двох взаємодіючих між собою квазічастинок у відкритій КТ.
Рис. 2.1 Геометричні та енергетичні схеми простої (а) та тришарової (б) закритих і простої відкритої (в) СКТ.
Оминути принципові теоретичні труднощі досліджуючи просту ВСКТ (рис. 2.1в) можна шляхом вивчення відповідної тришарової двоямної закритої сферичної КТ (ЗСКТ) (рис. 2.1б) з великою товщиною зовнішнього шару-ями (). Однак, при такій постановці задачі виникає парадокс, суть якого полягає у тому, що, на перший погляд, не зрозуміло як і чому стаціонарний спектр електрона у тришаровій двоямній закритій СКТ при збільшенні товщини зовнішньої ями до фізичної безмежності перейде у квазістаціонарний спектр простої відкритої СКТ?
Як буде показано, розв'язок парадокса полягає у тому, що при збільшенні товщини зовнішньої ями закритої двоямної СКТ ймовірності знаходження електрона всередині КТ по стаціонарних станах системи поступово перерозподіляються так, що при спрямуванні ширини зовнішнього шару-ями до фізичної безмежності дискретний спектр поступово перетворюється у неперервний спектр квазістаціонарних станів.
2.1. Гамільтоніан, спектр та хвильові функції електрона у тришаровій двоямній ЗСКТ
Розглядається закрита сферична квантова точка з двома потенціальними ямами та одним бар'єром. Геометричні параметри (радіус внутрішньої ями (), товщина шару-бар'єра () і товщина зовнішньої ями ()) указані на рис. 2.1б. З рис. 2.1б видно, що при спрямуванні ширини зовнішньої ями до нуля () тришарова наносистема перетворюється у просту закриту СКТ (рис. 2.1а), а при безмежному збільшенні товщини зовнішньої ями () - вона переходить у просту відкриту наносистему (рис. 2.1в). На рис. 2.1а,б,в схематично зображені потенціальні енергії електрона у відповідних наногетеросистемах.
Щоб знайти спектр і хвильові функції електрона у тришаровій закритій СКТ, необхідно розв'язати стаціонарне рівняння Шредінгера [8]
. (2.1)
У сферичній системі координат з початком у центрі СКТ електрон характеризується ефективною масою () та потенціальною енергією (), які вважаються відомими
, (2.2)
. (2.3)
З урахуванням сферичної симетрії системи розв'язок рівняння (2.1) шукається у вигляді
, ; (2.4)
де - сферичні функції, а для радіальних функції (), поданих у вигляді
, (2.5)
де - одинична функція Хевісайда, отримується система рівнянь
. () (2.6)
Розв'язками цієї системи є лінійні комбінації функцій Бесселя та Неймана
(2.7)
де
, (2.8)
, (2.9)
- коефіцієнти.
Умови неперервності радіальних хвильових функцій і потоків густин ймовірностей на всіх межах наносистеми
() (2.10)
разом з умовою нормування
(2.11)
однозначно визначають усі невідомі коефіцієнти , а отже, і повний набір хвильових функцій () та енергетичний спектр () електрона у зв'язаних станах (E , (2.12)
де
,
,
,
,
,
,
,
Тут - модифіковані функції Бесселя першого та другого роду відповідно.
Дисперсійне рівняння для знаходження енергетичного спектра електрона має вигляд
. (2.13)
Тут ,
,
,
Далі буде детально проаналізовано еволюцію електронного спектра тришарової двоямної закритої СКТ при зміні товщини зовнішньої ями від нуля (проста закрита СКТ) до безмежності (проста відкрита СКТ). З отриманих аналітичних виразів граничним переходом () для енергетичного спектра і для радіальних хвильових функцій електрона (2.12) в о