РОЗДІЛ 2
АНАЛІЗ ПРУЖНОПЛАСТИЧНОГО СТАНУ ПРЯМОЛІНІЙНОГО ЕЛЕМЕНТА ТРУБОПРОВОДУ ЗА БЕЗМОМЕНТНОЮ ТЕОРІЄЮ ОБОЛОНОК
2.1. Теоретичні основи пружнопластичного аналізу тонкостінних труб
У магістральних трубопроводах застосовуються труби з відносною товщиною стінки (віднесеною до середнього радіуса) , які при розрахунках на міцність можна вважати тонкостінними [171]. Теоретичні і експериментальні дослідження показують, що аналіз напружено-деформованого стану таких труб з достатньою для практики точністю можна виконати в рамках основних гіпотез тонких оболонок, вважаючи напружений стан плоским. Це обумовлює потребу застосування при розрахунках труб за границею пружності основних фізичних співвідношень для моделі пружнопластичного тіла, методу змінних параметрів пружності, варіаційних методів визначення переміщень.
2.1.1. Основні залежності деформаційної теорії пластичності. Для розрахунку елементів конструкцій за межами пружності з урахуванням пластичних властивостей матеріалів створено низку теорій пластичності [22,85,126,128,133,169,180]. Серед цих теорій при розв'язуванні інженерних задач найбільшого розповсюдження набула деформаційна теорія пластичності Генкі-Ільюшина [128], що встановлює співвідношення між напруженнями і повними деформаціями.
Важливе місце в деформаційній теорії пластичності посідають поняття інтенсивності напружень та деформацій , які виражаються відповідно через компоненти тензорів напружень і деформацій та дають змогу встановити еквівалентність між складним напруженим станом і одновісним розтягом.
У випадку об'ємного напруженого стану
; (2.1)
. (2.2)
Деформаційна теорія пластичності досить добре підтверджується експериментально при монотонному навантаженні, коли інтенсивність напружень зростає .
При розв'язуванні задач з застосуванням методу змінних параметрів пружності [84] залежності компонент деформацій від компонент напружень доцільно задавати у формі узагальненого закону Гука
; ;
; ; (2.3)
; .
В області пластичних деформацій січний модуль пружності і коефіцієнт поперечної деформації визначають за формулами
; . (2.4)
У випадку одновісного розтягу , , , решта величин дорівнюють нулю і згідно формул (2.1) і (2.2) маємо
; . (2.5)
Підставивши вирази (2.5) у співвідношення (2.4), одержимо
; . (2.6)
З останніх виразів випливає, що параметри і у співвідношеннях пластичності (2.3) можна визначити безпосередньо з діаграми напружень при осьовому розтягу зразка за величиною .
Якщо при розв'язуванні задачі з урахуванням стисливості матеріалу за основні незалежні змінні прийнято компоненти деформацій, інтенсивність деформацій доцільно визначити як величину, що залежить від коефіцієнта поперечної деформації [22,172,189,204] і еквівалентна до осьової деформації при простому розтягу
(2.7)
Для цього варіанту деформаційної теорії пластичності узагальнена крива деформування збігається з діаграмою напружень при осьовому розтязі зразка [172,204], і відповідно змінні параметри і можна визначити за формулами (2.6), використовуючи діаграму напружень, за величиною .
У випадку плоского напруженого стану () залежності між компонентами напружень і деформацій та вираз для інтенсивності напружень мають вигляд
;
;
(2.8)
;
;
(2.9)
З перших трьох співвідношень (2.8) знаходимо
. (2.10)
Ураховуючи залежність (2.10), вираз для інтенсивності деформацій (2.7) у випадку плоского напруженого стану можна записати так [54]
.(2.11)
При відомих значеннях компонент деформацій , інтенсивність деформацій і параметри і знаходяться за допомогою діаграми напружень при осьовому розтязі із формули (2.11) методом послідовних наближень.
В окремому випадку, якщо =1/2, з формули (2.11) випливає відома рівність [98] для інтенсивності деформацій для нестисливого матеріалу
. (2.12)
Метод змінних параметрів пружності дає можливість розповсюдити підходи опору матеріалів на розрахунки елементів конструкцій за границею пружності. У цьому разі рівняння рівноваги, граничні умови і рівняння, що виражають зв'язок між напруженнями і деформаціями здебільшого вдається задовольнити досить повно. Що стосується рівнянь сумісності деформацій, то їх задовольняють наближено, вводячи кінематичні гіпотези, наприклад, гіпотезу плоских перерізів. Оцінку точності такого підходу здійснюють експериментально.
Введення кінематичних гіпотез дає можливість одержати інтегральні залежності між внутрішніми силовими факторами і пов'язаними з ними параметрами переміщень. Це означає, що при розрахунках за межею пружності залежність між узагальненою силою і узагальненим переміщенням можна задавати, використовуючи змінний параметр - інтегральну функцію пластичності [185], яка залежить як від пластичних властивостей матеріалу, так і від геометричних особливостей поперечного перерізу елемента конструкції.
2.1.2. Залишкові напруження і деформації при розвантаженні. При розв'язуванні задач прикладної теорії пластичності [149,153] для визначення залишкових напружень і деформацій застосовують теорему О.А. Ільюшина [128] про розвантаження. Згідно з цією теоремою в процесі розвантаження зміна компонент напружень пов'язана зі зміною компонент деформацій лінійним співвідношенням теорії пружності. При цьому припускається, що спричинені розвантаженням залишкові напруження повторно за границю пружності не виходять.
Відповідно залишкові напруження і деформації в тілі обчислюють як різницю напружень ... і деформацій ..., що виникли при навантаженні, і напружень і деформацій, пов'язаних з розвантаженням ,
;
(2.13)
.