РАЗДЕЛ 2
ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ НАКОПЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОВРЕЖДЕНИЙ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ
Большое количество математических моделей накопления геометрических повреждений, описанных в 1.1, делает проблематичной построение единого подхода к решению задач деформирования конструкций с изменяющимися геометрическими характеристиками. Выбор и обоснование конкретной математической модели представляет собой самостоятельную достаточно сложную задачу. Процедура определения коэффициентов выбранной модели представляет собой трудоемкий процесс, предполагающий обработку большого количества экспериментальных данных, как это описано, например, в [162, 170, 222, 224]. Для получения этих данных необходимы наличие специального оборудования и, что не менее важно, значительные временные затраты. При этом коэффициенты, определенные для данной математической модели, в общем случае не подходят для других моделей.
В настоящем разделе для проведения дальнейших исследований предлагается выбор и обоснование двух математических моделей накопления геометрических повреждений, которые могут рассматриваться, как обобщение известных моделей, подтверждение их адекватности, исследование устойчивости по исходным данным и определение границ применимости.
2.1.Обоснование выбора вида математических моделей накопления
геометрических повреждений
Применяемые до настоящего времени подходы к исследованию процесса деформирования конструкций в агрессивных средах, основанные на использовании известных численных методах решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений вида (1.7) - (1.12), инвариантны по отношению к конкретному виду функций в их правых частях. Использование же аналитических методов оказывается невозможным для большинства известных моделей, что существенно снижает границы их применимости. С другой стороны, в ряде случаев именно аналитические зависимости позволяют повысить эффективность вычислительных процедур и снизить или, по крайней мере, оценить погрешность решения задачи.
Рассмотрим возможность сведения моделей вида (1.7) - (1.12) к одной или двум, которые могут рассматриваться как их обобщение и будут достаточно удобны для получения аналитических решений. При этом примем следующие ограничения на рассматриваемый коррозионный процесс:
1. Коррозия происходит по электрохимическому механизму, то есть является следствием термодинамической неустойчивости металла и заключается в самопроизвольном разрушении металла в электролите; для нее [170] характерно возникновение электрического тока в системе металл - электролит.
2. Коррозионный процесс является стационарным и вариациями параметров процесса во времени можно пренебречь.
3. Имеет место случай сплошной коррозии, протекающей по всей поверхности металла; неравномерность коррозии определяет степень неоднородности поля напряжений по области конструкции.
Как показано в [48], правые части дифференциальных уравнений (1.7) - (1.12) могут быть представлены в виде произведения двух сомножителей, которые определяют химическую и энергетическую составляющие скорости коррозионного процесса. При этом в качестве показателя, характеризующего внутреннюю потенциальную энергию, удобно принять механическое напряжение. Пусть - некоторое эквивалентное напряжение, выбранное таким образом, чтобы коррозионный процесс в условиях сложного напряженного состояния протекал с той же скоростью, что и при одноосном растяжении или сжатии. Тогда, с учетом принятых допущений, модели (1.7) - (1.12) могут быть записаны следующим образом:
,(2.1)
где - скорость коррозии при отсутствии напряжений (химическая составляющая коррозионного процесса); - абсолютное значение эквивалентного напряжения; - некоторая функция (энергетическая составляющая). Очевидно, эта функция должна удовлетворять следующему условию: .
Предполагая, что п раз дифференцируема по напряжению, разложим ее в ряд по степеням . Получим:
.(2.2)
Здесь - некоторые коэффициенты, учитывающие влияние напряжения на скорость коррозии.
Пренебрегая слагаемыми, содержащими в степени 2 и выше, получим модель вида
,(2.3)
аналогичную модели (1.7), предложенной В.М. Долинским [55]. Квадратичная аппроксимация функции напряжений приводит к модели, с точностью до коэффициентов совпадающей с моделью И.Г. Овчинникова [170]:
.(2.4)
Остальные модели с заданной степенью точности могут быть получены путем удержания более высоких степеней . С учетом вышеизложенного представляется целесообразным ограничиться моделями (2.3) и (2.4) при проведении дальнейших исследований.
В следующих разделах излагается методика определения коэффициентов выбранных моделей, приводятся результаты, подтверждающие их адекватность, и исследуется устойчивость этих моделей по исходным данным.
2.2.Методика определения коэффициентов математических
моделей накопления повреждений
Покажем, что модели (2.3) и (2.4) могут быть использованы для описания тех же видов коррозионного износа, которые описываются моделями (1.7) - (1.12). При этом в качестве модели, адекватно описывающей коррозионный процесс, примем модель вида (1.9). Вывод этой модели достаточно полно приведен в монографии [48]. Выбор именно этой модели обоснован тем, что она лучше других описывает коррозионный процесс. В [162] приведено сравнение экспериментальных (точных), приведенных в [75], и теоретических значений скоростей коррозионного износа в зависимости от напряжений для моделей (1.7), (1.9) и (1.11). Погрешность модели (1.9) при этом составила 3 %, модели (1.7) - 11 % и модели (1.11) - 14 %.
Очевидно, точность решения задачи будет зависеть от удачного выбора коэффициентов данных моделей. В дальнейшем предполагается, что коэффициенты модели (1.9) определены точно, и задача состоит в определении коэффициентов моделей (2.3) и (2.4) таким образом, чтобы расхождение результатов решения задачи долговечности, полученных с помощью этих трех моделей было минимальным.
Уравнение (2.4) и