РОЗДІЛ 2
ПОСТАНОВКА КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
ДЛЯ ТОВСТИХ НЕОДНОРІДНИХ ОСЕСИМЕТРИЧНИХ ОБОЛОНОК
У СФЕРИЧНІЙ СИСТЕМІ КООРДИНАТ
У другому розділі сформульовано математичну модель напружено-деформо-ваного
стану товстих неоднорідних сферичних оболонок. Модель складається з просторових
рівнянь теорії пружності в сферичній системі координат та сукупності
співвідношень, що моделюють граничні умови на поверхнях оболонки. Зроблено
постановки крайових задач для різних типів неоднорідності осесиметричних
сферичних оболонок із симетричним та несиметричним навантаженням.
За оболонку в класичних теоріях приймається просторове тіло, бокові поверхні
якого симетрично розміщені відносно серединної поверхні, а торцева поверхня
утворена твірними, ортогональними до серединної поверхні. У теоріях
багатошарових оболонок за шар приймається оболонка в класичному розумінні.
Розроблювана методика значно розширює поняття оболонки. Під товстою сферичною
оболонкою будемо розуміти просторове тіло, що обмежене двома боковими
кусково-гладкими поверхнями й торцевою поверхнею. Твірні торцевої поверхні
повинні бути перпендикулярними до поверхні, яка називається опорною. Опорна
поверхня в загальному випадку не є поверхнею симетрії. Сферичні оболонки мають
за опорну поверхню частину сфери. Бокові поверхні таких оболонок є геометричним
місцем точок, які займають кінці відрізка змінної довжини при русі відносно
ортогональної до нього опорної поверхні, тобто бокові поверхні однозначно
проектуються на опорну поверхню. Торцеві поверхні утворюються даним відрізком,
як твірною.
Розроблювана методика орієнтована на використання чисельних методів для
розв’язання одновимірних крайових задач, тому в роботі розглядаються
осесиметричні оболонки, що мають просторовий напружено-деформований стан,
сталий у напрямку кругової координати, для яких зниження вимірності виконується
по одній координаті – у напрямку нормалі до опорної поверхні.
Напружено-деформований стан товстих неоднорідних сферичних оболонок
Віднесемо товсту сферичну оболонку до ортогональної криволінійної системи
координат (рис. 2.1). Орти вибраної системи координат утворюють праву трійку
векторів. Напрямок орта не співпадає з традиційним його напрямком, що
обумовлено конструктивними особливостями сферичних оболонок, а також
властивостями аналітично-чисельної методики. Вибрана система координат
нормально пов’язана з опорною поверхнею. Опорна поверхня має вигляд сфери, або
її частин у залежності від форми об’єкта, що розраховується.
Геометричні коефіцієнти Ляме у вибраній сферичній системі координат будуть
такі:
(2.1)
де – радіус опорної поверхні; .
Торцеві поверхні оболонки позначимо символом G, а рівняння зовнішньої й
внутрішньої бокових поверхонь оболонки запишемо у вигляді:
.
(2.2)
Товщина оболонки в кожній точці опорної поверхні визначається за формулою:
(2.3)
У вибраній системі координат оболонка займає область евклідового простору:
(2.4)
Напружено-деформований стан товстих оболонок обумовлений об’ємними й
поверхневими силовими навантаженнями. Вони можуть бути зосереджені на деякій
поверхні, або вздовж лінії чи в точці на поверхні тіла оболонки, або в середині
товщини оболонки.
Вихідні рівняння теорії пружності товстих сферичних оболонок запишемо у вигляді
розгорнутої системи диференційних рівнянь у часткових похідних першого порядку
за просторовими координатами відносно вектора переміщень і незалежних (з
урахуванням парності дотичних напружень) компонент тензора напружень [77]. При
цьому враховуємо те, що для об’єктів, які будуть розглядатися в даній роботі,
геометричний коефіцієнт Ляме . Система вихідних диференційних рівнянь теорії
пружності для товстих сферичних оболонок буде мати вигляд:
рівняння рівноваги
(2.5)
рівняння закону Гука
(2.6)
Тут і надалі ; ; ; l, m - фізичні коефіцієнти Ляме; - компоненти об’ємної
сили.
Модуль пружності Е, а також фізичні коефіцієнти Ляме l, m можуть бути функціями
координат, зобразимо їх у вигляді добутків:
(2.7)
де E0 – значення модуля пружності в одній з точок області W; - фізичні
коефіцієнти Ляме, що визначаються за формулами:
(2.8)
де - відома функція, що описує у межах області W залежність модуля пружності
від просторових координат; коефіцієнт поперечної пружності n приймаємо сталим
.
У подальшому будемо розрізняти три основні типи неоднорідних оболонок, у
залежності від властивостей функції , а також у залежності від будови самих
оболонок. Якщо модуль пружності матеріалу оболонки є неперервна функція
координат, то назвемо такі оболонки континуально-неоднорідними [84, 109, 48].
Кусково-неоднорідними будемо називати оболонки, які складаються з окремих
шарів, що контактують по бокових поверхнях чи їхніх частинах [84, 94, 90].
Кожний шар кусково-неоднорідної оболонки являє собою оболонку несиметричної
будови з однорідними чи неоднорідними фізико-механічними властивостями
матеріалу. Дискретно-неоднорідні оболонки є розрахунковою моделлю оболонок,
армованих одиничними стержнями або сітками [84, 110, 9].
Під час розв’язання конкретних задач задля відокремлення часткового розв’язку,
який відповідає вихідній фізичній постановці до розрахункових рівнянь необхідно
додати граничні умови.
Будемо моделювати взаємодію оболонки з оточуючим середовищем або іншими
конструкціями за допомогою пружних в’язів (стержнів) відомої жорсткості k (рис.
2.2). Варіювання жорсткістю пружних в’язів дозволяє реалізувати всі звичайні
граничні умови. Так, якщо k = 0, то у даному напрямку в’язь відсутня і може
бути задане напруження. Пр