РАЗДЕЛ 2
Итерационная теория расчета слоистых пологих оболочек
В данном разделе на основе метода разложения компонент перемещения и напряжения в ряды по функциям от поперечной координаты в сочетании с методом варьирования по определяемому состоянию построен вариант уточненной геометрически нелинейной итерационной теории расчета трансверсально изотропных слоистых пологих оболочек и пластин. Полученные уравнения учитывают все компоненты НДС и описывают в различных приближениях как внутреннее напряженное состояние, так и краевые эффекты типа погранслоя (потенциальный и вихревой краевые эффекты). Порядок дифференциальных уравнений не зависит от числа слоев и количества удерживаемых членов разложений.
2.1. Исходные положения. Основные соотношения теории упругости для трансверсально изотропного материала
Рассмотрим многослойную пологую оболочку постоянной толщины , составленную из произвольного числа упругих трансверсально изотропных слоев толщиной (рис. 2.1, 2.2). Координатную поверхность , расположенную на расстоянии [123] от нижней лицевой поверхности оболочки, отнесем к ортогональной криволинейной системе координат , соответствующих линиям главных кривизн этой поверхности. Будем считать, что для пологой оболочки коэффициенты первой квадратичной формы и равны единице, а главные кривизны поверхности приведения и при дифференцировании по и ведут себя как постоянные.
Компоненты перемещения в слое оболочки в направлениях , и обозначим через , и . При рассмотрении конечных
Рис. 2.1 Общий вид оболочки
Рис. 2.2 Элемент многослойной оболочки
перемещений оболочки будем учитывать только нелинейные члены, связанные с перемещением. В этом случае зависимости между компонентами деформации и перемещения (соотношения Коши) запишутся так:
;
; (2.1)
;
.
Здесь и далее нижними индексами , и после запятой обозначено частное дифференцирование по соответствующим переменным. Выражения в скобках означают, что последующие выражения получаются путем замены индексов на и на .
Соотношения между напряжениями и деформациями для трансверсально изотропного материала имеют вид [7]:
;
; (2.2)
;
,
где , - модули упругости и сдвига -го слоя для поверхности изотропии : , - модули упругости и сдвига -го слоя для плоскостей, нормальных поверхности изотропии; , - соответствующие коэффициенты Пуассона.
Действующую на нижней и верхней лицевых поверхностях оболочки нагрузку представим в виде симметричных и кососимметричных нормальных , и касательных , , , составляющих, так что
при
; ; , (2.3)
при
; ; . (2.4)
Граничные условия на боковых поверхностях оболочки будут рассмотрены дальше.
Полагая, что проскальзывание и отрыв между слоями отсутствуют, условия сопряжения смежных слоев имеют вид:
; ; ; (2.5)
; ; .
2.2. Построение аппроксимирующих функций для перемещений и напряжений
Для приведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной воспользуемся методом разложения компонент напряжения и перемещения в ряды по функции от поперечной координаты .
Выражения для перемещений и напряжений , , примем в виде [123]:
;
; (2.6)
,
где , - нормальные усилия; , - изгибающие моменты; , - сдвигающее усилие и крутящий момент; , , () - полимоменты, соответствующие самоуравновешенным по толщине напряжениям , , .
Для получения функций, аппроксимирующих напряжения , , , используем уравнения равновесия теории упругости
; (2.7)
.
Подставляя , , в уравнения (2.7) последовательно для каждого напряженного состояния, выполняя затем интегрирование по и удовлетворяя условиям (2.3), (2.4) на лицевых поверхностях и условиям сопряжения смежных слоев (2.5), получим выражения для , и , которые представим в виде:
; (2.8)
,
где , - поперечные силы; , () - полисилы, соответствующие самоуравновешенным по толщине оболочки касательным напряжениям , ; () - функции, соответствующие самоуравновешенным по толщине оболочки нормальным напряжениям .
В (2.6), (2.8) обозначено
; ;
; ;
; ;
;
; ;
; ;
; ;
; (2.9)
; ; ;
; ;
; ;
;
;
;
;
;
;
; .
Таким образом, аппроксимирующие функции для перемещений и напряжений слоистой оболочки имеют вид:
;
;
; (2.10)
;
.
Члены разложений с индексами () описывают несамоуравновешенные по толщине оболочки напряженные состояния (первое состояние), а последующие () - самоуравновешенные по толщине напряженные состояния. Использование их позволяет представить полное напряженное состояние оболочки как совокупность внутреннего напряженного состояния, обусловленного несамоуравновешенной по толщине системой сил, и краевых эффектов типа погранслоя, обусловленных самоуравновешенной системой сил. Отметим также, что системы аппроксимирующих функций обладают полнотой и линейной независимостью.
2.3. Вариационные уравнения для несамоуравновешенного и самоуравновешенных напряженных состояний
Для получения уравнений равновесия, граничных условий и зависимостей между усилиями и перемещениями (соотношений упругости) воспользуемся смешанным вариационным принципом Рейсснера. Соответствующее ему вариационное уравнение с учетом (2.1) и (2.2) имеет вид:
(2.11)
,
где - функционал Рейсснера; - поверхность, ограниченная контуром оболочки; - часть поверхности оболочки, на которой заданы поверхностные силы; , , - составляющие поверхностных сил.
Из вариационного уравнения Рейсснера (2.11) в зависимости от количества удерживаемых членов разложений могут быть получены уравнения равновесия, граничные условия и соотношения упругости в различных приближениях. При об