РАЗДЕЛ 2
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОМПЕНСИРУЮЩИХ НАГРУЗОК
В этом разделе излагается способ построения функций Грина смешанных граничных задач для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных второго и четвертого порядка эллиптического типа. Для уравнения Лапласа, а также для одного класса уравнений с переменными коэффициентами получены выражения функций Грина.
2.1. Современное состояние проблемы
Хорошо известна фундаментальная определяющая роль функции Грина в вопросах получения и исследования решений граничных задач для дифференциальных уравнений в теории упругости, теплопроводности, теплоупругости и т.п. Особенно развито их применение как аппарата исследований для уравнений и систем эллиптического и параболического типов. Существующая роль функций Грина в этих вопросах определяется двумя обстоятельствами. С одной стороны, их наличие гарантирует построение обратного оператора рассматриваемой задачи. И в этом плане конструктивное доказательство теоремы существования функции Грина дает алгоритм построения решения самой задачи. С другой же стороны, если область изменения независимых переменных рассматриваемой задачи имеет сложную форму, но при этом некоторые участки ее границы совпадают с границей области более простой формы, для которой известна функция Грина, то, вообще говоря, возможно использование последней для решения исходной сложной задачи.
Следует, однако, отметить, что в существенной степени развитие прикладных исследований в области строительной механики сдерживается тем обстоятельством, что весьма узок перечень, для которых известны точные аналитические выражения функций Грина. Отметим, что достаточно полная сводка их помещена в справочном пособии. Представление же функций Грина в виде рядов по собственным функциям соответствующих краевых задачах [183] (которое в принципе осуществимо во многих случаях) обладает тем недостатком, что при практических вычислениях естественно приходится прибегать к усечению указанных рядов. А при этом, что совершенно очевидно, невозможно с необходимой точностью учесть особенности, присущие соответствующим элементам функций Грина.
Даже для уравнения Лапласа в случае двух независимых переменных, являющегося простейшим из уравнений прикладной механики, в достаточной для приложений степени разработан вопрос построения функций Грина только для задачи Дирихле.
Вообще для произвольной односвязной области , не содержащей бесконечно удаленную точку и ограниченной жордановой кривой , если функция дает конформное отображение области на единичный круг , функция
является функцией Грина задачи Дирихле. Таким образом, всегда можно считать, что функция Грина известна своим аналитическим выражением, если конформное отображение рассматриваемой области на единичный круг определяется аналитически заданной функцией .
В силу известной в теории функций комплексного переменного теории Римана о конформном отображении отображены на единичный круг можно заключить, что для всякой односвязной области, ограниченной жордановой кривой и не содержащей бесконечно удаленную точку, существует единственная функция Грина задачи Дирихле. При этом необходимо доказать, что если же рассматриваемая область содержит бесконечно удаленную точку, то, как известно, дробнолинейным преобразованием (относительно которого линейный дифференциальный оператор Лапласа инвариантен) можно перейти к рассмотрению области не содержащей бесконечно удаленную точку. При рассмотрении других граничных задач (в частности смешанных, когда на различных участках границы исследуемой области изменения независимых переменных заданы условия различных типов) возникают существенные трудности.
Разработка известного метода построения функций Грина разложением по собственным функциям соответствующих задач Штурма-Лиувилля с последующим привлечением аппарата теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений позволила получить ряд новых результатов, часть из которых помещена в [228].
В настоящем разделе приведены выражения функций Грина, построение которых возможно при использовании подхода, базирующегося на методе вариации произвольных постоянных Лагранжа. При этом изложенный материал относится к двумерному уравнению Лапласа и уравнениям стационарной теплопроводности на поверхностях вращения. Рассмотрены различные смешанные граничные задачи для различных канонических областей.
2.2. Формулировка краевой задачи в прямоугольной декартовой системе координат
Для области , принадлежащей двумерному эвклидовому пространству и ограниченной кусочно-гладким контуром , рассмотрим граничную задачу
(2.2.1)
(2.2.2)
где - линейный дифференциальный оператор Лапласа;
, - известные константы, не равные нулю одновременно при каждом ;
- нормаль к контуру .
Будем считать, что задача (2.2.1 - 2.2.2) имеет единственное решение, т.е. соответствующая ей однородная задача не имеет отличных от нуля решений. Если при этом для каждой возможной функцию удалось записать в виде интеграла
то ядро последнего называют функцией Грина однородной граничной задачи, соответствующей (2.2.1 - 2.2.3). как функция точки при любой должна удовлетворить следующим условиям:
1. при
2. При она имеет особенность вида
3. при , .
Детальное изложение используемого здесь алгоритма построения функций Грина оператора Лапласа в случае двух независимых переменных проведем на простом примере задачи Дирихле в полуполосе ,
, для которой, как известно [185], она имеет вид
, (2.2.3)
где , . Чертой сверху здесь и везде далее будем обозначать комплексно сопряженные величины.
Для этой цели рассмотрим граничную задачу
(2.2.4)
(2.2.5)
(2.2.6)
относительно функции .
Потребуем ограниченности от искомой функции при стремлении переменной к бесконечности.
Предложим существование разложений
(2.2.7)
- Київ+380960830922