РОЗДІЛ 2. ПОБУДОВА РОЗРАХУНКОВОЇ
ЗСУВНОЇ МОДЕЛІ БАГАТОШАРОВОЇ БАЛКИ
2.1. ВИХІДНІ ПОЛОЖЕННЯ
Розглянемо задачу про плоске згинання багатошарової балки (рис. 2.1) - балки, що складається з шарів різного матеріалу (метал, бетон, легкі заповнювачі, тощо), які під навантаженням працюють разом без відриву та проковзування один відносно одного. Кожен шар () має товщину та ширину .
Рис. 2.1.
Властивості матеріалів шарів можуть відрізнятися в напрямах та , тобто матеріал вважається анізотропним (ортотропним, трансверсально ізотропним). До таких матеріалів належать сучасні композити, в яких уздовж шарів розташовані армуючі волокна високоміцних матеріалів. Композитною системою також можна назвати й залізобетонну балку, в якій поряд із бетонними шарами розташована арматура. Нині набуває розповсюдження армування бетонних балок композитними волокнами.
Вважаємо, що Закон Гука для кожного шару визначається такими співвідношеннями між деформаціями та напруженнями:
, , , (2.1)
де та - модулі пружності матеріалу відповідно вздовж осей та ; - модуль зсуву в площині , - коефіцієнт Пуассона, що характеризує скорочення вздовж осі при розтягу в поперечному напрямку.
Для композитів характерні досить великі співвідношення . В окремому випадку ізотропного шару , де - коефіцієнт Пуассона.
Наведемо простий приклад. Розглянемо тришарову балку, міцні несучі шари якої об'єднані шаром піддатливого деформаціям зсуву матеріалу - заповнювача (рис. 2.2). Гіпотеза плоских перерізів, яка покладена в основу технічної теорії згину, для такої балки неприйнятна, оскільки перерізи значно викривляються. Це не дає змоги також застосувати модель Тимошенка, бо вона усереднює зсуви по товщині перерізу і не уточнює напружений стан, який при істотній податливості зсуву може значно відрізнятися від того, що визначається не тільки за класичною моделлю плоских перерізів, але й за моделлю Тимошенка, згідно якої переріз також залишається плоским.
Рис. 2.2.
Тому наведемо побудову більш точної моделі, яка враховує викривлення перерізу та уточнює напружено-деформований стан.
2.2. ПОБУДОВА МОДЕЛІ ТЕХНІЧНОЇ (КЛАСИЧНОЇ) ТЕОРІЇ
БАГАТОШАРОВОЇ БАЛКИ
Нормальні та тангенціальні деформації визначаються відомим чином - співвідношеннями Коші:
, , . (2.2)
Для побудови моделі технічної теорії вважається, що: , . Тоді з (2.1) приходимо до висновку про відсутність поперечних деформацій обтиснення та зсуву -
, , (2.3)
а поздовжні деформації та відповідні напруження наберуть вигляд:
або . (2.4)
Отже, якщо шари не обтискаються та не підпорядковані поперечним зсувам, то набирають чинності геометричні гіпотези (, ) та має місце статична гіпотеза ().
Переміщення у шарі отримуємо на основі наведених співвідношень Коші та геометричних гіпотез. Запишемо друге співвідношення -
. (2.5)
Інтегруючи вираз (2.5) отримаємо:
, (2.6)
де величина - стала інтегрування. Якщо , то будемо мати:
Зі співвідношення Коші для деформацій зсуву тепер маємо:
. (2.7)
Інтегруючи цей вираз, при довільному рівні поверхні зведення () відносно початку координат О, який розташований при перетині вертикальної осі z з верхньою поверхнею перерізу (рис. 2.3), отримаємо:
. (2.8)
Рис. 2.3.
Враховуючи гіпотезу , маємо
. (2.9)
Якщо , то , тобто стала інтегрування буде мати вигляд: .
В результаті отримано вираз для визначення тангенціальних (поздовжніх) переміщень по висоті перерізу балки:
. (2.10)
Тоді з виразів (2.2) та (2.4) матимемо:
. (2.11)
При поперечному згинанні слід також ураховувати й дотичні напруження (рис. 2.3). На зовнішніх поверхнях з координатами та і поверхнях контакту з координатами діють зсувні навантаження , кожне з яких прикладене на площадці з відповідною шириною .
На верхній та нижній поверхнях умови між напруженнями та навантаженнями будуть такими:
. (2.12)
Для визначення дотичних напружень у шарах () виділимо елемент балки довжиною (рис. 2.3). Послідовно розглядатимемо рівновагу частини цього елемента між верхньою границею балки та поверхнею в межах кожного з шарів , беручи до уваги ширину певного шару та ширину площадки , на якій прикладене зсувне навантаження .
З умов рівноваги елемента для першого шару () балки отримаємо:
, (2.13)
звідки
. (2.14)
Підставимо у цей вираз формулу для нормальних напружень (2.11):
(2.15)
Величина дає значення дотичних напружень в першому шарі () на відстані від осі (від точки O (рис. 2.3)), причому знаходиться у межах . При фіксованому значенні (межа між першим та другим шарами) будемо мати певну сталу величину дотичних напружень на цій межі:
(2.16)
По аналогії з (2.13) запишемо умову рівноваги для другого шару ():
(2.17)
звідки
(2.18)
При фіксованому значенні (межа між другим та третім шарами) будемо мати певну сталу величину дотичних напружень на цій межі:
(2.19)
Тоді для певного шару з врахуванням (2.16) - (2.19) і при умові, що , можна записати такий вираз для визначення дотичних напружень:
(2.20)
де
,
. (2.21)
При умові, що дотичні напруження можна знайти за допомогою (2.15).
При певному значенні , тобто на межі між шарами () та (), вираз (2.20) набере вигляду:
, (2.22)
де маємо сталі величини
, . (2.23)
В результаті при певному значенні (для нижньої межі п-го шару) із (2.22) та (2.23) будемо мати:
, (2.24)
де маємо сталі
, . (2.25)
Із врахуванням граничних умов (2.12) для дотичних напружень на нижній поверхні маємо:
або .
Тоді формула (2.24) набере вигляду:
, (2.26)
або
. (2.27)
Отриманий вираз є рівнянням рівнова