РАЗДЕЛ 2
ДОЛГОВЕЧНОСТЬ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ОДНООСНОМ НАГРУЖЕНИИ В УСЛОВИЯХ КОРРОЗИОННОГО ИЗНОСА
Среди конструкций, эксплуатирующихся в агрессивных средах, особое место занимают стержневые конструкции, в том числе фермы, элементы которых работают на растяжение или сжатие. Одним из путей повышения эффективности расчета стержневых конструкций в агрессивных средах является вывод аналитических формул, позволяющих в явном виде установить зависимость между временем эксплуатации, параметрами нагружения и агрессивной среды и текущим состоянием какого-либо элемента конструкции.
В данном разделе предлагается вывод аналитических зависимостей для определения долговечности растянутых и сжатых стержней, подверженных коррозионному износу. При этом для сжатых стержней учитывается возможное изменение геометрических характеристик с течением времени.
2.1. Долговечность растянутых стержней с учетом коррозионного износа
Рассмотрим стержень, растянутый силой Q и находящийся в агрессивной среде. Модель коррозионного износа примем в виде [29]:
(2.1)
где h - изменяющийся с течением времени геометрический параметр сечения;
v0- скорость коррозии при отсутствии напряжений; ? - напряжение;
k -коэффициент, учитывающий влияние напряжений на скорость коррозии;
t - время.
2.1.1. Долговечность растянутых стержней круглого поперечного сечения. Принимая в качестве геометрического параметра радиус сечения R, формула для напряжения имеет вид:
(2.2)
Дифференцируя (2.2) по времени, приходим к следующему выражению:
(2.3)
После несложных преобразований, из (2.3) дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, описывающее изменение напряжений в стержне имеет вид:
(2.4)
где R0 и ?0 - радиус стержня и напряжение в начальный момент времени.
В результате решения уравнения получим выражение для определения времени, за которое напряжения в стержне возрастут от ?0 до ?:
(2.5)
Подставив в (2.5) предельное значение напряжений, можно получить значение долговечности стержня.
2.1.2. Долговечность растянутых стержней произвольного поперечного сечения. Для определения напряжения в стержне произвольного поперечного сечения необходимо иметь выражение для площади поперечного сечения в некоторый момент времени. Полагая, что значения площади и периметра сечения в начальный момент времени известны, можно представить площадь в следующем виде:
(2.6)
где P0 и F0 - начальные значения периметра и площади поперечного сечения стержня;
?(t) - глубина коррозионного поражения.
Записывая с учетом (2.6) выражение для напряжения
(2.7)
дифференцируя его по t и учитывая, что , получим:
(2.8)или
(2.9)Откуда
(2.10)где t - долговечность стержня;
?0 - начальное напряжение в стержне;
[?] - максимальное напряжение в стержне.
Таким образом, для стержня произвольного сечения также получена формула, позволяющая определить его долговечность. Однако, при выводе этой формулы, в (2.6) не были учтены члены, содержащие ?2, в то время как их влияние может быть весьма значительно, особенно для сечений с малым отношением F0/P0, что характерно для фасонных профилей. В этом случае формула (2.10) позволяет определить долговечность стержня лишь приближенно.
Представим площадь поперечного сечения в следующем виде:
(2.11)
где S - коэффициент формы сечения (для уголка, швеллера, двутавра S=4, для круга S=?).
Подставив в (2.12) выражение для напряжения с учетом (2.11) и учитывая, что , получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно ?:
(2.12)
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и может быть проинтегрировано. В зависимости от формы поперечного сечения возможны два варианта его решения.
Решения запишем в виде:
(2.13)или
(2.14)
В (2.13) и (2.14) приняты следующие обозначения:
Формула (2.13) реализуется при 4ac?b2 >0, формула (2.14) при 4ac?b2 <.
В полученных зависимостях значение времени определяется через соответствующее ему значение глубины коррозии ?, которое заранее неизвестно. Для его определения воспользуемся формулой для напряжений, преобразовав ее к виду:
(2.15)
Решая данное квадратное уравнение, получим значение глубины коррозии ?, соответствующей напряжению ?.
Таким образом, для стержневых элементов, работающих на растяжение, получены аналитические зависимости, позволяющие определить их долговечность. При этом для стержней круглого сечения долговечность определяется точно из (2.5); для стержней произвольного сечения - приближенно из (2.10) и точно из решения системы (2.13) и (2.15) или (2.14) и (2.15).
2.2. Долговечность сжатых стержней с учетом коррозионного износа
В реальных конструкциях выход из строя какого-либо элемента может произойти не только в результате достижения напряжениями предельно допустимых значений, но и в результате потери устойчивости стержня в том случае, если он работает на сжатие. Задача расчета долговечности сжатого стержня усложняется необходимостью определения минимального момента инерции.
2.2.1. Долговечность сжатых стержней круглого поперечного сечения. Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения. Значение критического напряжения, при котором происходит потеря устойчивости стержня, определяется по формуле Эйлера:
(2.16)
где Imin(t) - минимальный момент инерции,
F(t) - площадь поперечного сечения,
L - длина стержня.
Или, переходя к радиусу:
(2.17)
Дифференцируя (2.17) по времени, получим выражение:
(2.18)
Из (2.18) и (2.3) определим v0(1+k?)dt и приравняем полученные выражения:
(2.19)
После соответствующих преобразований получим дифференциальное уравнение следующего вида:
(2.20)
Интегрируя (2.20) и имея в виду, что в момент потери устойчивости ?=??=?', имеем окончательно:
(2.21)
Таким образом, н