РАЗДЕЛ 2
ПРОВОДИМОСТЬ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
2.1. Математическая модель задачи проводимости
Несмотря на различную физическую природу, стационарные задачи тепло- и
электропроводности, диффузии, диэлектрической и магнитной проницаемости
описываются математически аналогично с помощью уравнения проводимости
(2.1)
и уравнения сохранения
, (2.2)
где u – потенциал, q – вектор потока, k – коэффициент проводимости,
представляющий собой физическую характеристику среды, f –плотность объемных
источников, , – базисные векторы декартовой системы координат, , обозначает
суммирование по s. Возможные физические значения величин, входящих в уравнения
(2.1), (2.2), приведены в табл. 2.1
В общем случае для анизотропных материалов коэффициент k можно представить в
виде симметричной матрицы
.
Таблица 2.1
Физические значения величин в задаче проводимости
Потенциал u
Поток q
Коэффициент k
Температура
Тепловой поток
Теплопроводность
Концентрация
вещества
Массовый поток
Коэффициент
диффузии
Электрическое
напряжение
Плотность тока
Электропроводность
Электрический
заряд
Электрическая
индукция
Диэлектрическая
проницаемость
Магнитный
потенциал
Магнитная
индукция
Магнитная
проницаемость
Для многих задач проводимости взаимное влияние направлений мало, поэтому в
дальнейшем будем рассматривать случай .
2.2. Эффективный коэффициент проводимости
В данном разделе рассматриваются однонаправленные волокнистые композиты,
состоящие из бесконечной матрицы и периодической решетки цилиндрических
включений . Геометрическая структура материала определяется векторами
трансляции , . В качестве примера рассмотрим квадратную (рис. 2.1, а) и
гексагональную (рис. 2.1, б) решетки.
Эффективный коэффициент проводимости в продольном направлении можно вычислить
по правилу смеси:
б
Рис. 2.1. Однонаправленные волокнистые композиты.
а – квадратная, б – гексагональная решетка.
где – объемная доля волокон, – проводимости компонентов, верхние индексы
обозначают, соответственно, матрицу и волокна.
Более сложной является задача определения эффективной проводимости в
поперечной плоскости . Запишем исходные уравнения (2.1), (2.2) в виде
, (2.3)
где – оператор Лапласа. На границе раздела компонентов примем условия
идеального контакта, отвечающие равенствам потенциалов и потоков:
, , (2.4)
где – производные по нормали к .
Выделим в композите два пространственных масштаба: микроуровень, связанный с
расстоянием l между центрами соседних включений, и макроуровень, связанный с
размером L всего образца материала. В практических задачах L может
соответствовать минимальному периоду, оставляемому в разложении внешнего потока
в ряд Фурье. Введем малый параметр
, (2.5)
характеризующий степень неоднородности композита.
Изменим масштаб координат и вместо исходных переменных введем т.н. «медленные»
и «быстрые» координаты:
, , (2.6)
Производные запишутся в виде
. (2.7)
Решение исходной краевой задачи (2.3), (2.4) представим в виде разложения
, (2.8)
где , . Первый член представляет собой осредненную часть решения, которая
изменяется на макроуровне в пределах всего образца материала и не зависит от
быстрых координат (). Последующие члены , вносят поправки порядка и описывают
локальные осцилляции потенциала на микроуровне. В силу периодичности среды
также удовлетворяют условию периодичности:
, (2.9)
где , , .
Подставим выражения (2.6)–(2.8) в краевую задачу (2.3), (2.4) и выполним
расщепление по , полагая, что проводимости компонентов имеют одинаковый
асимптотический порядок: . В результате получим рекуррентную последовательность
краевых задач на ячейке, включающих микроскопические уравнения проводимости
(2.10)
и микроскопические условия идеального контакта
, (2.11)
, (2.12)
где , – символ Кронекера, при , при , , , – производные по нормали к ,
записанные в быстрых координатах.
В силу периодичности (2.9), достаточно рассмотреть уравнения (2.10)–(2.12) в
пределах одной выделенной ячейки периодичности (рис. 2.2).
Решение краевой задачи (2.10)–(2.12) при позволяет определить член . Введем в
ячейке полярную систему координат , . Уравнения (2.10)–(2.12) при запишутся в
виде:
, (2.13)
, (2.14)
, (2.15)
где A – радиус включения в быстрых координатах.
Согласно [25], для симметричной области условия периодичности (2.9) при можно
заменить нулевыми граничными условиями в центре и на внешней границе ячейки
периодичности:
, (2.16)
. (2.17)
Рис. 2.2. Ячейка периодичности. а – квадратная,
б – гексагональная решетка.
В уравнении (2.17) форма границы задается следующим образом:
, (2.18)
где – радиус вписанной окружности, . Для квадратной решетки: , , , для
гексагональной решетки: , .
Будем искать решение краевой задачи (2.13)–(2.17) при помощи метода возмущения
формы границы [72]. Представим в виде разложения
. (2.19)
Перенесем граничное условие (2.17) с контура () на вписанную окружность () при
помощи ряда Тейлора
(2.20)
Выполнив расщепление уравнений (2.13)–(2.17) по параметру , находим:
, ; ; (2.21)
, , ;
, , ;
где – безразмерная проводимость волокон, , – геометрически максимально
возможная объемная доля волокон, , – площадь ячейки в быстрых координатах, .
Для квадратной решетки: , , для гексагональной решетки: , .
Запишем полученное решение (2.21) в виде:
, (2.22)
где
, . (2.23)
Ряд (2.23) расходится при , , что отвечает случаю идеально проводящих волокон
предельно большого размера. Рассмотрим два способа устранения данной
сингулярности.
Первый способ заключается в улучшении сходимости степенного разложе
- Київ+380960830922