РАЗДЕЛ 2
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Рассматриваются конечные элементы, позволяющие описать нелинейное и линейное осесимметричное деформирование тонких конических оболочек, кольцевых и круглых пластин, как расположенных на упругом основании, так и без основания. Связь между конечными элементами и основанием может быть как односторонней, так и двухсторонней. Основными неизвестными являются перемещения.
В этом разделе приведены конечные элементы оболочек и пластин, расположенных на упругом основании. Для случаев оболочек и пластин без основания элементы получаются при соответствующем упрощении матриц.
2.1. Получение конечного элемента в виде усеченной конической оболочки на упругом основании
Перемещение точки срединной поверхности осесимметричной конической оболочки, находящейся под действием осесимметричной нагрузки, однозначно определяется двумя компонентами перемещений u и w, направленными по касательной и нормали к поверхности.
Рассматривается конечный элемент в виде усеченной конической оболочки (рис. 2.1), расположенной на упругом основании. Поведение элемента описывается технической нелинейной теорией. Угол наклона образующей к основанию - ?; радиус нижнего основания оболочки - R; радиус окружности, параллельной основанию, - r (0? r ?R); расстояние в меридиональном направлении от оси симметрии до рассматриваемой точки - s (s=r/cos?); длина усеченного конического элемента - l; радиус i - ой узловой окружности - Ri .
Использование такого конечного элемента позволяет значительно уменьшить порядок матриц, точно описать геометрию, условия закрепления оболочки, радиальные неоднородности нагрузок и основания, а также существенно уменьшить погрешности, возникающие из-за округления чисел при решении больших систем уравнений.
Рис. 2.1. Схема конечного элемента в виде усеченной конической оболочки
В общем случае полагается, что элемент гибкой конической оболочки расположен на малосвязном упругом грунте, поведение которого удовлетворительно описывается в рамках модели основания Винклера. В окрестности рассматриваемой точки реактивное давление основания ( p* ) определяется из выражения
p*=k*w*, (2.1)
где k* - коэффициент постели основания; w* - перемещение поверхности основания, равное перемещению срединной поверхности конечного элемента w в рассматриваемой точке, если контакт между элементом и основанием не нарушен.
Интенсивность внешних сил состоит из интенсивности заданной нагрузки q=q(s) и реактивного давления основания p*=p*(s)
p=p(s)=q-p*. (2.2)
Деформации и перемещения связаны такими выражениями:
, ,
, . (2.3)
Полагается, что материал оболочки обладает изотропными свойствами, поэтому выражения для определения нормальных усилий и изгибающих моментов, соответственно в меридиональном (N1 , M1) и окружном (N2 , M2) направлениях, имеют вид
, ,
, . (2.4)
Здесь ?, Е - соответственно коэффициент Пуассона и модуль упругости материала элемента; h - толщина, а D=Eh3/ [12(1-?2)] - цилиндрическая жесткость элемента.
Перемещения всей системы определяются конечным числом узловых параметров . В каждом из двух узлов конечного элемента (i, j) задаются его меридиональное (ui, uj) и поперечное (wi, wj) линейные перемещения, а также угол поворота (?i, ?j).
Перемещения любой точки внутри элемента в локальной системе координат определяются следующим образом
, (2.5)
где {?} e - вектор узловых перемещений элемента.
Перемещения в локальной системе координат связаны с перемещениями в глобальной системе координат матрицей направляющих косинусов
, (2.6)
так, в узле i
. (2.7)
Радиальное (u) и поперечное (w) перемещения любой точки срединной поверхности элемента в локальной системе координат описываются выражениями
. (2.8)
Такая аппроксимация перемещений вызвана тем [2, 80 и др.], что при переходе межэлементных границ аппроксимации должны обеспечивать непрерывность функций и их производных вплоть до порядка, который на единицу меньше порядка соответствующих старших производных в используемом функционале. При использовании теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа - Лява, в функционал энергии входят первая производная от радиального перемещения, первая и вторая производные от поперечного перемещения. Следовательно, при переходе межэлементных границ аппроксимирующая функция для u должна быть непрерывна, а функция для w должна быть непрерывна и иметь непрерывную первую производную.
Таким образом, матрица имеет вид
. (2.9)
Здесь Ni(L), Nj(L), Mi(L), Mj(L) - базисные функции, принадлежащие к классу полиномов Эрмита:
, ,
, ; (2.10)
где - безразмерная координата (0? L ?1); .
Как известно, в методе перемещений соотношения Коши, обобщенный закон Гука и кинематические граничные условия выполняются точно [36]. Поэтому полный функционал обобщенного принципа Ху-Вашицу превращается в известный функционал Лагранжа, зависящий только от перемещений. Принцип Лагранжа можно считать частным случаем принципа виртуальных работ, который записывается следующим образом [62]
, (2.11)
где - вектор деформаций, - вектор напряжений, - вектор внешних обобщенных сил.
Векторы напряжений и деформаций между собой связаны матрицей упругих констант [D]
, (2.12)
, (2.13)
. (2.14)
Вектор внешних обобщенных сил можно записать так
, (2.15)
где - вектор узловых сил, обусловленных нагрузками, независимыми от перемещений, а - вектор узловых сил, обусловленных нагрузками, зависящими от перемещений (реактивное давление основания). Таким образом,
. (2.16)
Здесь {q} - вектор интенсивностей распределенных нагрузок.
Учитывая выражения (2.1, 2.5) вектор внешней нагрузки, которая обусловлена реактивным давлением основания, запишется так
, (2.17)
, (2.18)
где и - коэффициенты постели в узлах i и j.
После варьирования (2.17) по
. (2.19)
Для обеспечения равновесия полная потенциальная энергия системы должна п
- Київ+380960830922