Оглавление
Введение 3
Глава 1. Нелокальные и обратные задачи
для уравнений смешанного параболо-гинерболического типа 21
§1.1. Прямые задачи с нелокальным граничным условием.......... 21
§1.2. Нелокальная задача для уравнения с неизвестной правой частью,
не зависящей от времени .................................. 39
§1.3. Нелокальная задача для уравнения с неизвестной правой частью,
неявно зависящей от времени............................... 49
*
Глава 2. Нелокальные и обратные задачи
для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического тина 65
§2.1. Прямая задача с двумя нелокальными граничными условиями 65
§2.2. Нелокальные задачи для уравнения смешанного типа с одинаковыми неизвестными правыми частями ........................... 77
§2.3. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с разными
неизвестными правыми частями.............................. 93
Библиографический список 102
2
газовой динамике. Например,, Ф.И. Франкль [93] для уравнения Чаплыгина
К {у)т1Хх “Ь У-уу = ^5
где К(0) = О, К'{у) > 0, впервые поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия («скачка уплотнения») г*(0, у) — гг(0, -у) = f{y)-, 0 < у < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная но нормали искомой функции их(0,у).
В.И. Жегаловым [20] впервые для уравнения Лаврентьева—Вицадзе изучен аналог задачи Трикоми с нелокальным условием, связывающим значение искомого решения на обеих характеристиках (задача со смещением).
A.B. Бицадзе и A.A. Самарским [8] для уравнения Лапласа были предложены задачи с нелокальным условием, связывающим значения искомого решения во внутренних точках области со значениями на границе.
А.М. Нахушев [48] исследовал задачи со смещением для гиперболических и уравнений смешанного эллиптико-гипсрболичсского типа.
В работах М.Е. Лернера и O.A. Репина [42] для эллиптического уравнения
У 'Ч'хх 4“ Vryy ~ 0, 771 > 1,
в полуполосе G = {(ж.у)|0 < х < 1,у > 0} была изучена задача с одним нелокальным условием м(0, у) — и(\,у) = <р\(у)у у > 0 и локальными граничными данными: их(0, у) = <£>2(у)> У > 0 и и(х, 0) = т(аг), 0 < х < 1, и(х, у) —* 0 при у —> +оо равномерно по а: € [0,1].
М.Е. Лернером, O.A. Репиным [41] для уравнения смешанного тина
sgn у • \у\тихх + иуу = 0, т > 0,
в области, где эллиптическая часть является полуполосой, гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и(0,у) — и(1,у) = Ч>\w®(0i2/) “ ^х(1 >у) = Р2(у), У > 0- Доказательство единственности решения задачи проводится с помощью принципа экстремума, существование - методами интегральных преобразований и уравнений.
Л.С. Пулькиной [54], [55] изучались краевые задачи для гиперболических уравнений с нелокальным интегральным условием.
4
Е.И. Моисеев [47] исследовал нелокальную краевую задачу в полуполосе G для эллиптического уравнения:
утихх + Uyy = 0, т > -2,
и{Оуу) = и{1,у), их(Огу) = 0, у > 0, u(x,0) = f(x): 0 < х < 1, в классе функций и Е C(G П C2{G)), в предположении, что и.(х,у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана единственность и существование решения поставленной задачи.
К.Б. Сабитов [62] исследовал задачу Дирихле для уравнения
sign t • \t\muxx -f utt — b2sign t • \t\mu = 0, (0.1)
где m = const > 0, b = const > 0, в прямоугольнике D = {(хД)|0 < x < 1, -a < t < /3}, a, ,3 > 0 - заданные числа, с условиями
и Е C(D) П C\D) Г) C2(D. U £>+); Lu(x, t) = 0, (х, t) е D. U £>+; ц(0, t) = u(l, t) = 0, -a < £ < Д; и(х,/3) = f(x)} и(х, -a) = д(х), 0 < х < 1,
здесь / и д - заданные достаточно гладкие функции, D+ = D П {£ > 0}, £L = D П {t < 0}. Установлен критерий единственности. Существование решения задачи Дирихле доказано на основе спектрального метода решения краевых задач.
К.Б. Сабитовым и О.Г. Сидоренко [71] для уравнения (0.1) в прямоугольной области D = {(:г, £)|0 < х < 1,— а < t < /3} также установлен критерий единственности и найдены достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи с условиями периодичности u(0, t) — -цДО, t) = ux(l,t),
-сх < t < (3, и локальными граничными условиями и(х, (3) = <^(х), и(х, -а) = ф(х)у 0 < х < 1.
Сабитовой Ю.К. [73] - [75] для уравнения (0.1) в прямоугольнике D рассмотрены задачи с нелокальными условиями: г/(0, t) = u(l, t) или иж(0, t) = ux(l,t). -a < t < (3, в сочетании с другими локальными граничными данными. Спектральным методом доказаны единственность и существование решения задачи.
К числу первых исследований задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, можно
о
В работах Сабитова К.Б. и Рахмановой Л.Х. (67), (56), [57] исследованы начально-краевые и нелокальные задачи для уравнений смешанного парабологиперболического типа
где га = const > О, Ь = const > 0, в прямоугольной области D.
Данная диссертационная работа посвящена изучению нелокальных прямых и обратных краевых задач для уравнений смешанного параболо-гиперболи-ческого и эллиптико-гиперболического типов.
Обратные задачи возникают во многих областях науки: электродинамике, акустике, квантовой теории рассеяния, геофизике (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономии и других областях естествознания. Это связано с тем, что значения параметров модели могут быть получены из наблюдаемых данных, а свойства среды на практике часто бывают неизвестны.
Для различных типов дифференциальных уравнений обратные задачи изучались в работах А.Н. Тихонова [88], М.М. Лаврентьева [37) - [39), В.Г. Романова [59], [60], В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Танана [25], A.B. Баева [5], А.И. Прилепко [50] - [52], А.М. Денисова [15] - [17], А.И. Кожанова [32], [33] и других.
А.Н. Зарубин. М.В. Бурцев [10], [11] исследовали обратные начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздыванием по различным переменным.
В работах К.Б. Сабитова, Э.М. Сафина [68| - [70] впервые изучены краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с неизвестной правой частью в прямоугольной области D с граничными условиями первого - третьего родов. Установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.
К.Б. Сабитовым, Н.В. Мартемьяновой [66], [45] исследованы обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболическоготипа в прямоугольной области D = {(гг,г/)|0 < х < 1,—а < у < /?}, с нелокальным условием: = ^(1 лу) или их(0,у) = их(1.у), -а < у < ß, в сочетании с другими локальными граничными данными. Решение построено в виде суммы биор-
Lu =
7
тогоналыюго ряда по системам корневых функций соответствующих взаимно сопряженных задач на собственные значения.
Отметим также работы К.Б. Сабитова, И.А. Хаджи |72], Г.Ю. Удаловой [90], где для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа изучены обратные задачи с локальными граничными условиями первого и второго родов.
В отличие от этих исследований в данной работе рассматриваются нелокальные прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-и эллиптико-гиперболического типов. Принципиальным отличием от предыдущих работ является то, что для данных классов уравнений задаются нелокальные условия, которые связывают значения искомого решения и его производной по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам уравнения. Решения задач строятся в виде сумм рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. При этом возникают малые знаменатели, затрудняющие сходимость этих рядов. В связи с этим для доказательства сходимости построенных рядов требуется установить соответствующие оценки. Отметим, что в случае уравнений эллиптико-гиперболического типа требуется установить более сильные оценки, чем для уравнений параболо-гиперболического типа.
Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений нелокальных прямых и обратных задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа
1 — sqn t 1 + son t >9 ./ . [ /i(t), t > 0,
Lu =---------- utt +-------ut -uxx + b и = f(x, t) = < (0.2)
2 2 { /2М, t < 0,
и эллиптико-гиперболического типа
y> 0,
Lu = uxx + (sgn y)uyy - b и = f{x, y) = <
(0.3)
в прямоугольной области.
В главе 1 для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа исследуются нелокальные прямые и обратные задачи с неизвестной правой частью с нелокальным граничным условием, связывающим значения искомого решения или его производной по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам уравнения. Методом
8
спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.
Рассмотрим уравнение параболо-гиперболического типа (0.2) в прямоугольной области D = {(х, t)\ 0 < х < 1 ,-а < t < р}, где а, р > 0 и b > 0 -заданные действительные числа. Для этого уравнения поставлены и решены следующие нелокальные прямые и обратные задачи.
Задача 1.1.а. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям:
u{x,t) € C\D)nC2(D-)nC2x(D+); (0.4)
Lu(x,t) = 0, (x,t) € D-U D+; (0.5)
u(0,t) = и(1 ,t) = 0, —a < t < P\ (0.6)
u(x, -a) — u(x, p) = (р(х), 0 < x < 1, (0.7)
где y>(x) —заданная. достаточно гладкая функция, причем ср(0) = </?(1) = 0,
D_ = DC\{t<0}, D+ = DC{t> 0}.
Задача 1.1.6. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.4) — (0.6) и
ut(x, —а) - ut(x,P) = ф(х), 0 < х < 1, (0.8)
где ф(х) —заданная достаточно гладкая функция, гр(0) = ^(1) = 0.
Задача 1.2. Найти в области D функции и(х, t) и f(x), удовлетворяющие условиям:
и{х, t) € C\D) П C2{D.) П Cl{D+); (0.9)
f(x) € C(0,1) П L2[0.1]; (0.10)
Lu(x, t) = /(.x), (x.t) e D+U (O H)
u(0, t) = w(l, t) =0,-a<t< P\ (0.12)
щ{х, -a:) - ut(x,p) = ф(х), 0 < x < 1; (0.13)
u(x, -a) = <p(x), 0 < x < 1, (0.14)
где ф{х), y>(x) - заданные достаточно гладкие функции, причем <р(0) = <р(1) - ф(0) = ф(1) = 0.
9
- Київ+380960830922