Градуированные кольца и модули

2
Содержание
Введение 4
1 Предварительные сведения 23
1.1 Основные определения и понятия ...............................23
1.2 Категория градуированных модулей......................31
1.3 Первичные и полупервичные градуированные кольца.......39
1.4 Полулинейные и антиполулинейные изоморфизмы...........42
2 Градуированные тела, регулярные кольца и теоремы плотности 45
2.1 Градуированные линейные пространства..................45
2.2 Градуированные кольца линейных преобразований.........49
2.3 Градуированные регулярные кольца......................59
2.4 Регулярные кольца и модули, градуированные полугруппой . . 61
2.5 Теоремы плотности.....................................69
3 Градуированные кольца частных 80
3.1 Локализация по мультипликативным системам.............80
3.2 Максимальное градуированное кольцо частных............82
3.3 Градуированный расширенный центроид...................92
3.4 Градуированные первичные РГалгебры....................99
4 Радикалы градуированных колец и П-групп 106
4.1 Первичные и строго первичные градуированные модули .... 106
4.2 Специальные градуированные радикалы .........................114
4.3 Радикалы в категории градуированных по полугруппе колец . . 124
4.4 Первичный радикал градуированных П групп..............128
4.5 Первичный радикал специальных супералгебр Ли..........138
5 Эквивалентности и полные вложения в категориях градуированных модулей 147
5.1 Полные вложения в категории градуированных модулей .... 147
5.2 Градуированный Морита-контекст и эквивалентности категорий 149
Введение
4
Теория градуированных колец представляет собой важную самостоятельную ветвь теории колец со своими специфическими методами и проблемами, интенсивно развивающуюся в последнее время. Градуировки естественным образом возникают при рассмотрении таких классических объектов как кольца многочленов, групповые и полугрупповые кольца, кольца матриц. Понятие градуировки играет важную роль во многих кольцевых конструкциях, теории алгебр Ли, гомологической алгебре.
В последние десятилетия активно развивается структурная теория градуированных колец. С периодом около четверти века вышли две монографии К. Настасеску и Ф. ван Ойстайена [134, 136]. В первых работах градуировка рассматривалась по группе целых чисел Z. Отдельно рассматривалась градуировка по двухэлементной группе Z2, так называемый „супер“ случай. В 90-е годы прошлого века появилось много работ, касающихся колец и модулей, градуированных полугруппой. Различные аспекты этой теории исследовались в работах Г. Абрамса, A.B. Келарева, В.Д. Манна, К. Мснини и других, при этом существенную роль в этих исследованиях играла структура самой полугруппы [26. 55, 131]. В то же время рядом авторов рассматривались кольца, градуированные по группе, и модули, градуированные по множеству, на котором действует эта группа [68, 88, 137], а С.В. Зеленовым [21] была рассмотрена и более общая ситуация, когда градуировка колец рассматривалась полугруппами, а градуировка модулей - полигонами над этими полугруппами.
Существенную роль в теории градуированных колец играют градуированные тела, то есть градуированные кольца, каждый ненулевой однородный элемент которых обратим. Поскольку градуированные модули над градуированными телами обладают рядом свойств, аналогичных линейным пространствам, то они называются градуированными линейными пространствами. Например, изучая суперкольца, M.J1. Расин [143] показал, что супералгебры эндоморфизмов конечномерных суперпространств над супертелами изоморфны в том и только том случае, если существует полулинейный изоморфизм суперпространств.
5
В теории колец широко известна и находит многочисленные применения теорема плотности Джекобсона: примитивное кольцо является плотным иод-кольцом кольца линейных преобразований линейного пространства над некоторым телом [18]. В дальнейшем появилось много обобщений этой теоремы на всё более широкие классы колец: P.E. Джонсон [116] рассматривал первичные кольца, обладающие минимальными ненулевыми правым первичным и левым первичным идеалами; К. Кох и A.C. Мьюборн [124] распространили результат Джонсона на первичные антисингулярные справа кольца с однородным правым идеалом; Дж. Зельмановичем (158. 159], была доказана расширенная теорема плотности для слабо примитивных колец.
В 90-е годы получен ряд результатов, касающихся теорем плотности для градуированных по группе колец: была доказана теорема плотности для градуированных примитивных колец [126]; получена теорема плотности для градуированных полупростых модулей [100]. Автором диссертации был получен градуированный аналог теоремы Зельмановича для градуированных группой колец, С.В. Зелсновым [21] была доказана теорема плотности для градуированных слабо примитивных колец в случае, когда градуировка колец рассматривалась по полугруппам, а градуировка модулей - по полигонам над этими полугруппами, при некоторых условиях сокращения, наложенных на полигоны, а С.В. Лимаренко [34] доказал расширенную теорему плотности для суперколец, сформулированную в терминах ровной однородности. В совместной работе автора диссертации, А.В.Михалёва и уже упомянутых авторов [167] дан обзор новых градуированных теорем плотности.
При исследовании колец нередко оказывается полезным вложить рассматриваемое кольцо в кольцо, обладающее теми или иными дополнительными свойствами. Первоначально рассматривался вопрос о вложении колец в тела. В начале 30-х годов прошлого века О. Оре [140] нашел необходимые и достаточные условия вложимости некоммутативного кольца без делителей нуля в тело частных, К. Асано [59] расширил конструкции Оре на кольца с делителями нуля. В конце 1950-х годов с появлением работ P.E. Джонсона, Ю. Утуми, A.B. Голди, П. Габриэля, И. Ламбека и других значение колец частных возросло не только в связи с вложением колец, но и в связи со струк-
6
турной теорией колец. В монографии Б. Стенстрёма [148], вышедшей в 1975 году, было дано систематическое изложение теории колец частных ассоциативных колец и ее применение к структурной теории колец. Дальнейшее развитие колец частных во многом связано с теорией Бей дара-Михалёва [9] ортогонального пополнения и циклом исследований В.К.Харченко по теории Галуа колец.
При построении структурной теории градуированных колец значительный интерес представляет изучение колец частных градуированных колец. При этом кольца частных градуированных колец должны естественным образом наследовать градуировку исходного кольца. Используя конструкцию Утуми, Е. Джерперс и П. Ваутерс [113] определили градуированные аналоги максимального, марти идей л овских и симметрического колец частных; установили связь между этими кольцами и их неградуироваииыми аналогами. Максимальные градуированные кольца частных исследовались в диссертации М.Т.Рахмана [45], классическим кольцам частных посвящены работы [22, 102, 112. 132]. В [176] дан обзор современных результатов по кольцам частных градуированных колец. Градуированным кольцам частных посвящена третья глава диссертации.
Для различных алгебраических систем важную роль при построении структурной теории играет понятие радикала. В 50-х годах прошлого века в работах А.Г. Куроша [29] и С.А. Амицура [56, 57] было заложено начало общей теории радикалов колец и алгебр. Было замечено, что общую теорию радикалов можно развивать в любых алгебраических системах, в которых имеет смысл понятие ядра с его обычными свойствами, т.е. в достаточно "хороших1' категориях. Основные результаты общей теории радикалов колец и алгебр можно найти, например, в монографиях В.Л. Андрунакиевича и Ю.М. Рябухина [5] и Б. Дж. Гарднера и Р. Вигандта [99].
В 1964 году В.А.Андрупакиевич и Ю.М.Рябухин |4| показали, что общая теория радикалов ассоциативных колец может быть изложена внешним образом - на языке модулей или, что то же самое, на языке теории представлений. При таком изложении существенную роль играют общие модули, обобщающие понятия неприводимых и первичных модулей, причем специальные ра-
7
дикалы характеризуются некоторыми подклассами первичных модулей [2, 3].
При рассмотрении градуированных колец градуированную версию радикала можно определить различными способами. Градуированные радикалы градуированных колец активно изучались Г. Бергманом, М. Коен, К. Мени-ни, С. Монтгомери, М.А.Бити, II.Стьюартом и другими (см. |69, 70, 85, 135]). Было установлено, что градуированный радикал Джекобсона можно определить с помощью gr-неприводимых модулей [77], а градуированный первичный радикал - с помощью gr-первичных модулей [125].
Многими авторами изучались радикалы градуированных по полугруппе колец, в их числе А.Д. Белл, Б. Гарднер, A.B. Келарев, Е. Джерперс, W.D. Манн, П. Ваутерс (см. [74], [75], [84], [118]—[121], [131] .[150]). В этих работах исследовались свойства радикалов градуированных колец и алгебр, однородность радикалов и характеризация радикалов через радикалы компонент для отдельных классов полугрупп. В [153] были поэлементно охарактеризованы градуированные радикалы Бэра, Левицкого, Кёте и Брауна-Маккоя кольца, градуированного сократимым моноидом. Радикалам градуированных колец посвящена диссертация С.А. Абдэль Азиз [1]. В четвертой главе диссертации продолжено изучение градуированных радикалов градуированных колец.
Важное значение при исследовании градуированных колец и модулей играют так называемые градуированные эквивалентности, т.е. эквивалентности которые перестановочны со всеми функторами сдвига градуировок. В случае G = Z, такие эквивалентности были охарактеризованы автором диссертации, а также Р. Гордоном и Е. Л. Грином [103]. К. Менини и К. Настасеску заметили в [128], что результаты остаются верными и для произвольной группы G. Дж. Хейфнер [105] рассматривал градуированные эквивалентности градуированных колец с локальными единицами, А. дель Рио [144] описал градуированные эквивалентности между категориями градуированных модулей над градуированными кольцами в том случае, когда градуировка колец рассматривалась по различным группам. Градуированным эквивалентностям в категориях градуированных модулей посвящена пятая глава данной работы.
При изучении колец операторов линейных пространств и колец эндомор-
8
физмов модулей одним из центральных вопросов является описание их изоморфизмов. Описание изоморфизмов колец линейных преобразований линейных пространств над телами приведено в монографии Р. Бэра [15]. Проблема описания изоморфизмов колец эндоморфизмов модулей фактически стартовала с теоремы Бэра-Капланского о характеризации абелевых групп их кольцами эндоморфизмов (важность модульного подхода в этой задаче была подчеркнута в монографии И. Капланского [117] по бесконечным абелевым группам). Классическая постановка задачи выясняет, когда изоморфизм колец эндоморфизмов индуцируется полулинейным преобразованием; начиная с работы К. Мориты [130] стала рассматриваться индуцируемость эквивалентностью Мориты, т.е. функтором, ассоциированным с конечно порожденным проективным образующим [80]. A.B. Михалёвым [36] была рассмотрена и более общая ситуация, когда изоморфизм колец эндоморфизмов индуцируется функтором, ассоциированным с образующим модулем: были доказаны три критерия, решающие вопрос о том. когда изоморфизм колец эндоморфизмов строгих образующих модулей (т.е. модулей, имеющих свободное циклическое прямое слагаемое) индуцируется функтором, ассоциированным с образующим модулем, эквивалентностью Мориты или полулинейным преобразованием. Наряду с описанием изоморфизмов колец эндоморфизмов модулей значительный интерес представляет описание антиизоморфизмов колец эндоморфизмов. В уже упомянутой монографии Р. Бэра [15] было установлено, что кольца линейных преобразований линейных пространств VD и WE над телами антиизоморфны в том и только том случае, если пространства V& и WE конечномерны и существует антиполулинейное преобразование сопряженного пространства ЕУ* на пространство WE} которое индуцирует антиизоморфизм. К. Уолфсон [156] привел критерий индуцируем ости антиизоморфизма колец эндоморфизмов строгих образующих антиполулинейным преобразованием. A.B. Михалевым и К.И.Бейдаром [10] был установлен критерий ин-дуцируемости антиизоморфизма колец эндоморфизмов строгих образующих антиэквивалентностью Мориты.
При рассмотрении градуированных колец вместо кольца эндоморфизмов для градуированного модуля естественно рассматривать градуирован-
9
ное кольцо эндоморфизмов вообще говоря, строго содержащееся в кольце эндоморфизмов модуля, рассматриваемого без градуировки. Изоморфизмам и антиизоморфизмам градуированных колец эндоморфизмов градуированных модулей близких к свободным посвящена заключительная глава данной работы.
Важное место в теории градуированных колец занимает проблема описания градуировок. В последние годы было опубликовано много работ, касающихся описанию всех возможных градуировок на кольце матриц Мп(к) над полем к (см., например, (8, 63, 89]). В этих работах были выделены, так называемые хорошие (или элементарные) градуировки, которые характеризовались тем свойством, что все матричные единицы являются однородными элементами. Результаты данной работы позволяют дать описание „хороших“ градуировок на кольцах матриц над любыми градуированными кольцами.
Целыо работы является развитие структурной теории градуированных колец на основе градуированных колец эндоморфизмов, градуированных радикалов, градуированной эквивалентности Мориты и градуированных колец частных, позволяющих, например, решить для градуированных колец следующие проблемы: проблему В.А. Андрунакиевича о специальных радикалах, градуированные варианты проблем Мориты и Бэра-Капланского.
Основные методы исследования. В диссертации используются методы классической теории колец, теории категорий и развитые методы теории градуированных структур.
Научная новизна. Основными результатами диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Получен градуированный аналог „треугольной теории Галуа“: построены изоморфизм (антиизоморфизм) между решеткой градуированных подпространств градуированного линейного пространства над градуированным телом и решеткой правых (левых) градуированных аннуляторных идеалов его градуированного кольца эндоморфизмов, антиизоморфизм между решеткой правых и решеткой левых градуированных аннуляторных идеалов градуированного кольца эндоморфизмов. Установлено, что любой изоморфизм
10
градуированных колец линейных преобразований градуированных линейных пространств над градуированными телами индуцируется специального вида полулинейным преобразованием линейных пространств.
2. Доказана расширенная теорема плотности для градуированных колец; описаны градуированные слабо примитивные кольца в случае, если градуировка кольца рассматривается по полугруппе, а градуировки модулей - по различным полигонам над этой полугруппой (при некоторых условиях сокращения, наложенных на полигон).
3. Описаны свойства градуированного центроида Мартиндейла полупер-вичного градуированного кольца. Получена градуированная версия теоремы Познера, утверждающая, что градуированная первичная Р1-алгебра обладает градуированной простой конечномерной над своим градуированным центром алгеброй частных.
4. Дана характеристика специальных радикалов категории градуированных колец на языке теории представлений; рассмотрены градуированные версии классических радикалов и охарактеризованы классы модулей им соответствующие; определен класс строго первичных градуированных модулей, характеризующий градуированный строго первичный радикал. Установлено, что локально разрешимый градуированный радикал обобщенно специальной супералгебры Ли совпадает с первичным градуированным радикалом.
Введено понятие первичного радикала градуированных {1-групп, дано его поэлементное описание; доказано, что градуированный первичный радикал градуированной 11-группы с условием конечности совпадает с нижним слабо разрешимым (в смысле Парфенова) радикалом.
5. Дано описание градуированных эквивалентностей Мориты в полных подкатегориях категории градуированных модулей.
6. Решена проблема Бэра-Капланского для градуированных модулей, близких к свободным. Получены три критерия для изоморфизма градуированных колец эндоморфизмов быть индуцированным при помощи градуированного полулинейного преобразования, градуированной эквивалентности Мориты или градуированного точного вложения соответственно. Получены два критерия для антиизоморфизма градуированных колец эндоморфизмов
11
быть индуцированным градуированным антиполулинейиым преобразованием или градуированной антиэквивалентностью Мориты соответственно. Описаны „хорошие“ градуировки на кольцах матриц над градуированными кольцами.
Тем самым в диссертации решены следующие проблемы:
- построение градуированной треугольной теории Галуа; градуированный вариант проблемы В.А. Андрунакиевича о специальных радикалах;
- градуированный вариант проблемы Мориты;
- градуированный вариант проблемы Бэра-Каплан с кого.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и может быть применима при исследовании различных градуированных структур.
Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывалась автором
- на научно-исследовательском семинаре по алгебре и семинаре „Кольца и модули“ кафедры Высшей алгебрЕл МГУ им. М.В.Ломоносова
- и на следующих научных конференциях:
международной конференции по алгебре (Красноярск, 1993);
ИГ международной конференции „Современные проблемы теории чисел и ее приложения“ (Тула, 1996);
международной алгебраической конференции памяти А.Г. Куроша (Москва, 1998);
международной конференции „Универсальная алгебра и ее приложения'1 (Волгоград, 1999);
международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре (Москва, 2000);
IV Международной конференции „Современные проблемы теории чисел и ее приложения“ (Тула, 2001):
международной алгебраической конференции, посвященной памяти
З.И.Боревича (Санкт-Петербург, 2002);
V международной конференции „Алгебра и теория чисел: современные
12
проблемы и приложения“ (Тула, 2003);
международной конференции по радикалам (ICOR-2003) посвященной памяти В.Андранукиевича (Кишинев, 2003);
международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004);
международном семинаре „Компьютерная алгебра и информатика“, посвященном 30-летию лаборатории вычислительных методов механикоматематического факультета МГУ (Москва, 2005);
Ломоносовских чтения МГУ им. Ломоносова (Москва. 2007); международной научной конференции „Современные проблемы математики, механики, информатики“ (Тула, 2007);
международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007);
международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 2008, пленарный доклад);
международном алгебраическом семинаре кафедры высшей алгебры, посвященном 80-летию А.И. Кострикина (Москва, 2009);
УП международной конференции ,Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения“, посвященной памяти А.А.Карацубы (Тула, 2010, пленарный доклад);
международном алгебраическом симпозиуме, посвященном 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-ле-тию A.B. Михалёва. (Москва, 2010, пленарный доклад);
VIII международной конференции „Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения“, посвященной 190-летию П.Л.Чебышева и 120-ле-тию И.М.Виноградова (Саратов, 2011);
международной конференции ,Алгебра и математическая логика“, посвященной 100-летию со дня рождения В.В.Морозова (Казань, 2011);
IX международной конференции ,Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения“, посвященной 80-летию со дня рождения М.Д.Гриндлингера (Тула. 2012, пленарный доклад).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в рабо-
13
тах автора [133] -[201].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, б глав, разбитых на параграфы (нумерация параграфов подчинена нумерации глав, нумерация теорем подчинена нумерации параграфов) и списка литературы. Полный объем диссертации - 212 страниц, библиография включает 201 наименование, из которых 39 - публикации автора по теме диссертации.
Остановимся подробнее на содержании отдельных глав.
Первая глава является вводной, в ней содержатся основные определения, понятия и факты, необходимые для дальнейшего изложения.
Если не оговорено противное, то всюду в работе: С - мультипликативная группа с единичным элементом е; кольцо - ассоциативное С-градуированное с единицей, модуль - С’-градуированный модуль, §г.гпо(1-.4 (,4-дг.ггнх1) - категория правых (левых) градуированных Л-модулей, объектами которой являются правые (левые) градуированные Л-модул и, а морфизмами - сохраняющие градуировку гомоморфизмы.
Всюду' далее градуированные аналоги стандартных определений будем обозначать приставкой '^г-п. Таким образом, градуированное модуль А называется дг-иеприводимым, если он не содержит собственных градуированных подмодулей.
Здесь приведены свойства gr~инъeктивныx и gr-пpoeктивныx модулей, дана характеристика первичных и полупервичных градуированных колец, введены понятие §1*-образующего категории gr.mod-Л, полулинейного и антиподу л и н е й н ого а - изо м орфи з м а.
Вторая глава посвящена градуированным телам, регулярным кольцам и теоремам плотности.
В §2.1 рассмотрены градуированные модули над градуированными телами, являющимися gr-cвoбoдными модулями, описаны их однородные базисы.
Установлено, что градуированное кольцо с единицей, каждый правый (левый) градуированный модуль над которым является §г-свободным, является градуированным телом (теорема 2.1.1).
§2.2 посвящен градуированным кольцам эндоморфизмов градуированных
14
линейных пространств над градуированными телами. Установлено, что они является gr-регулярны ми кольцами (теорема 2.2.1)
Пусть Ур — градуированное линейное пространство над градуированным телом £), А = END£)(VГ) - его градуированное кольцо эндоморфизмов. Для Н С Д, Б С V, положим:
Аппу(Н) = {уеУ\Но = 0}, Аппд (5) = {/ € Д | /(5) = 0}, Соаппк(Я) = НУ = {Ну \ Н е Нуу е У}, Соаппл(5) = (5 : У)А,
1А(Н) = {а€ А\аН = 0}, тА{Н) = {а£А\На = 0}.
Обозначим через Сдг{У) решетку градуированных подпространств пространства У, а через £рГ (дД) (С$ (Дл)) решетку левых (правых) градуированшлх аннуляторных идеалов кольца А
К основным результатом данного параграфа следует отнести теорему, являющуюся градуированным аналогом "треугольной теории Галуа”,
Теорема 2.2.3. Пусть V - С-градуированного линейное пространство над градуированным телом Я, А = ЕНО^ДУ) - его градуированное кольцо линейных преобразований. Тогда:
1) отображение Аппд : С9Г(У) —> С% (аА) является антиизоморфизмом (с обратным отображением Аппу);
2) отобра'лсение Соаппл : Сдг(У) —> (Ад) является изоморфизмом(с обратным, отобрао/сением Соаппу);
3) отображение /д '■ (Дл) —> С^(аА) является антиизоморфизмом (с обратным о гп о бра о/с е н и ем гА).
и следующую теорему об изоморфизме
Теорема 2.2.4. Пусть А = ЕКБ/ДУ) и В = ЕКЭ^'Е) - градуированные кольца линейных преобразований градуированных линейных пространств У о и \Уе над градуированными телами О и Е соответственно. Тогда ф : А —> В является изоморфтзмом гра&уированных колеи, в том и только толь случае. если существуют элемент а £ С и полулинейный а-изолюрфуизм (/3, а) градуированных линейных пространств У о и такие что /Ф = /3//3“1 для любого / € Д.
Третий и четвертый параграф второй главы посвящен градуированным
15
регулярным кольцам и модулям, причем в §2.4 градуировка рассматривается по регулярной полугруппе 5.
В §2.5 доказывается расширенная теорема плотности для градуированного группой кольца.
Градуированное кольцо называется слабо примитивнымесли оно обладает точным критически сжимаемым градуированным модулем, т. е. таким модулем, который может быть вложен однородным мономорфизмом в каждый свой ненулевой градуированный подмодуль, но не может быть вложен ни в один из своих собственных градуированных фактор-модулей.
Пусть А - градуированное кольцо. Назовем градуированной А-решеткой тройку (Д,дУд,Мд), где Д - градуированное тело, V - градуированный Д-Л-бимодуль, Ма - градуированный ^4-модуль, АМ = V, и А действует точно на М (значит мы можем считать, что А С ЕНБд(Г')).
Теорема 2.5.4. Для градуированного кольца А следующие условия эквивалентны:
1) А слабо примитивно;
2) существует А-решетка (Д, дКд, Ма) такая, что для данных линейно независимых над Д элементов гц,... ,гд € Н(У) существует О Ф а е б(А) такой, что для любых элементов гп\,..., 6 М найдется такой а Е А,
что атг = г>4а Е М для каждого г = 1 причем, при к = 1 и
т\ € /г(А/) элемент а можно выбрать однородным.
Описаны градуированные слабо примитивные кольца в случае, если градуировка кольца рассматривается по полугруппе, а градуировки модулей по различным полигонам над этой полугруппой (при некоторых условиях сокращения, наложенных на полигоны).
Третья глава посвящена градуированным кольцам частных.
В §3.1 приводятся результаты, касающихся правых градуированных классических колец частных, т.е. колец частных относительно множества всех однородных неделителей нуля.
§3.2 посвящен градуированным максимальным кольцам частных, исследуются свойства градуированных максимальных колец частных gr-пoлyпepвичныx колец. Градуированное кольцо называется несингу-
16
лярным справа, если его правый градуированный сингулярный идеал $^дг(А) = sing(Л)^/r = 0.
Теорема 3.2.1. Пусть С} = С}дг(А) — максимальное градуированное правое кольцо частных дг-полупервичного кольца А. Тогда кольцо фдг(А) дг-ре-гулярио в том и только том случае, есл.и ъ\^дг(А) = 0.
В §3.3 описаны свойства градуированного расширенного центроида Сдг(А) йг-полупервичного кольца А, являющегося максимальным градуированным подкольцом центра градуированного мартиидейловского правого кольца частных Установлено, что он является gr-peгyляpным
и gr-caмoинъeктивным подкольпом расширенного центроида С(А) (теорема 3.3.2).
Теорема 3.3.3. Пусть А - дг-полупервичпое кольцо, С}дг = С}97'(А), Сдг = Сдг(А), АиА - градуированный подбимодуль А-А-бимодуля ()9Г и / : лиА —> лЯд ~ гомоморфизм бимюдулей, такой что /(V\) С для некоторого д Е Z(G). Тогда существует элем.ент А Е Сдг, такой что /(и) = А и для всех и Е (I.
Используя теоремы 3.3.3, получено следующее предложение.
Предложение 3.3.6. Пусть Сдг(А) - градуированный расширенный центроид дг-полупервичного кольца А. Тогда эквивалентны следующие условия:
1) А - дг-первично;
2) Сдг{А) — градуированное поле;
3) Сдг(А)е — поле.
В §3.4 рассматриваются gl•-IIepвичныe алгебры над нолем к, являющиеся Р 1-алгебрам и как алгебры без градуировки.
Теорема 3.4.4. Пусть А - дг-примитивпая алгебра, удовлетворяющая полиномиальному тождеству степени с1. Тогда А является конечномерной над своим градуированным центром Zgr(A) дг-простой алгеброй и; сИт^.(л)(Л) < [б/2]2, где [д/2] - целая часть (I/2.
Предложение 3.4.1. Пусть А - дг-первичная Р 1-алгебра, - ее граду-
ированный центр. Тогда 1 П rZ^JT Ф 0 для любого ненулевого градуированного идеала 1 в А.
17
С помощью теоремы 3.4.4 и предложения 3.4.1 доказывается градуированный аналог теоремы Познера.
Теорема 3.4.5. Пусть А - дг-первичная Р1-алгебра, Ао - градуированная центральная алгебра частных алгебры А. Тогда:
1) Ао конечномерная над своим градуированным центром .Р дг-простая алгебра., причем. Р - градуированное поле частных центра гЯг(А);
2) Ао является градуированной (левой и правой) классической алгеброй частных для А;
3) А и Ао удовлетворяют одним и тем эк:е полиномиальным тождествам.
Четвертая глава посвящена радикалам градуированных колец.
В §4.1 исследовались первичные и строго первичные градуированные модули. Описаны свойства gr-пepвичныx, gr-кoпepвичныx модулей и gr-cтporo первичных колец и модулей.
§4.2 посвящен специальным радикалам категории градуированных колец.
Показано, что наибольший специальный класс градуированных колец совпадает с классом всех §г-первичных колец (предложение 4.2.3).
Установлено, что любой специальный радикал категории градуированных колец может быть определен посредством некоторого класса модулей. Охарактеризованы классы модулей, определяющие классические градуированные идеала, такие как градуированные радикалы Левицкого,Кёте и Брауна-Маккоя, а также градуированный компрессивный и градуированный строго первичный радикалы.
В §4.3 рассматривались радикалы в категории сжатых градуированных полугруппой колец. Определен аналог радикала Джекобсона в данной категории и доказано, что он будет специальным радикалом.
В §4.4 введено понятие градуированной П-группы, включающее в себя не только ассоциативные алгебры (с градуировкой и без оной) и группы, но также алгебры и супералгсбры Ли, конформные и вертексные алгебры.
Дано поэлементное описание первичного радикала градуированной П-группы (теорема 4.4.1), установлено, что градуированный первичный радикал градуированной П-группы с условием конечности совпадает с нижним слабо
18
разрешимым (в смысле Парфенова) радикалом (теорема 4.4.3).
§4.5 посвящен исследованию первичного радикала обобщенно специальной супсралгебры Ли. Установлено, что он совпадает с локально разрешимым градуированным радикалом.
Пятая глава диссертации посвящена эквивалентностям и полным вложениям в категориях градуированных модулей.
§5.1 доказана теорема
Теорема 5.1.1. Пусть А - оюесткая подкатегория категории gr.mod-Л, т.е. полная подкатегория, замкнутая относительно подмодулей, гомоморфных образов, прямых сумм и сдвигов градуировки. U 6 А и В = ENDд(Б). Тогда, если модуль U является gr-образующим категории А, то функтор НО Мл (/7, —) : А —» gr.mod — В является полным уни-валептным функтором., и имеет место естественно,я эквивалентность (функторов НОМд(1/, —) 0# U = Id^.
§5.2 посвящен градуированному Морита-контексту и эквивалентностям им порождаемым. Основным результатом этого параграфа является
Теорема 5.2.4. Для градуированных колец А и В следующие условия эквивалентны:
1) категории gr.mod-Л и gr.mod В являются gr-эквивалентными;
2) категории Л-gr.mod и В -gr.mod являются gr-эквивалентными;
3) существуют конечно порооюденный проективный gr-образующий модуль РА и изоморфизм градуированных колец В « END^P);
4) существуют градуированные бимодули вР.а и aQb и изоморфизм градуированных бимодулей Р 0Л Q ж В, Q 0^ Р ^ А.
Эквивалентность категорий осуществляют функторы
НОМд(Р. -) : gr.mod—Л—> gr.mod-.В и “ Р : gr.mod—Б—» gr.mod-Л.
В §5.3 рассматриваются градуированные эквивалентности в жестких подкатегориях, индуцированные локализациями и ко локализациями. Дано описание градуированных эквивалентностей между полными подкатегориями категорий градуированных модулей (теорема 5.3.1).
19
В заключительной шестой главе работы рассматриваются изоморфизмы и антиизоморфизмы градуированных колец эндоморфизмов градуированных модулей, близких к свободным.
В §6.1 установлено, что изоморфизмы градуированных колец эндоморфизмов конечно порожденных проективных gr-oбpaзyющиx индуцируются градуированной эквивалентностью Мориты (теорема 6.1.2).
В §6.2 вводится понятие строго градуированного образующего и исследуются его свойства.
Модуль IIА - строгий gr-oбpaзyющий, если 1/а = Ра ф На и Ра — А(а) - §г-свободный циклический модуль. В этом случае существуют однородный идемпотент V = у2 £ Е1У0(Мл)с: такой, что уМа = Ра, называемый идем-потентным эндоморфизмом ранга 1 и обозначать это: дг.г(у) = 1.
В §6.3 получены три критерия для изоморфизма градуированных колец эндоморфизмов быть индуцированным при помощи градуированного полулинейного преобразования, градуированной эквивалентности Мориты или градуированного точного вложения соответственно.
Пусть Ли В - градуированные кольца, Мл и N в ~ строгие gr-o6paзyIoщиe, Я = ЕМБа{М) и 5 = ЕМВв{М) - их градуированные кольца эндоморфизмов, а : Я —> 5 - изоморфизм градуированных колец.
Теорема 6.3.1. Следующие условия равносильны:
1) если у £ Я и дг.г(у) = 1, то уа- конечно порожден и проективен;
2) если V £ Я, IV £ Я и дг.г(у) = дг.г(и>) = 1, то ус,БтЗуа = уа3у0е;
3) если го £ 5 и дг.г(ш) = 1 то гоа 1М - дг-образующий;
4) существует дг-образующий IIа, для которого В = ЕМО{Ьта), и изоморфизм градуированных В-модулей о : НОМ(1/а, Ма) N > такой, что [НОМ(ил, г)(х))а = для всех х £ НОМ(ил, МА), г € Я.
Теорема 6.3.2. Следующие условия равносильны:
1) если у = у2 £ Я, дг.г(у) = 1, то уа1у1в - дг-прообразующий;
2) если у — у2 £ Я и V) = ги2 £ 5, дг.г(у) = дг.г('ш) = 1, то уаМв и ги° 5 Ма ~ конечно порожденные проективные градуированные модули;
3) если у = у2 € Я, и и) = иг £ в, дг.г(у) = дг.г(ги) = 1, то уаМв и ги° ' МА ~ дг-образующие модули;