Избранные аппроксимативные свойства множеств в банаховых пространствах

ОГЛАВЛЕНИ Е
Основные определения и обозначения...............................5
Введение.........................................................7
Глава I. Примеры множеств с заданными аппроксимативными свойствами...........................................................47
§ 1.1. Пример нетривиального чебышевского множества..........47
§ 1.2. Пример аппроксимативно компактного,
но не локально компактного множества....................50
§ 1.3. Пример не аппроксимативно компактного множества
существования с конечнозначной метрической проекцией....54 § 1.4. Новые примеры несуществования точки Штейнера.......59
Глава II. Линейность и липшицевость оператора метрического проектирования на чебышевское подпространство.................. 67
§ 2.1. Квазиортогональные множества..........................67
§ 2.2. Коэффициент линейности.............................. 70
§ 2.3. Пространство С.......................................76
§ 2.4. Пространства типа с..................................80
§ 2.5. Пространство Ь\......................................83
§ 2.6. Пространство Н1.................................88
Глава III. Я-приближения....................................... 92
§ 3.1. Метрическая Дг-ироекция...............................92
2
§ 3.2. Выпуклость 2-чебышевских множеств при условии
непрерывности метрической 2-нроекции....................97
§ 3.3. Выпуклость ЛГ-чебышевских множеств в
равномерно выпуклом пространстве.......................105
§ 3.4. Доказательство теоремы Л.П. Власова о К-связности
чебышевских множеств в случае несимметричной нормы... 112 § 3.5. Выпуклость множеств в гильбертовом пространстве при
условии одноточечности метрической 2-проекции для пар •
близких точек..........................................121
§ З.б. Выпуклость множеств, АГ-чебышевских для бесконечно
многих N...............................................124
§ 3.7. 2-чебышевские подпространства в пространстве С........129
§ 3.8. 2-чебышевские подпространства в пространстве Ь\.......134
§ 3.9. Зеркальное свойство метрической 2-проскции............142
Глава IV. Плотность полугруппы в банаховом пространстве.
Приближения наипростейшими дробями..............................150
§ 4.1. Пример: приближение наипростейшими дробями
на действительной оси..................................150
§ 4.2. Постановка задачи о плотности полугруппы..............153
§ 4.3. Когда замыкание полугруппы — подгруппа................157
§ 4.4. Плотность подгруппы...................................169
§ 4.5. Приближение на компактах наипростейшими дробями
с ограничением на полюсы...............................179
§ 4.6. Приближение наипростейшими дробями на полуоси.........192
§ 4.7. Оценки расстояний до прямых и лучей от полюсов
наипростейших дробей, ограниченных по норме Ьр.........202
Глава V. Существование элементов с заданными наименьшими укло-
3
нениями
214
§ 5.1. Уклонения от системы подпространств.................214
§ 5.2. Случай быстро убывающих уклонений...................221
§ 5.3. Дополнительные условия на подпространства...........223
§ 5.4. Уклонения от наипростейших дробей в С0(К)...........229
§ 5.5. Уклонения от наипростейших дробей в 235
Список литературы.............................................244
4
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
На протяжении всей работы X обозначает банахово пространство с нормой || • || и с единичной сферой 5(Х) = {я € X : ||5|| = 1}. Сопряженное пространство обозначается X*.
Банахово пространство X называется гладким, если в каждой точке 6- Е З'(А') опорная гиперплоскость единственна (то есть единствен такой функционал /5 Е £(Х*), что /Д$) =
равномерно гладким, если для всякого е > 0 найдется такое 6 > 0, что
(это эквивалентно тому, что указанное выше отображение 5 —> /5 из Б(Х) в 5(Х*) является равномерно непрерывным); пространство X является равномерно гладким тогда и только тогда, когда его модуль гладкости
обладает свойством з(т) = о(т) при т —* 0;
строго выпуклым, если его единичная сфера £(АГ) не содержит невырожденных отрезков;
локально равномерно выпуклым, если для всякого я Е 5'(АГ) и всякого є > 0 найдется такое 6 > 0, что
и равномерно выпуклым, если для всякого е > 0 найдется такое 6 > 0, что
1);
х Е Є(Х)9 ІМІ < 6 => \\х + уII + \\х - у|| < 2 + ЄІІ2/Ц
хев(Х), ^ > 1-6 => ||х-5|| <е;
х, у Е в(Х). > 1 - д =* ||ж - у|| < є
5
(пространство X равномерно выпукло тогда и только тогда, когда сопряженное пространство X* является равномерно гладким);
\№СО-пространством, если в X существует слабо компактное множество К, линейная оболочка которого всюду плотна в X.
Если М — некоторое подмножество банахова пространства X, то р(х, М) тЩ|х - у\\ : у € М} обозначает расстояние от элемента х € X до мпоэ/сества М, а Рм(#) — {у ^ М - ||т — у\[ = р(х, М)} — метрическую проекцию элемента х на множество М.
Множество М называется множеством существования, если для всякого х € X метрическая проекция РдДх) непуста;
множеством единственности, если для всякого х е X Рм(х) состоит из не более чем одной точки;
чебышсвским, если для всякого х е X метрическая проекция Рм{х) одноточечна, то есть в М существует и единствен элемент, ближайший к х;
аппроксимативно компактным, если для всякого х € X всякая минимизирующая последовательность {уп} С М (то есть последовательность со свойством ||уп — т|| —> р(х. М) при п —* оо) содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу из М; локально компактным, если у всякой точки из М есть непустая окрестность, пересечение которой с М предкомпактно.
Понятия чебышевского множества и аппроксимативно компактного множества были введены Н.В. Ефимовым и С.В. Стечкиным [38],[39] и относятся к числу основных понятий теории приближений в нормированных пространствах.
6
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена избранным вопросам теории приближений в нормированных пространствах (геометрической теории приближений). В ней построены нетривиальные примеры множеств с заданными аппроксимативными свойствами в классах банаховых пространств; описываются чебышевские подпространства с линейным или липшице-вым оператором метрического проектирования в конкретных функциональных пространствах; изучаются так называемые Л'-приближения (когда в заданном множестве ищется элемент с минимальной суммой расстояний до заданных N элементов банахова пространства), в частности, исследуется выпуклость /У-чебышсвских множеств и свойства метрической Л^-проекции; получены общие результаты о плотности полугруппы, порожденной заданным множеством в банаховом пространстве, которые прилагаются в теории приближения наипростейшими дробями (логарифмическими производными многочленов); рассмотрены некоторые частные случаи задачи существования элемента с заданными уклонениями от системы расширяющихся множеств в банаховом пространстве.
Теория приближений в нормированных пространствах берет свое начало в классической работе П.Л. Чебышева [74] (1859), в которой, в частности, доказана чебышевость множества Тп алгебраических многочленов степени не выше п и множества 71тп рациональных функций со степенью числителя не выше т и степенью знаменателя не выше п в пространстве С [а, Ь] действительнозначных функций, непрерывных на отрезке [а, 6]. В этой же работе П.Л. Чебышев по существу описал оператор метрического проектирования на множества Рп и 77^п (теорема об альтернансе). В дальнейшем гео-
7
метрические вопросы теории приближений в пространстве С изучались А.Хааром (1918), С.Н.Бернштейном (1938), А.Н.Колмогоровым (1948), Е.Я. Ремезом (1953). Окончательное становление геометрической теории приближений как самостоятельной ветви теории приближений произошло в конце 1950-х и в 1960-е годы благодаря работам, в первую очередь. В.Кли, II.В. Ефимова и С.Б. Стсчкина, а затем В.И. Бердышева, Л.П. Власова, A.JI. Гаркави, Е.В.Ошмана, С.Я. Хавинсона, Е. Асплунда, А. Брауна, А. Брёндстеда, Д. Вульберта, Ф.Дойча, И. Зингера, Б. Кринке, Дж. Линденштраусса, П. Морриса, Т. Ривлина, У. Рудина, Р. Фелпса, Р. Холмса, Э. Чини, М. Эделылтейна и др. В дальнейшем исследования по геометрической теории приближений в нашей стране проводились в основном представителями научной школы С.Б. Стечкина: А.Р. Алимовым, П.В. Альбрехтом, В.И. Андреевым, B.C. Балаганским, A.A. Васильевой, В.И. Ивановым, М.И. Карловым, С.В. Конягиным, В.А. Кощеевым, Е.Д. Лившицем,
A.B. Мариновым, К.С. Рютиным, Г.Ф. Устиновым, И.Г. Царьковым и др., а также М.В. Балашовым, С.И.Дудовым, Г.Е. Ивановым,
B.П. Фонфом и многими другими математиками.
В современном понимании геометрическая теория приближений изучает взаимосвязи между различными аппроксимативными свойствами множеств (чсбышсвость, единственность, существование, аппроксимативная компактность, солнечность, антинроксиминальиость и т.д.) с их тополого-геометрическими свойствами (линейность, выпуклость, разного рода связность, гладкость и т.д.) при различных условиях (строгая выпуклость, равномерная выпуклость, гладкость и т.д.) на нормированное пространство.
Наиболее полно геометрическая теория приближений отражена в обзорах [25], [19], (123], (8], |41|, |3], [73].
8
При всем многообразии исследований по геометрической теории приближений, эта теория содержит большое число давно поставленных проблем, нс поддающихся решению. Наиболее острой из них признается проблема тзыпуклости чсбышевских множеств (Н.В. Ефимов,
С.Б.Стечкин, В.Кли): всякое ли чебыгиевское множество в гильбертовом пространстве выпукло? В конечномерном евклидовом пространстве выпуклость всякого чсбышсвского множества была доказана Л. Бунтом (85) еще в 1934 г. Ни в одном бесконечномерном банаховом пространстве чебышевские множества нс охарактеризованы в геометрических терминах. С проблемой выпуклости тесно связана также проблема характеризации банаховых пространств, в которых каждое че-бышевское множество выпукло (эта проблема до конца не решена и в конечномерном случае). Более подробно о проблеме выпуклости см. обзорные работы (19), [8], (3).
В связи с этой проблемой была доказана
Теорема А (Н.В. Ефимов и С.Б. Стечкин [39], 1961). Чебыгиевское мпооюество в гладком равномерно выпуклом банаховом пространстве (в частности, в гильбертовом пространстве) выпукло тогда и только тогда, когда оно аппроксимативно компактно.
В дальнейшем теорема А обобщалась Л.П. Власовым (19).
Теорема А позволяет переформулировать проблему выпуклости следующим образом: существует ли в гильбертовом пространстве не аппроксимативно компактное чебышевское множество? В I главе настоящей работы для целого класса банаховых пространств, в частности, для сепарабельного гильбертова пространства дается утвердительный ответ на менее категоричный вопрос: существует ли такое не аппроксимативно компактное множество М, что метрическая проекция Рм{х) непуста и конечна для любого х € X?
9
В то же время введенное в связи с теоремой А понятие аппроксимативной компактности оказалось основополагающим в геометрической теории приближений и ее приложениях (обзор применений этого понятия см., напр., в диссертации (60|). Аппроксимативно компактные множества стали исследоваться сами по себе.
В любом банаховом пространстве X всякое ограниченно компактное множество (то есть множество, пересечение которого с любым замкнутым шаром компактно) является аппроксимативно компактным. В частности, в любом X все конечномерные подпространства являются аппроксимативно компактными. В достаточно ’’хороших” пространствах X аппроксимативно компактными являются все замкнутые подпространства. Такие пространства названы пространствами Ефимова-Стечкииа.
Именно, банахово пространство X называется пространством Ефи-мова-Стечкина (И. Зингер |124|) , если любое секвенциально слабо замкнутое множество М С X аппроксимативно компактно в X.
Теорема В (И. Зингер [124], 1964). Следующие условия эквивалентны:
(1) X — пространство Ефимова-Стечкина;
(2) каждое замкнутое подпространство в X аппроксимативно компактно;
(3) као/сдое выпуклое замкнутое множество в X аппроксимативно компактно;
(4) X рефлексивно и удовлетворяет следующему условию: если последовательность его элементов {хп} слабо сходится к элементу х и 1Ы1 —► ||х||, то найдется такая подпоследовательность {£п*}> что
11*>Ч ~ *11 — 0.
Другие характеристики пространств Ефимова-Стечкина см. в [46].
10
Примерами пространств Ефимова-Стечкина служат пространства Ьр, 1 < р < ос. В силу теоремы В задача описания аппроксимативно компактных подпространств содержательна (и до сих пор не решена) для пространств, не являющихся пространствами Ефимова-Стечкина, в первую очередь для пространств Ь\> и пространства С(К) функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте К. Во II главе настоящей работы получено полное описание аппроксимативно компактных подпространств в пространствах типа с (то есть в пространствах С (К) для компактов К с конечным числом предельных точек).
Для банаховых пространств, не являющихся пространствами Ефимова-Стечкина, актуальны две другие задачи: во всяком ли таком пространстве существует аппроксимативно компактное, но не ограниченно компактное множество?; во всяком ли таком пространстве существует ограниченное выпуклое аппроксимативно компактное тело? Глава I диссертации содержит положительное решение этих задач соответственно для любого слабо компактно порожденного банахова пространства (\VCG~-пространства) и для любого рефлексивного пространства или несепарабельного IV С ^-пространства. Попутно в произвольном \VCG-пространстве строится пример нетривиального чебышевского множества (вопрос о существовании неодноточечного собственного чебышевского подмножества в произвольном банаховом пространстве возник в школе С.Б. Стечкина и до сих пор не решен).
Вернемся к проблеме выпуклости.
К настоящему времени получены десятки результатов, в которых выпуклость чебышевского множества М доказана в различных классах банаховых пространств при различных условиях на структуру М или на оператор метрического проектирования Рм- Наибольший вклад в развитие этого направления геометрической теории приближений
11
был внесен Л.П. Власовым. Вот одна из его многочисленных теорем.
Теорема С. (Л.П. Власов [20|, 1967) Пусть X — локально равномерно выпуклое гладкое банахово пространство. Если множество М С X чебышевское и для любого х & М с Рм(х) = {у} справедливо равенство
lim Рм{х + \(х -у)) = у,
А—*0+
то М выпукло.
(Отмстим, что в работе [20] теоремы С в явном виде нет: она вытекает из теоремы б этой работы и доказательства этой теоремы 6, в котором используется именно указанная радиальная непрерывность метрической проекции.) Теорема С продолжает наметившуюся в теореме А ’’линию” условий выпуклости чсбышсвского множества М, формулируемых в терминах того или иного вида непрерывности оператора метрического проектирования Рм (так, в теореме С фигурирует так называемая 'радиальная непрерывность” оператора Рм)- В дальнейшем такого рода условия стали формулироваться в терминах множества точек разрыва оператора Рм- Наиболее слабые из этих условий получены В.С.Балагаиским [8], а также С.В. Конягиным [8, гл. 3].
В III главе диссертации проблема выпуклости чебышевского множества получает положительное решение при дополнительном аппроксимативном условии иного типа, а именно, при условии JV-чебышевости этого множества с N ^ 2. Приведем необходимые определения.
Пусть (А, | • ||) — действительное банахово пространство. Для элементов xi,..., xn £ X и множества М С X положим p(xU --,xN\M) = inf{£*=i ||ж* — у|| : у е М}\
Рм(х 1,... ,xN) = {у е М : 1 \\хк ~ у\\ = р(х 1,. . . ,Хц\М)}
— метрическая iV-проекция точек x\t... >xn на множество М.
12
Отметим, что сама по себе постановка задачи о минимизации суммы расстояний от заданных элементов х1}...,хн до элемента заданного множества М в банаховом пространстве далеко не нова: еще в 1965 г. Г.Ш. Рубинштейн |61] рассматривал даже более общие суммы (с положительными весами при нормах) и получал характеристики элементов выпуклого множества М, минимизирующих такие суммы.
Множество М назовем N-чебышевским, если для любых .ть ..., е X выполнено одно из следующих двух условий:
(1) р(хъ...>Х1я\М) > р(х и Рм(хь...,.т^) одноточечна;
(2) р(х\,..., М) = р(хи...,хм;Х) и Рм(хи ..., х^) ф 0.
В случае N = 1 это определение даст обычные чсбышевские множества. Всякое УУ-чебышевское множество является чебышевским.
Основной результат III главы состоит в доказательстве выпуклости УУ-чебышевского множества: при четном УУ — в любом равномерно выпуклом банаховом пространстве, при нечетном УУ ^ 3 — в любом равномерно выпуклом гладком банаховом пространстве. Доказать последнее утверждение при N = 1 означало бы решить проблему выпуклости. Однако до сих пор вероятная выпуклость чебышевского множества М в равномерно выпуклом гладком банаховом пространстве доказывалась лишь при дополнительным условиях: аппроксимативной компактности М в теореме А, локальной компактности М в другой теореме Л.П. Власова [21] (множество М локально компактно, если для любого х Е М найдется такое е > 0, что пересечение М с шаром В(х,е) компактно), различных условиях непрерывности метрической проекции на М (см. выше).
Приведем геометрическую интерпретацию результата о выпуклости Лт-чебышевского множества.
Пусть Е — произвольное замкнутое выпуклое ограниченное тело
13
в банаховом пространстве X, содержащее точку 0 внутри себя. Тогда для элемента х Є X и непустого множества М С X определено Е-расстояние ря(я, М) — inf {А > 0 : (я + ХЕ) (Г М ф 0}, определяемое функционалом Минковского тела Е. Следуя А. Брёидстеду [83]), будем говорить, что множество М С X является Е-чебышевским, если для любого X Є X пересечение (х + Ре(х. М)Е)Г\М состоит ровно из одной точки.
Нетрудно видеть, что если множество М является А-чебышевским в пространстве X, то оно является В(хі,... Я)-чебышевским для любого невырожденного N-uiapa В(хь... ,x^\R) — {у Є X : |І2/-£і|| +
+ \\У ~ satII < #Ь # > р(хь - • • ,хдг;Х).
Отметим, что сама но себе постановка задачи об исследовании свойств множеств, £-чебышевских относительно всех тел Е из некоторого семейства , не является новой: А.Р. Алимов |2] еще в 1995 году в качестве такого семейства брал единичные шары произвольной системы норм (вообще говоря, несимметричных) в двумерном пространстве, а в дальнейшем рассматривал другие семейства (см., напр., [4]).
Эта интерпретация и делает упомянутый результат о выпуклости А-чебышевского множества неудивительным: среди указанного континуального семейства А-шаров содержится обычный единичный шар пространства X, то есть условие N-чебышевости ”в континуум раз сильнее” свойства обычной чебышевости. В случае же гильбертова пространства и А = 2 соответствующее семейство 2-шаров содержит эллипсоиды, сколь угодно близкие к отрезкам, а ведь множество, ”че-бышевское”, в смысле определения А. Врёндстеда (если не обращать внимания на то, что Е в этом определении должно быть телом) относительно всех отрезков, является выпуклым просто по определению выпуклости!
14
При доказательстве результатов III главы существенно используется теорема С, а также другая теорема Л.П. Власова о связности че-бышевских множеств.
Теорема D. (Л.П. Власов [21), 1968) В равномерно выпуклом банаховом пространстве X всякое Р-связное (в частности, чебышевское) множество V -связно.
Здесь Р -связность множества М означает непустоту и связность метрической проекции Рм{х) для любого х е X, а V-связность множества М означает, что пересечение М с любым замкнутым шаром пространства X или пусто, или связно.
Теорема D обобщалась Е.Н. Сосовым [62] на равномерно выпуклые геодезические пространства X.
В III главе диссертации теорема D по необходимости переносится на случай несимметрично нормированных пространств, что само по себе является проявлением общей тенденции: последние двадцать лет теория приближений в несимметричной норме активно развивается, и это развитие стимулировало перенесение основных результатов теории банаховых пространств на случай несимметричной нормы [89].
Метрическая /V-проекция естественно связана с точками Штейнера.
Точкой Штейнера элементов банахова пространства X
называется такой элемент s = s(xb... ,хк) € X, что Ylk=i Ikfc “ 5II = infx€x Ylk=l llxfc — x\\- Нетрудно видеть, что точки Штейнера составляют метрическую Дг-Проекцию Рх(х 1, . . . , Хм).
Например, в случае гильбертова пространства X = Н и N = 3 точка Штейнера s(x\. х2:х3) существует и единственна: она лежит в аффинной плоскости точек х1} х2, х3 и либо совпадает с одной из них (если в треугольнике х\х2х3 есть угол, не меньший 120°), либо совпа-
15
даст с точкой Торичелли (из которой все стороны треугольника видны иод углом 120°).
Нетрудно показать, что в рефлексивном пространстве X точка Штейнера существует для любого набора точек .ть ..., а*дг.
Первый пример несуществования точки Штейнера в банаховом пространстве построил Л. Веселы |127) (1993). При этом он доказал, что всякое нерефлексивное банахово пространство можно так эквивалентно перенормировать, что в новой норме для некоторых трех точек Х\, х*2, хз точка Штейнера ${х1,Х2,хз) не существует.
В заключительном параграфе I главы диссертации для каждого N = 3.4, 5,... построен пример такого банахова пространства X и таких элементов ..., х^ в этом пространстве, что точка Штейнера ,..., хм) не существует. Этот пример отличен от примеров Л. Веселы и других авторов и обладает дополнительным свойством ’’устойчивости”. Идейно результаты о точках Штейнера примыкают, конечно, к III главе, и порождают целый ряд вопросов о кратчайших сетях в банаховых пространствах (несуществование точки Штейнера для заданных трех точек означает и несуществование кратчайшей сети, то есть связного графа минимальной длины, затягивающего эти три точки).
Вообще отметим, что круг задач, возникающих в связи с результатами III главы, не ограничивается ’’геометрическими” рамками: ведь эти, условно говоря, Л'-приближения (когда в заданном множестве ищется элемент с наименьшей суммой расстояний до заданных N элементов), допускают все основные постановки задач теории приближений — получение прямых и обратных теорем, сходимость различных методов приближения, оценки поперечников и т.д. При этом вместо суммы расстояний до заданных N элементов можно брать их максимум или другую подходящую функцию от этих расстояний.
16
II глава диссертации, а также часть III главы связаны с другим классическим направлением геометрической теории приближений — теорией чебышевских подпространств.
Хорошо известно, что одновременная рефлексивность и строгая выпуклость банахова пространства необходимы и достаточны для того, чтобы все его линейные подпространства были чебышевскими (например, такими являются пространства Lp, 1 < р < оо). Поэтому особый интерес представляет задача описания чебышевских подпространств в нерефлексивных пространствах (прежде всего в пространствах L\ и С). В пространстве С конечномерные чебышевские подпространства описаны А.Хааром [97] (1918) и Дж. Мэйрхыобсром [113| (1956), а чебышевские подпространства конечной коразмерности —
А.Л. Гаркави [26) (1967). Соответствующие результаты для пространства Li получены Р. Фелпсом (120) (1966) и А.Л. Гаркави [27] (1970). Однако даже в самых простых нерефлексивных банаховых пространствах о чебышевских подпространствах с бесконечными размерностью и коразмерностью известно очень мало (неизвестно, существуют ли такие подпространства в пространствах (7(0,1] и с). Обзор теории чебышевских подпространств и многих до сих пор не решенных проблем в этой теории см. в [25).
Оператор метрического проектирования Ру бывает разрывным [123], [87], бывает непрерывным, но не липшицевым (например, для подпространства Y = Vn многочленов степени не выше п ^ 2 в С[0.1] — см., напр., [65]), и уж совсем редко бывает линейным, как показывает
ТЕОРЕМА Е (Рудин-Смит [121], 1961; И. Зингер [123, гл. 3. § 4, п. 4.1], 1970). Пусть X — действительное банахово пространство размерности dim X ^ 3, и натуральные числа п, к удовлетворяют условиям 1 < п < dim X — 1, 2 ^ к < dim X. Следующие условия эквивалентны:
17
1) X — гильбертово пространство;
2) всякое подпространство У С X размерности п обладает однозначной и линейной метрической проекцией;
3) всякое подпространство У С X коразмерности к обладает однозначной и линейной метрической проекцией.
Во II главе диссертации получены полные описания чебышевских подпространств с линейным оператором метрического проектирования в пространствах С, и в пространстве Я1 Харди. Исследуется также липшицевость оператора метрического проектирования на че-бышевские подпространства указанных пространств, а также общих банаховых пространств.
В III главе получены также описания конечномерных 2-чебышевских подпространств в пространствах и С. Эти результаты аналогичны упоминавшимся выше теоремам Хаара и Фелпса. В целом можно сказать, что 2-чебышевских подпространств в этих пространствах существенно меньше, чем чебышевских. Кроме того, исследуется свойство зеркальности метрической 2-проекции на подпространство (как для обычной метрической проекции на подпространство ”наилучшим” свойством является линейность, так для метрической 2-проекции таковым свойством является ее зеркальность). В частности, получен аналог теоремы Е: гильбертовы пространства охарактеризованы в терминах зеркальности метрической 2-проекции на их подпространства.
IV глава диссертации посвящена новому разделу геометрической теории приближений — задаче о плотности полугруппы, порожденной заданным множеством М, в банаховом пространстве. В общем виде эта задача ставится так.
Пусть М — некоторое заданное подмножество банахова простран-
18
ства X. Верно ли, что множество
ОС
щм) = 1 ]м+-- + м
71
всюду плотно в X, то есть любой элемент из X сколь угодно точно приближается конечными суммами элементов из М?
Полученные в IV главе результаты, относящиеся к этой задаче, четко делятся на две части: (1) нахождение условий на М и X, достаточных для того, чтобы ЩМ) было аддитивной подгруппой в Х\ (2) нахождение условий на. М и X, достаточных для того, чтобы замкнутая аддитивная подгруппа, порождаемая множеством М, совпадала с X. Интересно, что в результатах первой части существенную роль играет выпуклость сферы «9(Х), а в результатах второй части — гладкость этой сферы.
Источником и модельным примером для задачи о плотности полугруппы послужила теория приближений наипростейшими дробями.
Наипростейшей дробью степени п называется рациональная функция вида
где {о*}£=1 — точки комплексной плоскости С, а Р(г) = с(г — а 1).
(г — ап), с £ С \ {()}, — любой многочлен с нулями в этих точках.
Если Е — множество на комплексной плоскости, Ме = { 77^ : а £ Е}, X — некоторое банахово пространство функций, определенных на каком-либо множестве комплексной плоскости, не пересекающемся с £, то задача о том, приближается ли всякая функция / € X наипростейшими дробями с полюсами из Еу эквивалентна задаче о плотности множества ЩМЕ) в X.
Исследования но приближению наипростейшими дробями в различных функциональных пространствах в нашей стране были нача-
п
19
ты в конце 1990 -х по инициативе Е.П. Долженко. К настоящему времени в этой тематике получено немало результатов (В.И. Данченко, Д.Я. Данченко, И.Р. Каюмов, Е.Н. Кондакова, О.Н. Косухин, Я.В. Новак,
В.Ю. Протасов, П.В. Чунаев).
Но началось все со следующей экстремальной задачи, поставленной Е.А. Гориным в 1960-с годы. Пусть наипростейшая дробь rn(z) по модулю не превосходит 1 в каждой точке действительной оси R. Как близко могут подходить к оси R полюсы ак этой дроби? Другими словами, стремятся ли к нулю величины
d(n) = inf < тш|1та&| :
Е-1-
^ l
Ьоо (К)
и если стремятся, то с какой скоростью?
В.И. Данченко полностью решил эту задачу.
Теорема F (В.И. Данченко |32), 1994)
In In п
din) ж —--------- (п —» оо)
Inn
(знак ж слабой эквивалентности означает, что отношение левой и правой частей ограничено сверху и снизу положительными постоянными). В [32] можно найти подробную библиографию и историю решения задачи Е.А. Горина.
Кроме того, В.И. Данченко в [32] исследовал аналогичную задачу для наипростейших дробей, ограниченных единицей по норме ЬР(Ш)У I < р < оо. Приведем точную формулировку полученного им результата.
Пусть 1 < р < оо, i -р J = 1, Нр( С+) — пространство Харди в верхней полуплоскости С+, то есть пространство голоморфных в С+
20
функций / с конечной нормой
ЯР(С+) = sup
а>0
R
\f(x + ia)\pdx
Каждая функция / е НР(С+) имеет конечные угловые пределы /(я) для почти всех х € К, образующие функцию /(х) € ЬР(Ж). Пространство Нр(С+) содержит все наипростейшие дроби с полюсами в нижней полуплоскости.
Положим
d(ntp) =
І2 — + /(*>
^ 1, Imafc > 0, / Є ЯР(С+)
MR)
Теорема G (В.И. Данченко [32), 1994). Для любых у 6 (1;оо) и п 6 N имеют место неравенства
2<> fsin^V
d(n,p) ^
2<J(sin^) і / ,_\<i
2 - (sin - ) 2q~l В{Ч-Л) Р\ VJ
где В{а,0) = / Iа"1 (1 - — бета-функция Эйлера (первая оцен-
о
ка, более точная, содержится в доказательстве теоремы 2а работы [32], а вторая оценка, менее точная, указана в формулировке этой теоремы).
Примечательно, что средняя и правая части здесь не зависят от п, так что полюсы наипростейших дробей гп(г) независимо от их количества не могут сколь угодно близко подходить к действительной оси при условии ||гп|І£р(К) ^ 1. Другими словами, слагаемые наи-простейшей дроби в случае 1 < р < оо (в отличие от случая р — оо) не ’’интерферируют”, не могут в сумме дать маленькую Ьр-норму на действительной оси, не удалившись от нее достаточно далеко.
Как заметили О. И. Косухи и и автор [137], этот факт означает, что функция — не приближается в ЬР(Ж) наипростейшими дробями г(г)
21
(если бы норма разности R{z) = -r{z) была меньше е, то наипро-
стейшая дробь -R(z/e)/e имела бы норму меньше е1/р, то есть меньше 1, и полюс в точке si), так что наипростейшие дроби не плотны в ЬР{Щ при 1 < р < ос. В дальнейшем класс 5Р(М) функций из с лю-
бой точностью приближаемых в этом пространстве наипростейшими дробями, был полностью описан В.Ю. Протасовым [57) (2009). Именно, 6р(М) состоит из тех функций пространства ЬР(Ш), которые являются логарифмическими производными целых функций порядка не выше 1 /<?, где 1 /р+ l/q = 1.
В тоже время с помощью теоремы F в работе (137) О.Н.Косухина и автора было доказано, что для любого и > 0 иаипростейшие дроби с полюсами вне полосы {z : jim z\ < и) всюду плотны в пространстве Co(R) = {/ : R —► С, / € С(М),/(.т) -* Опри х —> оо} с равномерной нормой.
Естественным продолжением этих исследований стало изучение аппроксимативных свойств иаипросгейших дробей на полуоси IR+ = [0, ос) Автором [139) было замечено, что наипростейшие дроби не плотны в пространстве Lp(R+) при любом р Е (1,2). В.Ю. Протасов [57) установил, что при р ^ 2 любую функцию из Lp{R+) можно сколь угодно точно приблизить дробью вида cp'(z)/p(z), где с > 0, a p(z) — комплексный многочлен. Эти дроби составляют выпуклый конус, порожденный наипростейшими дробями. Наконец, автор (142) доказал всюду плотность наипростейших дробей в Lp(R+) при р ^ 2, а также исследовал вопрос о всюду плотности в LP(R+) наипростейших дробей с ограничениями на расположение полюсов.
Эти и другие результаты про плотность наипростейших дробей в Co(R) и в Ьр( R+) излагаются в IV главе. При их доказательстве существенно используется теорема F.
22
В IV главе исследуется также задача о всюду плотности наипростейших дробей с полюсами из заданного множества Е в пространстве АС (К) функций, непрерывных на заданном компакте К и голоморфных во внутренних точках этого компакта; компакт К не разбивает плоскость и не пересекается с Е. При Е = С \ К эта задача положительно решена В.И. Данченко и Д.Я. Данченко [34], [35]. Она оказывается нетривиальной даже для случая компактного множества Е (в отличие от аналогичной задачи для общих рациональных аппроксимаций). В этом случае для плотности оказывается необходимым, чтобы компакт Е ’’окружал” почти весь компакт К. Возникает гипотеза о том, что если компакт Е ’’окружает” компакт К со связным дополнением, то наипростейшие дроби с полюсами из Е плотны в АС (К). Эту гипотезу удается доказать в случае, когда Е содержит конечное число замкнутых спрямляемых контуров, ’’окружающих” К, и этот результат вытекает из общих теорем о плотности полугруппы в банаховом пространстве, доказанных в начале главы.
Кроме того, в главе IV получены оценки расстояний до оси или полуоси от полюсов наипростейших дробей, ограниченных по норме Lv на этих множествах. В частности, уточняются оценки В.И. Данченко для величин d{n, р) из теоремы G, и находится точное значение d(n} 2) = 7г. Эти результаты находят применения в следующей главе.
V глава диссертации посвящена так называемой обратной задаче теории приближений, или задаче о существовании элемента х с заданными уклонениями р{х. Мп) от расширяющейся системы Mi С М2 С ... заданных подмножеств заданного банахова пространства X. Источником для этой задачи послужила
Теорема Н (С.Н. Бернштейн [12], 1938). Для всякой числовой последовательности do ^ di ^ d'2 ^ , dn —> 0, существует фупк-
23