Исследование поведения вращающейся жидкости в контейнерах с ребрами

Оглавление
Введение 5
1 Общие свойства инерционных волн, обусловленные осевой симметрией контейнера 23
1.1 Операторная запись уравнений движения вращающейся жидкости, задачи Ли В .....................23
1.2 Задача отыскания инерционных мод, связь со структурой спектра операторов А и В.................26
1.3 Разложение пространства соленоидальных векторов в случае осесимметричного контейнера . . 31
1.4 Инерционные волны, соответствующие гармоникам функции давления................................43
1.5 Сведение задачи отыскания инерционных мод к последовательности двумерных задач..................46
2 Корректность первой обобщенной краевой задачи для гиперболических уравнений на плоскости 51
2.1 Связь между задачей Л в коническом контейнере и первой краевой задачей для гиперболических уравнений......................................51
2.2 Свойства обобщенных решений гиперболических уравнений на плоскости.........................57
2.3 Формула Римана для обобщенных решений гиперболических уравнений............................ 66
2.4 Корректная разрешимость задач Гурса и Дарбу
в пространстве И^1............................ 73
2
ОГЛАВЛЕНИЕ З
2.5 Корректная разрешимость в пространстве И^1 первой краевой задачи для гиперболических уравнений на плоскости..............................81
2.6 Замечания и примеры.............................94
3 Корректность второй краевой задачи для гиперболических уравнений на плоскости 99
3.1 Связь между задачей В в коническом контейнере и второй краевой задачей для гиперболических уравнений на плоскости.........................99
3.2 Условия корректной разрешимости задачи в случае регулярного решения.........................106
3.3 Единственность регулярного решения.............106
3.4 Существование регулярного решения..............123
3.5 Непрерывная зависимость регулярного решения
от данных задачи...............................132
3.6 Замечания о регулярных решениях. Примеры . . 133
3.7 Случай обобщенного решения. Единственность обобщенного решения................................138
3.8 Существование обобщенного решения .............147
3.9 Замечания. Примеры обобщенных решений. . . . 153
4 Отсутствие инерционных мод в осесимметричных контейнерах с ребрами. Общий вид основного разложения невязких колебаний 157
4.1 Отсутствие осесимметричных инерционных мод
в конических контейнерах.......................157
4.2 Предсказание возникновения возможных “опасных” режимов колебаний на основе анализа конфигурации контейнеров..............................163
4.3 Отсутствие инерционных мод в тороидальных контейнерах........................................176
ОГЛАВЛЕНИЕ
л
4.4 Существенная неустойчивость почти-периодичности колебаний по отношению к малым деформациям границ контейнеров..............184
4.5 Общий вид основного разложения колебаний идеальной вращающейся жидкости. Обсуждение экспериментов Бердсли .......................185
5 Характер поведения жидкости в контейнерах с
ребрами 192
5.1 Экспериментальное обоснование постановки задачи в “двумерном'’ контейнере....................193
5.2 Построение точных решений нестационарных задач для треугольного контейнера.................202
5.3 Прогрессивный характер инерционных воли. Объяснение экспериментов Вунша....................227
5.4 Распределение энергии начального состояния жидкости. Эффект локализации: образование точечных волновых аттракторов.....................242
5.5 Замечания. Продолжение обсуждения экспериментов Бердсли....................................245
Заключение 248
Литература 251
Введение
Изучение поведения вращающейся жидкости представляет собой важную задачу, актуальность которой в настоящее время сильно возросла, что обусловлено целым рядом обстоятельств. Во-первых, в классических областях ее применения, таких, как геофизическая гидродинамика, существенно развились средства и системы получения и обработки данных, что продвинуло теоретические исследования гораздо ближе к задачам оперативного прогнозирования. Во-вторых, модели, описывающие вращающиеся жидкости, оказались важными и для других, бурно развивающихся отраслей естествознания, в первую очередь, для астрофизики и физики высоких энергий. В-третьих, возросло число технических приложений свойств вращающейся жидкости: это многочисленный класс задач, связанных с вращением твердых тел с полостями, со-держащими жидкость.
Настоящая диссертация посвящена исследованию математических проблем, возникающих при изучении фундаментальных свойств вращающейся жидкости, которые рассматриваются здесь для случая идеальной несжимаемой жидкости, целиком заполняющей контейнер, но которые проявляются во всех системах, содержащих вращающиеся жидкости. Эти свойства связаны с эффектами локализации энергии внутри жидкости и возникновением “опасных” режимов колебаний. Наиболее существенное проявление этих свойств происходит в
Введение
О
тех случаях, когда содержащие жидкость контейнеры имеют ребра, т.е. когда их граница образована несколькими гладкими поверхностями, пересекающимися по некоторым кривым — ребрам. Примером такого контейнера может служить ограниченный прямой круговой конус. Изучению поведения жидкости именно в таких контейнерах и посвящена данная диссертация.
Как известно, движение несжимаемой жидкости, помещенной в контейнер (7, который вращается с постоянной угловой
скоростью вокруг оси с единичным направляющим вектором —♦
к, описывается следующей системой уравнений:
о г т
- + 2кхи=-Х7р-єи-Уи-ЕХ7хУхи (С?), (1)
Су Ь
V•c? = О (С), (2)
и ■ п = 0 (д(3). (3)
Здесь и = {и,у,™) — вектор скоростей частиц жидкости во вращающейся системе координат, жестко связанной с контейнером (7, р - гидродинамическое давление, константы є и Е — числа Россби и Экмана, которые зависят от средней относительной скорости жидкости и контейнера и вязкости жидкости соответственно, ап единичный вектор внешней нормали к границе <9(7 (везде далее мы будем предполагать, что <9(7 является кусочно-гладкой, и (7 удовлетворяет известному “условию конуса”). В предельном случае при почти твердом вращении невязкой жидкости полагают є = 0 и Е = 0, и тогда система (1 — 3) сводится к следующей
и1 + 2кхй = -Х7р ((?), (4)
V • и = О (С), (5)
Впадение
7
и-п = 0 (дв).
(6)
Кроме того, чтобы сделать ее решение определенным, задают условие
Решения системы (4 — б) называются инерционными волнами [1]. Задача отыскания инерционных мод колебаний, т.е. решений этой системы, зависящих от времени по закону е~гХ\ может быть сведена к следующей задаче:
—Х2п-^р + 4(п-к)(к ■ \/р) + 2і\(к х п) ■ Ур = 0 (дСГ). (9)
Эта задача, часто называемая задачей Пуанкаре о вращающейся жидкости, известна своей исключительной трудностью. Ее изучению были посвящены многочисленные работы, поскольку свойства ее решений являются определяющими для многих практических задач. Помимо этой задачи, в математической физике, геофизике и астрофизике рассматривают также задачи с другими граничными условиями, в частности, с условием равенства нулю на границе динамического давления:
Последняя задача, в некотором смысле, является более простой для исследования, а для осесимметричных колебаний существует взаимно-однозначное соответствие между решениями этих двух задач.
Кроме того, ввиду сложности трехмерных задач, изучают
также их двумерные аналоги. А именно, в предположении, что
—♦
компоненты скорости и и давления р зависят только от двух пространственных переменных х и г, а область, занимаемая
(7)
У2р - А (к ■ У)2р = О (С),
(8)
р = о {дє).
(10)
Введение
8
жидкостью, является бесконечным цилиндром с образующей, параллельной оси Оу, основанием которого является некоторая область D в плоскости Oxz, вместо системы (4 — 6) рас-с м атр и вают с и стем у :
1—1- I— м
ё+£-° <12>
wni -h wn3\oD = 0, (13)
где п = (ni, пз) — вектор нормали к dD в плоскости Oxz.
Тогда соответствующая функция тока ф является решением следующей задачи:
S + S)+S=°- (*.*-.»)-в хщсо). (14)
^I^DxfOjOo) = 0, (15)
#=о = ^0, = Фь (16)
К этой же самой задаче приводит соответствующий двумерный аналог задачи (4, 5, 10). Изучение двумерных задач является важным для прогнозирования возможных особенностей поведения жидкости в цилиндрических контейнерах конечной длины с образующей, перпендикулярной оси вращения, что было установлено в известной работе В.П.Маслова [2] и подтверждено недавними экспериментальными исследованиями [3,4].
Одним из наиболее важных вопросов, возникающих при решении практических задач, является возможность разложения всякого решения системы (4 — 6) в ряд но инерционным модам
Ü(г, 0 ~ AmUm{r) exp (17)
Введение
9
р(г, 9 ~ 53 Л*тфт{г) схр (гАт£). (18)
Представление о том, что невязкие колебания для почти всех контейнеров имеют нормальные моды, является глубоко укоренившимся [5]. Так, к примеру, техника решения многих практических задач, описывающих поведение вязкой вращающейся жидкости в различных контейнерах, заключающаяся в асимптотическом приближении решения методом теории пограничного слоя, основана как раз на предположении, что для инерционных волн имеет место разложение вида (17) (см. |1]). Кроме того, фактически существование такого представления часто используется в теоретических исследованиях и в неявном виде, а именно, если молчаливо предполагается, что внутри вращающейся жидкости не может появиться областей концентрации энергии, где частицы жидкости с течением времени приобретут скорости, по абсолютной величине сильно превышающие скорости начального возмущения. Возникает естественный вопрос о том, всегда ли разложение (17) возможно.
Известно, что для двух видов контейнеров — прямых круговых цилиндров и эллипсоидов вращения, оси симметрии которых совпадают с осыо вращения, — этот вопрос решается положительно. Поведение вращающейся жидкости в них было изучено — как теоретически, так и экспериментально — с более или менее достаточной полнотой. В обоих случаях было установлено наличие инерционных мод, отвечающих собственным частотам, всюду плотно заполняющим отрезок [—2,2] (моды были найдены в явном виде), а также возможность представления (17) всякого движения невязкой жидкости, возникающего в таких контейнерах, в виде суперпозиции этих мод. Это означает, что все малые колебания в эллипсоидах и цилиндрах являются почти-периодическими функциями по £, что гаран-
Введение
10
тирует отсутствие локализации энергии начального возмущения внутри жидкости с течением времени £. Расчет вязких эффектов во вращающейся сфере, основанный на представлениях (17), оказался в довольно хорошем согласовании с экспериментальными исследованиями, что было установлено В. Мал кусом и У. Г. Вингом (см. [1, стр. 65]). К такому же выводу пришли К. Олдридж и А. Тоомре, используя при этом другой способ возбуждения внутренних мод в сфере (1968 г., Лаборатория геофизической гидродинамики Массачусетского технологического института, их отчет [6] является одной из наиболее популярных работ и по сей день).
Но оказывается, что этим список полостей, для которых инерционные моды найдены, и ограничивается. Для контейнеров же произвольной конфигурации этот вопрос является чрез вы'11 ай і ю сл ож 11 ы м.
Первым, кто обратил внимание на то обстоятельство, что в контейнерах с ребрами на границе, подобных конусу, законность разложения (17) совсем не очевидна, был X. Гринспэн (1969 г., [7]). А именно, он рассмотрел случай цилиндрического контейнера бесконечной длины, основанием которого является треугольник, а образующая перпендикулярна оси вращения. Предполагая, что задача имеет решение в виде плоской волны, он проанализировал ее возможное распространение в таком контейнере и обнаружил, что на основании закона отражения волн во вращающейся жидкости, установленного О.М. Филлипсом [8](1963), такая волна должна продвигаться по направлению к вершине в течение всего времени, т.е., для того, чтобы достичь вершины треугольника., ей понадобится бесконечное время, и “в этом отношении контейнер кажется открытым или неограниченным”. Исходя из этих рассуждений, X. Гринспэн высказал предположение о том, что “спектр инерци-
Впадение
11
онных воли здесь должен быть непрерывным, а собственные функции — сингулярными в угловых точках”, и что эти же проблемы следует ожидать и в случае, когда вращающаяся жидкость находится в контейнере, имеющем форму прямого кругового конуса. Позже тот факт, что движение жидкости в
Рис. 1.
конусе принципиально отличается от движения в сфере, было подтверждено экспериментально Р. Бердсли (см. (9,10)), а затем и Р. Картером (см. отчет 111]) с помощью той же установки в лаборатории MIT, которая была использована К. Олдриджем и А. Тоомре для возбуждения инерционных волн в сфере (см. фотографию из [7, стр. 27| на рис. 1). Теоретического же объяснения этих эффектов получено не было, и поэтому эти работы в то время не оказали должного влияния на распространенное представление об общем характере невязких колебаний, а именно, что разложение (17) справедливо для контейнеров произвольной конфигурации. Так, например, три года спустя (в 1973 г.) при исследовании устойчивости стационарного вращения твердого тела с заполненной жидкостью полостью, имеющей форму прямого кругового ко-
Введение
12
нуса с малым углом раствора, Л.В. Докучаев и Р.В. Рвалов ( |12]) опирались именно на предположение о существовании в произвольной полости инерционных мод и разложении по ним всякого невязкого колебания жидкости. Позже линеаризованная система уравнений движений такого тела, полученная на основании этого разложения, использовалась во многих работах.
К изучению свойств систем (4 — 6) и (14 — 15) приводят задачи из самых различных разделов теоретической физики, в первую очередь, геофизики [13-15]и астрофизики [16-21].Кроме того, следует отметить, что системы (4 — 6) и (14 — 15) изучаются в задачах, связанных с моделированием развития турбулентности [22-25].
Как это было уже показано выше, попытки найти монохроматические решения систем (4 — 6) и (14 — 15), зависящие от времени по закону приводят к краевым задачам, в которых гиперболические уравнения сочетаются с условиями, заданными вдоль всей границы: это либо условия Дирихле, либо смешанные условия с производной по направлению, трансверсалыюму границе. Начально-краевые задачи такого вида являются некорректными, по именно они являются характерными для геофизики и астрофизики (см. [26,27]), при этом практике требуется решать такие задачи в контейнерах различных конфигураций. Так, в связи с исследованиями ос-цилляционных свойств жидкого ядра Земли задачи описанного вида возникают в сферическом слое [28,29].
То, что в контейнерах определенных конфигураций возможны такие режимы колебаний вращающейся жидкости, которые приводят к локализации энергии, стало широко известным относительно недавно. Изучению этих эффектов, связанных с наличием так называемых “волновых аттракторов’5
Впадение
13
(“wave attractors”), посвящены работы многих авторов в геофизике и астрофизике [30-39]. Основное внимание при изучении этого явления уделяется: в трехмерном случае — исследованиям в сферических оболочках, а в двумерном — в бассейнах с одной или двумя скошенными гранями [40,41], что связано с большой практической значимостью таких задач. В частности, было экспериментально установлено, что в контейнерах со скошенными гранями возможны такие “опасные” режимы колебаний, которые аккумулируют энергию начального возмущения в окрестности ребра — линии пересечения плоских граней [42]. Исследования рассматриваемых задач в таких контейнерах активно ведутся и в настоящее время как с помощью попыток построения “приближенных” решений, так и с помощью численного моделирования, что является естественным в связи с развитием компьютерной техники и методов программирования(см. [43-45]), точных же решений во всех этих исследованиях получено не было.
Учитывая сказанное выше, представляется актуальным и необходимым развернутое математическое исследование поведения вращающейся жидкости в контейнерах, границы которых имеют особенности такого типа.
Цель работы. Целыо настоящей диссертации является изучение задач (4 — 7), (4, 5, 7, 10) и (14 — 16) в областях специального вида, границы которых имеют особенности в виде ребер: получение нового метода исследования спектральных свойств операторов, связанных с этими задачами, основанного на естественной идее использовать в этом круге вопросов корректную разрешимость краевых задач для гиперболических уравнений на плоскости типа задач Гурса и Дарбу; установление с помощью этого метода достаточных условий, опреде-
Введение
1*1
ляющих конфигурацию контейнера, при которых изучаемые задачи имеют решения, не представимые в виде (17), получение явных представлений точных решений нестационарной задачи (14 — 16) в некоторых областях со скошенными гранями, где ранее экспериментально был установлен эффект локализации энергии, и объяснение этого эффекта путем исследования поведения этих решений при неограниченном увеличении времени.
Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа и теории уравнений с частными производными.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации и приводится краткий обзор предшествующих исследований. Кроме того, в нем кратко изложено содержание и основные результаты работы.
В главе 1 диссертации исследуются общие свойства инерционных волн в случае, когда контейнер С симметричен относительно оси вращения О г. Для системы уравнений (4 — 5), описывающей колебания вращающейся жидкости, в которой без ограничения общности положено к = (0,0,1/2), рассматриваются две задачи с граничными условиями (10) и (6) и начальным условием
0 |,=0= Оо-
Эти задачи в дальнейшем называются задачами А и В соответственно. В § 1.1 вводятся операторы А и В, с помощью
Введение
15
которых задачи А и В могут быть записаны в виде обобщенных задач Коши. В § 1.2 установлена связь между задачей отыскания инерционных мод и спектральными задачами для операторов г А и гВ. В § 1.3 в случае, когда область симметрична относительно оси вращения Ог, получены представления пространств 5(л,*) и £(£,*) соленоидальиых векторов, которым принадлежат решения задач А и В, в виде бесконечных ортогональных сумм их некоторых подпространств и £(£,&,*)> позволяющих отделить угловую переменную ср. Подобные разложения были известны ранее для оператора, соответствующего вращающейся капиллярной жидкости, частично заполняющей сосуд [46]. Далее в § 1.3 исследованы инерционные волны, для которых зависимость функции давления от угла р имеет вид: р = рДг, Ь)егк(р. Установлено, что
Соответствующие ПОДПрОСТраНСТВа £(Л,А;,*) И 5(Д,А:,*) для поля —*
скоростей и приводят операторы гА и гВ. Это означает, что если инерционная волна такова, что в какой-то момент времени (например, при £ = 0) функция давления в жидкости является Аг-той гармоникой но угловой переменной р, т.е. имеет ВИД Р = Рк(?\ £)егк1р} ТО во все последующие моменты времени инерционная волна будет обладать тем же свойством, причем вне зависимости от того, является ли она инерционной модой или соответствует непрерывному спектру. В § 1.4 доказано, что спектром каждого из операторов гАк и 1Вк — сужений операторов 1А и гВ на соответствующие подпространства 3(Л,к,*) и 3(В,к,*) ~~ является отрезок [—1,1]. Т. е. для всякого к спектр инерционных волн, соответствующих к-той гармонике, не просто является подмножеством отрезка [—1,1], но совпадает с ним. Этот факт является важным, в частности, при исследовании стационарной устойчивости вращающихся твердых тел с полостями, заполненными жидкостью: в таких
Введение
16
механических системах рассматривают не все волны, а лишь те, которые соответствуют гармоникам к = ± 1 (см. [47,48]). Установленная существенная непростота спектра означает исключительное богатство инерционных волн, не учитываемое, к сожалению, в некоторых работах, рассматривающих лишь осесимметричные движения жидкости (например, [49,50)). На основании полученных результатов в § 1.5 показано, что исследование спектра инерционных волн в случае осесимметричных областей может быть сведено к исследованию спектральных задач 1л,к и 1в,к для операторов гА^ и гВ^, представляющих собой краевые задачи для гиперболических уравнений от двух переменных, что позволяет применять технику решений гиперболических уравнений на плоскости. Заметим, что эти задачи отличаются от известных краевых задач, предложенных ранее в ряде работ для случая осесимметричных контейнеров (см. [51]).
В § 2.1 главы 2 диссертации установлена связь между задачей Л в коническом контейнере и обобщенной первой краевой задачей для гиперболических уравнений, которая заключается в нахождении решения гиперболического уравнения в области В, ограниченной двумя гладкими кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик, при этом решение должно принимать заданные значения на этих кривых. В § 2.2 установлены общие свойства обобщенных решений гиперболических уравнений с двумя переменными, принадлежащих пространству функций И^*?), обобщенные производные которых являются функциями, квадратично суммируемыми на некоторой области 5 специального вида. С помощью этих свойств в § 2.3 обоснована возможность применения метода Римана, часто используемого в классической
Введение
17
форме для исследования динамики геофизических жидкостей, к обобщенным решениям гиперболических уравнений, доказана справедливость формулы Римана для таких решений. В § 2.4 доказана корректная разрешимость в пространстве обобщенных задач Гурса и Дарбу, получены необходимые в дальнейшем априорные оценки их решений. В § 2.5 доказано, что при выполнении естественных условий, которым должны удовлетворять указанные кривые, первая краевая задача корректна в обобщенной постановке, т.е. ее решение в существует, единственно и имеют место априорные оценки его нормы, зависящие от заданных значений на кривых и правой части уравнения. В § 2.6 приведены примеры, показывающие, что сформулированные в работе условия являются не только достаточными, но и необходимыми для корректной разрешимости обобщенной первой краевой задачи для гиперболических уравнений, а также примеры, демонстрирующие ее отличие от классической первой краевой задачи.
В главе 3 диссертации изучена вторая краевая задача для гиперболических уравнений с двумя переменными, заключающаяся в нахождении регулярного решения гиперболического уравнения в плоской области Д ограниченной двумя гладкими кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле уравнения с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик. Искомое решение должно при этом удовлетворять граничным условиям с частными производными, заданным на этих кривых, и принимать некоторое наперед заданное значение в вершине угла. В § 3.1 показано, что к изучению именно такой задачи приводит задача В, а также модельный двумерный аналог задачи Пуанкаре в бассейне с треугольным сечением, который является важным ввиду его тесной связи с так называемой “береговой проблемой”
Введение
18
(the beach problem)(см, например, [52)). Для этого двумерного случая проведен общий анализ сингулярных решений, часто обсуждаемых в литературе и приводящих в данном случае к образованию “точечного волнового аттрактора” в вершине угла, показано, что условие квадратичной суммируемости производных функции тока исключает такие сингулярные решения из физически значимых. В §§ 3.2 — З.б исследуется случай регулярных решений задачи, а именно, установлены условия, касающиеся расположения кривых, определяющих конфигу-рацию области, при которых вторая краевая задача корректна и имеет все свойства классических краевых задач, т.е. ее решение существует, единственно в классе непрерывно дифференцируемых функций и(х, у), имеющих непрерывную смешанную производную иху, и непрерывно зависит от данных задачи.
В §§ 3.7, 3.8 установлена корректность обобщенной второй краевой задачи для гиперболических уравнений, а именно, установлены условия, касающиеся коэффициентов при частных производных в граничных выражениях, а также условия, накладываемые на задаваемые функции в правой части уравнения и граничных выражениях, при которых решение второй краевой задачи существует и единственно в пространстве W^D), доказаны априорные оценки для нормы решения в этом пространстве. В § 3.9 проведено обсуждение условий, накладываемых на кривые, определяющие конфигурацию области, а также примеры, показывающие, что эти условия являются необходимыми для корректной разрешимости задачи в том смысле, что нарушение их приводит к появлению посторонних решений.
Глава 4 диссертации посвящена исследованию спектральных свойств операторов А и В в осесимметричных контейне-
Введение
19
рах с ребрами с помощью нового метода. Как это установлено в главе 1, свойство осевой (вращательной) симметрии контейнера относительно оси вращения жидкости позволяет свести исследование задачи отыскания инерционных мод в таком контейнере к исследованию задач 1а,к и 1в,к, в которых требуется в области, являющейся сечением контейнера полуплоскостью, проходящей через ось вращения, найти обобщенное решение гиперболического уравнения с двумя переменными, полученного из уравнения Пуанкаре отделением угловой переменной (р, удовлетворяющее соответствующим краевым условиям. На основании этого факта, а также результатов, полученных в главах 2 и 3, в § 4.1 установлено, что в конических контейнерах спектр осесимметричных инерционных волн является непрерывным на тех интервалах частот Л, при которых лучи, распространяющиеся вдоль характеристик задач 1а,к и /в,*, “забиваются” в угол, соответствующий ребру контейнера. Это означает, что в конических контейнерах существуют такие колебания жидкости, которые являются не ночти-периодическими функциями по времени £, причем наличие таких режимов колебаний, вопреки предположениям некоторых работ, не зависит от величины угла при ребре.
В § 4.2 описан метод, позволяющий устанавливать наличие не почти-периодических режимов колебаний жидкости на основе анализа конфигурации контейнера. Применение этого метода позволяет утверждать, что класс таких контейнеров достаточно широк. В параграфе приведены различные конкретные примеры таких контейнеров. Параграф § 4.3 посвящен изучению характера спектра инерционных волн в тороидальных контейнерах. Условие тороидальное™ контейнера обеспечивает регулярность коэффициентов уравнения и краевых условий задач 1а,к и 1в,к и позволяет, во-первых, уста-
Введение
20
повить наличие интервалов непрерывного спектра не только у осесимметричных колебаний, но и у колебаний, отвечающих всем другим гармоникам по <р, а, во-вторых, установить факт полного отсутствия нестационарных осесимметричных инерционных мод у некоторых видов контейнеров, например, таких, сечением полуплоскостью которых является треугольник. В § 4.4 выявлена сильная неустойчивость характера “благополучных”, т.е. почти-периодических, невязких колебаний по отношению очень малым деформациям границ контейнеров. В частности, приведен пример, показывающий, что малый изъян на экваторе сфероида может привести в появлению не почти-периодических колебаний. В § 4.5 записан общий вид основного разложения невязких колебаний для произвольного контейнера, являющийся обобщением разложения по инерционным модам, имеющего место для сфероидов и цилиндров: на основании полученных выше результатов установлено, что в общем случае произвольного контейнера невязкие колебания не могут быть представлены в виде суперпозиции геострофи-ческих и нестационарных инерционных мод, это разложение в общем случае обязательно должно содержать интегральные члены. Кроме того, параграф содержит обсуждение результатов и выводов, сделанных ранее в известных работах Р. Бердсли [9,10], описывающих экспериментальные исследования поведения вращающейся жидкости в прямом круговом конусе, а также результаты некоторых исследований по устойчивости стационарного вращения твердого тела с заполненной жидкостью полостью, имеющей форму конуса.
В главе 5 диссертации исследуются двумерные аналоги задач Л и Б. В § 5.1 приведены системы уравнений, получающихся из общих уравнений колебаний вращающейся идеальной жидкости в случае, когда контейнер является “дву-
Введение
21
мерным”, обладая трансляционной симметрией, т. е. когда область, занимаемая жидкостью, представляет собой бесконечный цилиндр, образующая которого перпендикулярна оси вращения, а компоненты поля скоростей и функция давления не зависят от одной пространственной переменной. Кроме того, в § 5.1 приведена операторная запись этих уравнений движения жидкости. Описаны различные конфигурации двумерных контейнеров, для которых спектр инерционных волн имеет интервалы непрерывного спектра. Установлено, в частности, что если сечением такого “двумерного” контейнера является треугольник, то в нем нестационарные инерционные моды полностью отсутствуют. В § 5.2 на основании результатов о корректной разрешимости первой и второй краевых задач для гиперболических уравнений приведено построение точных решений нестационарной задачи в двумерных контейнерах, сечениями которых являются треугольники. Эти решения принципиально отличаются от всех известных ранее решений как двумерных, так и трехмерных задач. В § 5.3 проведено исследование полученных решений, установлен прогрессивный характер соответствующих инерционных воли. Установлено, что среди инерционных волн в двумерном треугольном контейнере существуют такие колебания, у которых Ьг-нормы функции тока убывают с течением времени быстрее любой отрицательной степени £. Кроме того, параграф содержит обсуждение результатов и выводов, сделанных ранее в известных работах К. Вунша, описывающих экспериментальные исследования внутренних волн в стратифицированной жидкости Буссинеска постоянной частоты Вяйсяля-Брента в “двумерном” контейнере, сечением которого является треугольник: ввиду тесной связи систем уравнений, описывающих поведение такой жидкости с рассматриваемыми уравнениями, для ее функция тока но-
Введение
22
лучается такая же краевая задача, как и для вращающейся жидкости. В § 5.4 установлено, что среди инерционных волн в двумерном треугольном контейнере существуют такие “опасные” режимы колебаний, вся энергия начального состояния которых со временем оказывается почти полностью сосредоточенной в сколь угодно малых окрестностях ребер.
В § 5.5 проведено дальнейшее обсуждение и объяснение результатов известных экспериментальных исследований Р. Бердсли и Р. Картера поведения вращающейся жидкости в прямом круговом конусе.
В заключении сформулированы основные выводы настоящей диссертации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [53-80].
Глава 1
Общие свойства инерционных волн, обусловленные осевой симметрией контейнера
1.1 Операторная запись уравнений движения вращающейся жидкости, задачи Л и В
Исследование инерционных волн, возникающих во вращающихся однородных жидкостях, является очень важной задачей, поскольку им во многом подобны внутренние гравитационные волны, которые играют важную роль в переносе энергии, импульса, тепла и химических веществ в таких есте-
ственно стратифицированных жидкостях, как озера, океаны и планетарные и звездные атмосферы, а также электронно-циклотронные волны в намагниченной жидкости (см. [81,82]).
Как мы уже упоминали, движение несжимаемой жидкости, помещенной в контейнер б, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси с направляющим вектором к, описывается следующей системой уравнений:
^- + 2кх 0 = -Чр-еО- ЧО - ЕЧ х V х 0 (С), (1.1)
С/ и
V • и = О (С), (1.2)
0-п = 0 (дй). (1.3)
23
Глави. 1. Инерционные волны в осесимметричном контейнере
24
Здесь и = (и} г>, ю) - вектор скоростей частиц жидкости во вращающейся системе координат, жестко связанной с контейнером С?, р - гидродинамическое давление, константы є и Е — числа Россби и Экмана, которые зависят от средней относительной скорости жидкости и контейнера и вязкости жидкости соответственно, а п единичный вектор внешней нормали к границе дй.
В предельном случае при почти твердом вращении невязкой жидкости полагают є = 0 и Е = 0, и тогда система (1.1 - 1.3) сводится к следующей
^ + 2 кхи=-\Гр, Х?-и = О (О), (1.4)
С/ (/ '
0-п = 0 (дв). (1.5)
(Везде далее мы будем полагать к = (0,0,1/2), что не ограничивает общности рассуждений). Начало исследований системы уравнений (4 — 5) было положено в известных работах лорда Кельвина [83] и А. Пуанкаре [84]. Фундаментальный вклад в исследование смешанных задач и задачи Коши для этой системы был сделан С. Л. Соболевым [85], вслед за которым вопросы, связанные с их разрешимостью в различных классах функций, оценками и асимптотическим поведением решений этой системы, а также ее обобщений, активно изучались в работах Р. А. Александряна, В. Н. Масленниковой, М. Е. Боговского, С. В. Успенского, Г. В. Демиденко, Е. Н. Васильевой, А. М. Ильина, А. Г. Костюченко, А. А. Шпаликова, Т. И. Зеленяка, М. В. Фокина, В. В. Сказки, С. А. Габова, В. А. Свешникова, Н. Д. Копачевского, С. И. Янова и многих других (см. обзоры в работах [86-88]).
Мы будем рассматривать две смешанные задачи для систе-