Критические конфигурации шарнирных многоугольников и цепей

Оглавление
1 Введение 2
1.1 История вопроса: шарнирные механизмы................... 2
1.2 История вопроса: шарнирные многоугольники.............. 7
1.3 История вопроса: ориентированная площадь шарнирного многоугольника .................................................12
1.-1 История вопроса: циклические многоугольники............20
1.5 История вопроса: шарнирные цепи........................21
1.6 Основные результаты работы.............................24
1.7 Обозначения............................................29
1.7.1 Обозначения для шарнирных многоугольников .... 29
1.7.2 Обозначения для шарнирных цепей..........31
2 Шарнирные многоугольники 33
2.1 Условия типичности шарнирного многоугольника...........33
2.2 Локальная диагональная система координат...............34
2.3 Динамика морсопских точек. Вычисление знака определителя гессиана..................................................38
2.4 Вычисление индекса Морса по индукции...................47
2.5 Формула для индекса Морса..............................49
2.0 Локальные экстремумы шарнирных многоугольников .... 54
3 Шарнирные цепи 64
3.1 Формула для вычисления индекса Морса.................. 64
3.2 Локальные экстремумы шарнирных испей...................67
4 Примеры 69
4.1 Примеры шарнирных многоугольников......................69
4.2 Шарнирные пятиугольники ...............................70
4.3 При меры шарнирных цепей...............................84
5 Заключение 87
1
Глава 1
Введение
Данная работа посвящена исследованию критических конфигураций двух частных случаев шарнирных механизмов шарнирных многоугольников и шарнирных цепей. С одной стороны, эта тема относится к топологической робототехнике относительно новой математической дисциплине, чье развитие сейчас весьма динамично. С другой стороны, тема тесно связана с обобщениями полинома Герома и формулы Брахмагупты полиномами Роббинса-Варфоломеева Оля описанных многоугольников.
1.1 История вопроса: шарнирные механизмы
Шарнирный механизм, это граф без петель и кратных ребер, для каждого ребра которого задано положительное число - его длина. Реализацией шарнирного механизма, или его конфигурацией называется его вложение в некоторое объемлющее метрическое пространство (например, в М2), такое, что для каждого ребра длина отрезка, его реализующего, равна заданной длине ребра. При этом положение некоторых вершин может быть задано заранее. Все возможные конфигурации шарнирного механизма формируют конфуигурационное пространство шарнирного механизма или его пространство модулей. Его наделяют естественной топологией, порождаемой топологией пространства, 1} которое вкладывается шарнирный механизм. Пространство модулей шарнирного механизма может быть до вол ь-
•>
по сложным топологическим объектом, в частности, известно несколько примеров шарнирных механизмов с переменной размерностью пространств модулей (иными словами, с переменной степенью свободі»! шарнирного механизма), (см., например, [8|).
Шарнирные механизмы и их конфигурационные пространства -• тема, давно ставшая классической. Еще в 1876 г. Альфред Кемпе в |39| сформулировал и доказал (правда, с некоторыми пробелами) первый важный теоретический результат, сейчас известный как Теорема Универсальности для шарнирных механизмов:
Теорема. Для любого пересечения алгебраической кривой с замкнутым диском па вещественной евклидовой плоскости ‘найдется шарнирный механизм па плоскости, вычерчивающий эту часть кривой. □
У. Терстон переформулировал ее как "теорему о подписи”: Для каждой подписи существует шарнирный механизм на плоскости, с какой угодно точностью "подделывающий” ее.
В 2000 году М. Капович и Д. Миллсом в |38| уточнили результат Кемпе на языке алгебраической геометрии, усилили его и исправили имевшиеся ошибки. В частности, они доказали следующую теорему:
Теорема. Для любого алгебраического множества А в пространстве П£,и существует шарнирный механизм на плоскости, ко и ф и г урац и очное пространство которого изоморфно по Нэшу дизъюнктному объединению конечного количества копий
А. О
Инженерные задачи мотивировали разработку темы в более практическом ключе. Шарнирные механизмы широко применяются для решения механических задач. Классическим примером такого применения являются механизмы Г1.Л. Чебышева, модели которых можно увидеть в музее СПбГУ. Среди них есть механизм, преобразующий вращательное движение в движение.
3
приближенное к прямолинейному, на основе которого была создана первая в мире шагающая машина "стопоход". Также П.Л. Чебышев создал механизм с парадоксальными свойствами. имеющий в конфигурационном пространстве точку бифуркации. Еще один известный шарнирный механизм прямило Липкина Поселе. изобретенное в 1864 г.. переводит движение по дуге окружности в точное прямолинейное движение.
В последнее время сформировалась новая математическая дисциплина, занимающаяся изучением конфигурационных пространств различных объектов, в том числе и шарнирных механизмов. - топологическая робототехника. В этой дисциплине выделяются два основных течения: во-первых, изучение чисто топологических задач, порожденных робототехникой и управлением, и, во-вторых, применение топологических идей, топологического языка и результатов алгебраической топологии к специализированным задачам управления и программирования.
Одним из подходов к изучению пространств модулей шарнирных механизмов в тех случаях, когда их пространства модулей являются гладкими многообразиями, является теория Морса. Она используется для вычисления чисел Бетти этих многообразий. Диссертация выполнена в русле этого подхода. Однако упомянем и о других аспектах топологической робототехники.
Во многих практических сферах, таких, например, как молекулярная биология, длины ребер шарнирного механизма известны лишь приблизительно; поэтому существует необходимость изучатг» математические ожидания топологических инвариантов пространств модулей шарнирных механизмов. Некоторые недавние результаты описывают асимптотику чисел Бетти пространств модулей шарнирных многоугольников при стремлении числа ребер к бесконечности.
Задачи робототехники, связанные с планированием движений, порождают интересный гомотопический инвариант2'С(Х) топологических пространств, являющийся мерой "навигационной сложности" пространства X. рассматриваемого как конфигурационное пространство некоторой системы. ТС(Х) тогю-
4
логическая мера сложности планирования непрерывного пути па конфигурационном пространстве в зависимости от конечных точек этого пути. Вычисление этой меры сложности пример чисто топологической задачи, порожденной физическими системами. Можно вычислят!» ТС(X), используя когомологическую алгебру X и действия когомологических операций.
Топологическая робототехника является частью области математики. называемой "вычислительная топология5'. Эта область посвящена созданию эффективных алгоритмов для решения топологических проблем с помощью компьютера и применению топологических методов для решения прикладных задач, связанных с компьютерным моделированием, автоматическим проектированием, компьютерной графикой п визуализацией.
Одним из способов развить идею шарнирного механизма является понятие свободного шарнирного механизма связного графа без заданных длин ребер, но с предписанными положениями некоторых вершин в объемлющем пространстве. Отображение, сопоставляющее положениям остальных вершин свободного шарнирного механизма квадраті»! длин ребер соответствующей реализации графа, называется рычажным отображением. При этом прообраз каждой точки пространство модулей обычного шарнирного механизма с набором длин ребер, задаваемым координатами этой точки. М.Д. Ковалев получил ряд результатов о рычажных отображениях в |?|
С шарнирными механизмами связана теория комбинаторной жесткости, основным предметом которой являются схемы. Схема - математический объект, состоящий из конечного графа (V. Е) и его вложения в евклидово пространство некоторой размерности. То есті», схема может быть рассмотрена как конфигурация некоторого шарнирного механизма, полученного из графа (V, Е) приписыванием длин его ребрам. Схемы подразделяются на жесткие и изгибаемые, и это подразделение является фундаментальной задачей теории жесткости. Известный пример жестких схем - ламаповы гуафт, вложенные в плос-
„ кость (ламииовым графом с п вершинами называют такой граф. что. во-первых, граф имеет ровно 2п-3 ребра, и, во-вторых, любой его подграф, содержащий к вершин, имеет не более, чем 2к-3 ребра). Разумеется, жесткость схемы зависит и от графа {V, Е). и от его вложения. Таким образом, вопрос жесткости схемы включает в себя комбинаторный и геометрический аспекты. Теории жесткости посвящена книга (26| и множество других работ Д. Гравера. Б. Серватиус и Г. Серватиус.
Одна из конструкций, связанная с шарнирными механизмами и рассматриваемая в теории жесткости, стрессы шарнирного механизма. Основная идея состоит в приписывании ребрам шарнирного механизма некоторых скаляров напряжений в ребрах. Эти скаляры можно рассматривать как силу, с которой ребро воздействует паевой вершины, расталкивая или стягивая их в зависимости от знака скаляра. Стресс, пли внутреннее напряжение шарнирного механизма, такой набор напряжений в ребрах, что для любой вершины графа равнодействующая всех сил, приложенных к пей со стороны ребер, равна пулю. Эта конструкция связана с изгибаниями шарнирного механизма и. в частности, использовалась в решении задача о ск/ш.Опом мстрс\ о которой будет сказано ниже. Также привлекал внимание исследователей вопрос об условиях восстановимости шарнирного механизма по его пространству напряжений. М. Д. Ковалевым в [9| были найдены достаточные, а в случае шарнирного механизма. лежащего на прямой, и необходимые геометрические условия существования восстанавливающего напряжения.
В данной работе рассматриваются два частных случая шарнирных механизмов шарнирные многоугольники и шарнирные цепи.
О