Метод гладких возмущений в задачах теории упругости с односторонними ограничениями для областей с негладкими границами

Оглавление
Введение 7
1 Обозначения и предварительные сведения 20
1.1 Функциональные пространства......................... 20
1.2 Область с трещиной.................................. 25
1.3 Неравенства Корна................................... 30
1.4 Минимизация выпуклых функционалов................... 32
1.5 Математические модели упругих тел с трещинами и жесткими включениями................................... 35
1.5.1 Уравнения состояния в теории упругости............35
1.5.2 Инфинитезимальные жесткие перемещения............ 38
1.5.3 Обобщенные формулы Грина......................... 39
1.5.4 О краевых условиях в задачах теории упругости . . 44
1.5.5 Задача равновесия упругого тела с трещиной с условием непроникания ее берегов............................47
1.5.6 Задача равновесия упругого тела с жестким включением и трещиной, лежащей на границе раздела . 53
1.5.7 Задача равновесия пластины Кирхгофа-Лява с вер-
тикальной трещиной при условии непроникания ее берегов........................................... 56
2 Задачи теории упругости с односторонними ограничениями на границе 58
2.1 Задача о криволинейной трещине в двумерном теле .... 58
2
2.1.1 Постановка задачи.................................. 58
2.1.2 Вспомогательные утверждения и формулы.............. 02
2.1.3 Сходимость решений................................. 00
2.1.4 Вывод формулы для производной функционала энергии по длине трещины..................................... 70
2.1.5 Анализ полученной формулы.......................... 73
2.2 Квазистатический рост поверхностной трещины в трехмерных телах............................................. 74
2.2.1 Задача равновесия.................................. 75
2.2.2 Преобразование координат и производных ............ 79
2.2.3 Сходимость решений................................. 85
2.2.4 Формула для производной функционала энергии по параметру возмущения трещины............................. 87
2.3 Анализ чувствительности формы трещины с условием непро-никания.................................................. 90
2.3.1 Невозмущенная задачи .............................. 90
2.3.2 Возмущенная задача................................. 93
2.3.3 Асимптотические представления операторов возмущенной задачи............................................ 90
2.3.4 Сходимость решений семейства возмущенных задач к решению невозмущенной задачи.......................101
2.3.5 Производная функционала энергии по форме области 103
2.3.6 Анализ формулы для производной функционала энергии .....................................................106
2.3.7 Инвариантные интегралы.............................107
2.4 Выбор оптимальных форм поверхностных трещин в трехмерных упругих телах ....................................111
2.4.1 Формулировка задачи равновесия ....................112
2.4.2 Выбор оптимальной формы трещины....................116
2.4.3 Задача оптимального управления фронтом трещины 122
3
2.5 Задача об одностороннем контакте пластины с тонким упругим препятствием .......................................... 124
2.5.1 Постановка задачи..............................125
2.5.2 Дифференцируемость функционала энергии по длине
отслоившегося участка..........................130
2.5.3 Предельный переход при а —> ос.................13G
3 Краевые задачи для уравнений четвертого порядка, описывающих поведение упругих пластин 140
3.1 Асимптотика функционала энергии для смешанной краевой задачи четвертого порядка в области с разрезом .... 140
3.1.1 Формулировка возмущенной и невозмущенной задач 140
3.1.2 Вспомогательные утверждения и формулы..........145
3.1.3 Производная функционала энергии .......................157
3.2 Инвариантные интегралы для задачи равновесия пластины с трещиной...............................................162
3.2.1 Задача равновесия..............................162
3.2.2 Возмущение области ....................................164
3.2.3 Вспомогательные утверждения и формулы..........166
3.2.4 Формула для производной функционала энергии . . 169
3.2.5 Общий вид инвариантного интеграла..............175
3.2.6 Возмущение всего разреза.......................177
3.2.7 Возмущение вершины разреза ............................178
4 Задачи теории упругости для моделей упругих тел с жесткими включениями и трещинами 180
4.1 Формула Гриффитса и интеграл Черепанова-Райса для
пластины с жестким включением и трещиной.....................180
4.1.1 Постановка задачи..............................181
4.1.2 Формула Гриффитса..............................186
4
4.1.3 Представление производной функционала энергии
в виде инвариантного интеграла....................200
4.2 Дифференцирование функционалов энергии для моделей упругих тел с трещинами и жесткими включениями. Двухмерный случай................................................204
4.2.1 Формулировка проблемы ...........................205
4.2.2 Вспомогательные утверждения......................209
4.2.3 Производная функционала энергии .................214
4.2.4 Квазистатический рост трещин.....................217
4.2.5 Инвариантные интегралы в плоской задаче теории
упругости для тел с жесткими включениями и трещинами ...........................................219
4.2.6 Возмущение жесткого включения ...................221
4.2.7 Возмущение границы жесткого включения............225
4.2.8 Связь между <7^- и Л/^-интегралами...............229
4.3 Дифференцирование функционалов энергии в трехмерной теории упругости для тел с жесткими включениями ................................................230
4.3.1 Постановка задачи................................231
4.3.2 Вспомогательные результаты.......................235
4.3.3 Производная функционала энергии .................242
4.3.4 Квазистатический рост поверхностной трещины . . 246
4.4 Производная по форме области функционала энергии в теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами с условием непроникания...............................249
4.4.1 Возмущенная и невозмущенная задачи равновесия 250
4.4.2 Асимптотические формулы..........................254
4.4.3 Вспомогательные утверждения......................257
4.4.4 Вычисление производной интеграла энергии .... 264
5
Заключение: основные результаты диссертации 267
Литература 269
б
Введение
Теория упругости играет важную роль с точки зрения приложений. Актуальность рассматриваемых задач в рамках теории упругости обусловлена их многочисленными приложениями в технике и технологиях (горное дело, инженерный дизайн, оценка прочности материалов и пр.). Среди широкого спектра проблем механики сплошных сред в настоящее время одним из наиболее активно развивающихся направлений является механика разрушения. Основной круг проблем механики разрушения связан с изучением несущей способности материалов с уже существующими различного рода включениями такими, как трещины, разрезы, жесткие включения. Классическая теория трещин имеет уже почти вековую историю. К одной из фундаментальных работ можно отнести статью Гриффитса [162], в которой он заложил основы теории хрупкого разрушения упругих тел. Основы классической теории трещин можно найти в работах [4, 14, 17, 24, 25, 39, 49, 54, 71, 93, 95, 98, 120, 137, 142, 155] и др.
Механика разрушения тесно связано с краевыми задачами. Моделирование процессов в виде краевых задач позволяет наиболее точно описать поведение тел при разрушении, сформулировать критерии прочности. В классическом подходе к решению краевых задач с включениями рассматривается линейная математическая модель, в рамках которой на границе, соответствующей трещине, задаются линейные краевые условия, как правило, однородные условия Неймана.
Так как задача теории трещин рассматривается в негладкой области,
7
это приводит к тому, что решения обладают сингулярными особенностями в окрестности угловых точек границы. Работы [34, 45, 46, 48, 53, 62, 63, 144, 163, 204] содержат исследование асимптотики решений краевых задач в негладких областях, в том числе и в областях с разрезами. Еще один подход к исследованию задач теории трещин основан на использовании псевдодиффереициальных и интегральных операторов [141, 148, 201].
В сравнении с аналогичными краевыми задачами в гладких областях, решения задач теории трещин представляется в виде суммы регулярной и сингулярной частей. Первая имеет ту же гладкость, что и решение для гладкой области, а вторая - определяет максимальную возможную гладкость во всей области из-за наличия особенностей. Отметим, что в общем случае для задач теории трещин с произвольной геометрией или для нелинейных задач вопрос о представлении решения остается открытым.
Моделирование, основанное па физических опытах, приводит к новым классам математических задач. В частности, хорошо известен тот факт, что при решении задач с линейными краевыми условиями на трещине возможно взаимное проникание ее берегов друг в друга. С математической точки зрения это ничему не противоречит, а с физической - невозможно. Наиболее естественно рассматривать условия типа Сииьорини одностороннего ограничения решения на границе - условие непроникания берегов трещины [116, 174, 180]. Это приводит к тому, что краевая задача становится нелинейной. Поэтому решение таких задач требует новых подходов. В последнее время в механике сплошных сред развитие получили вариационные методы [13, 21, 36, 69, 105, 183, 194]. При этом возможно распространить классические вариационные методы [5, 28, 124] на исследование задач теории трещин. В этом случае нет необходимости представлять решение в виде суммы сингулярной и регулярной частей. Кроме того, обобщенная формулировка позволя-
8
ет с единой позиции исследовать как линейные задачи, так и нелинейные. Подход основан на вариационных принципах механики сплошных сред. В настоящее время с помощью данного подхода исследован широкий класс задач теории трещин с возможным контактом берегов [37, 108, 109, 110, 111, 134, 171]: доказаны теоремы существования, проведен анализ качественных свойств решений, исследованы оптимизационные задачи, предложены метод гладких областей, метод фиктивных областей, исследованы свойства регулярности решений для различных моделей теории упругости, включая сложные модели такие, как пластины и оболочки Кирхгофа-Лява и Тимошенко.
Работы [1, 12, 29, 1G9, 193, 198, 222] содержат численные решения контактных задач, в том числе и задач теории трещин. Работы [195, 202] посвящены исследованию динамических контактных задач. Отметим также работы [20, 151, 187] по исследованию контактных задач, учитывающие эффект сцепления контактирующих поверхностей, трения и пр.; в [65, 66, 99, 113, 177] исследовались контактные задачи для тел разных размерностей.
Недавно проф. А.М. Хлуднев инициировал изучение краевых задач для моделей упругих тел, содержащих жесткие включения - объемные и тонкие [114, 115]. Если рассматривать объемное жесткое включение, то таким включением естественно считать ту часть тела, деформации которой равны нулю. С математической точки зрения это означает, что решение имеет заданную структуру в некоторой подобласти исходной области, в которой решается краевая задача. Если же рассматривать тонкие жесткие включения, то есть такие включение, размерность которых на единицу меньше размерности задачи (кривая - в двухмерном случае, поверхность - в трехмерном), то тонким жестким включением считается некоторое многообразие в исходной области, для которого след решения на этом многообразие имеет заданную структуру. Для обоих классов задач доказаны теоремы существования, выведены полные
9
системы краевых условий, доказана эквивалентность дифференциальной и вариационной задач, исследованы некоторые задачи оптимального управления [114, 178, 179, 77, 117]. Отметим также следующие работы, в которых исследовались задачи теории упругости для тел с жесткими включениями для некоторых частных случаев: в [219] решалась задача о круговом жестком включении, на границе которого располагается трещина; в [200] исследовалось влияние жесткого включения на распространение трещины в бесконечном теле; в [55] рассматривался случай соединенных полупространств с круглой плоской трещиной в плоскости соединения; в [152, 212, 220, 205, 56] исследовалось взаимодействие жестких включений между собой, а также с расположенными вблизи них трещинами; в [2] построена асимптотическая модель деформирования упругого пространства с тонким жестким стержнем.
Основной целью исследований в механике разрушения материалов является исследование прочности тел. Моделирование процесса разрушения существенно зависит от выбора гипотезы разрушения. К ним можно отнести основополагающую теорию Гриффитса по механике хрупкого разрушения [162], силовой критерий Ирвина [172], концепцию не зависящего от контура интегрирования интеграла (У-интеграл Черепанова-Райса) [119, 210], критерий критического раскрытия трещины [40, 70] (см. также работу [208], в которой проведен сравнительный анализ распространенных критериев разрушения).
Как правило, формулировка того или иного критерия базируется на знании асимптотики решения вблизи вершин или фронта трещин. Как уже отмечалось выше, она хорошо известна для однородных тел в случаях, когда область - двухмерна, трещина - прямолинейна, краевые условия на трещине линейны [58, 61, 164]. В общем же случае, когда тело является неоднородным, а краевые условия нелинейными, существование такого разложения не доказано. Отметим, что для некоторых частных случаев имеются результаты по исследованию асимптотики: в
10
[б, 142, 158, 201] исследовалось поведение решения для малоискривлен-ных трещин; в работах [150, 173] изучалась асимптотика решения задач теории упругости с односторонними ограничениями; в [32, 181] исследовалась асимптотика для уравнения Пуассона, определенного в области с разрезом, на котором заданы условия одностороннего ограничения, а в [196] показано, что решение уравнения Пуассона в области с криволинейным разрезом гладкости С1,1 имеет такой же вид в окрестности вершины трещины, что и для прямолинейных трещин. Поэтому для задач со сложной геометрией или нелинейными краевыми условиями предпочтительней использовать альтернативный энергетический подход, основанный на критерии Гриффитса, который выражается в терминах коэффициентов высвобождения энергии или независящих от пути интегрирования поверхностных интегралов. Следуя гипотезе Гриффитса, поведение трещины целиком определяется производной функционала энергии по параметру возмущения трещины [162, 165]. Это, в свою очередь, позволяет применять вариационные методы для исследования прочности тел с жесткими включениями и трещинами. Отметим здесь работы [125, 143, 153, 154], в которых, основываясь на критерии Гриффитса, изучались модели квазистатического роста трещин в виде минимизации функционалов полной энергии в классах функций ограниченной вариации [127, 128].
А.М.Хлудневым и Я. Соколовски [184] был предложен метод отыскания производных функционалов энергии, который основан па вариационных свойства решения и позволил избежать исследования асимптотики решения вблизи трещин. Используя предложенный метод, были вычислены производные функционалов энергии по параметру, характеризующему изменение формы области, для различных моделей теории упругости для однородных и неоднородных тел с трещинами, и было показано, что такие производные представимы в виде инвариантных интегралов — интегралов, значение которых не зависит от многообразия, но
11
которому происходит интегрирование (см. [78, 79, 80, 97, 185, 182, 184, 191, 81]). При этом, как правило, предполагалось, что трещины являются прямолинейными, либо накладывались дополнительные ограничения на возмущение области.
В дальнейшем метод получил свое развитие, в результате которого удалось исследовать асимптотику функционалов энергии для широкого класса моделей теории упругости и сиять ограничение на вид возмущения и геометрию областей, а также применить его к задачам с жесткими включениями [82, 83, 88, 89]. Здесь же отмегим, что исследования асимптотики решений и других вариаций геометрических и механических параметров при изменении формы области для краевых задач эллиптического типа с линейными краевыми условиями проводились во многих работах (см., например, [3, 45, 53, 60, 58, G4, 131, 129, 15G, 157, 197]).
Предложенный метод оказался тесно связан с понятием производной ио форме области, которая широко используется в теории оптимизации форм [13G, 1G0, 1GG, 183, 215, 21G, 139, 213. 147]. Например, для того, чтобы вычислить производную функционала энергии по длине трещины, вводится малый параметр е и строится такое преобразование координат, при котором исходная область с трещиной длиной I отображается область с трещиной длиной I + е. Фактически это означает, что «
исследуется чувствительность интеграла энергии к изменению формы области. Поэтому естественно рассматривать общее возмущение области, что и приводит к понятию производной по форме области. Анализ зависимости решений краевых задач теории упругости от области (shape sensitivity analysis) играет важную роль в задачах оптимизации форм упругих тел и используется для численного решения оптимизационных задач методом Ныотона [1G7, 216]. Используя метод гладких возмущений, были получены общие формулы для производных функционалов энергии по форме области для различных моделей упругих тел с трещинами и жесткими включениями, в том числе и с условиями неиро-
12
пикания [192, 85, 86, 87, 90, 91]. Результаты о дифференцируемости по форме области различных функционалов, включая функционалы энергии, для упругих тел с линейными краевыми условиями можно найти в [126, 132, 133, 139, 209, 213, 218].
Приведем краткий обзор содержания диссертации.
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Главы разбиты на параграфы, параграфы — на разделы. Нумерация формул и утверждений (а также определений, замечаний и т. п.) сквозная по всему тексту и тройная: вида п.т.к, где п - номер главы, П1 - номер параграфа, а к - номер формулы (утверждения, и пр.) в пункте. При этом определения, теоремы, леммы, следствия и замечания нумеруются независимо друг от друга.
В настоящей диссертации рассматриваются краевые задачи теории упругости, определенные в негладких областях - в областях, имеющих разрезы. Такие разрезы моделируют трещины в упругих телах. Считается, что трещина имеет два берега. Поэтому краевые условия задаются и на внешней границе области, и на внутренней (на обоих берегах трещины). Так же в работе рассматриваются модели тел с жесткими включениями. Это означает, что в некоторой подобласти исходной области задается структура решения.
Как правило в диссертации мы будем рассматривать краевые условия с односторонним ограничением на разрезе, но для ряда задач, моделирующих поведение тел с жесткими включениями и трещинами, мы будем рассматривать так же и линейные граничные условия.
Все исследуемые в диссертации задачи формулируются в вариационном виде, и решение ищется в классах соболевских пространств. Для этого определяются функционалы энергии и соответствующие решаемым задачам множества допустимых функций, на которых затем минимизируются функционала энергии.
В главе 1 содержатся некоторые вспомогательные сведения из фуик-
13
ционального анализа, уравнений математической физики, теории пространств Соболева, вариационного исчисления. Вводится понятие гладкости области с трещиной, определятся функциональные пространства на границе областей с трещинами. Большинство определений и утверждений являются хорошо известными фактами и приводятся для удобства, как правило, без доказательств со ссылками на источники, где они могут быть найдены.
Также глава 1 посвящена описанию основных математических моделей теории упругости, рассматриваемых в диссертации. Кроме того, в ней формулируются основные постулаты механики деформируемого твердого тела, приводятся обобщенные формулы Грина как для гладких областей, так и для областей с разрезами.
Основным результатом первой главы является обоснование корректности вариационных задач теории упругости для тел, содержащих трещины и жесткие включения.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию асимптотики функционалов энергии для задач теории упругости, определённых в областях с трещинами. При этом на трещинах задаются условия одностороннего ограничения - условия непроникания берегов:
[Щи > 0 п.в. на Го,
где II - вектор перемещений, Г0 - многообразие коразмерности единица, моделирующее трещину в упругом теле, V - вектор единичной нормали к Г0.
В параграфе 2.1 выведена формула для производной функционала энергии по длине криволинейной трещины для двухмерной теории упругости. Показано, что полученная формула обобщает известные для плоских задач линейной теории упругости и для задач с условием непроникания, выполненных на прямолинейных трещинах.
В параграфе 2.2 рассматривается трехмерное упругое тело, содер-
14
жащее поверхностную трещину. Вводится возмущение области, соответствующее квазистатическому росту трещины вдоль заданной поверхности и зависящее от малого параметра <5 > 0 и от функции, определяющей изменение фронта трещины. Результатом параграфа 2.2 является вывод формулы для производной функционала энергии по параметру 6. Полученная формула обобщает критерий Гриффитса на трехмерные тела.
Параграф 2.3 посвящен анализу чувствительности интегралов энергии для Димерных задач теории упругости (IV = 2,3) определенных в областях с трещинами. Выведена производная функционала энергии по форме области для общей ЛДмерной постановки задачи в рамках анизотропной однородной теории упругости с условием непроникания на трещине. Выведены достаточные условия, при которых такая производная может быть представлена в виде инвариантного интеграла. В частности, получен интеграл типа Черепанова-Райса для двумерного тела с криволинейной трещиной, берега которой могут контактировать.
Задачи оптимального управления формами трещин в трехмерных упругих телах рассматриваются в параграфе 2.4. Целевым функционалом выступает производная функционала энергии по параметру возмущения области, соответствующего квазистатическому росту трещины, полученная в параграфе 2.2. Решая задачи оптимизации с таким функционалом качества, ищутся наиболее безопасные или, наоборот, опасные, с точки зрения критерия разрушения Гриффитса трещины. Доказаны теоремы существования в задачах оптимального управления формой трещины и ее фронтом.
В параграфе 2.5 обоснована корректность модели упругого тела, контактирующего на части своей границе с тонким упругим препятствием (балкой). Задача сформулирована в виде минимизации функционала энергии на множестве допустимых смещений системы. Показано, что задача имеет единственное решение, для которого выведены дифференциальные уравнения и краевые условия, выполняющиеся на множестве
15
возможного контакта. Исследована асимптотика функционала энергии при варьировании длины балки. Обоснован предельный переход при стремлении жесткостных характеристик балки к бесконечности и показано, что предельная задача является классической задачей Синьорини о контакте упругого тела с жестким препятствием.
Основными результатами главы являются математическое обоснования корректности задач теории упругости, анализ чувствительности форм трещин произвольной геометрии, исследование задач оптимального управления формой упругих тел. Результаты содержатся в работах [82, 83, 84, 85, 88].
Глава 3 состоит из двух параграфов, в которой рассматриваются эллиптические уравнения четвертого порядка. В параграфе 3.1 анализируется чувствительность функционала энергии пластины с трещиной к изменению формы области. При этом на трещине задается точное в рамках модели Кирхгофа-Лява условие непроникания
дхю
[И> >
п.в. на Го,
ди
где Го - кривая в Е2, моделирующая трещину. IV и ги - горизонтальные смещения и прогибы срединной поверхности пластины, V - вектор единичной нормали к Го. Вычислена производная функционала энергии по форме области и показано, что она зависит лишь от решения невозмущенной задачи и скорости возмущения. Это является одним из основных результатов диссертации. Для вывода формулы для производной вводится произвольное достаточно гладкое возмущение области, зависящее от малого параметра 6. В возмущенной области рассматривается задача равновесия, и определяется функционал энергии, зависящий от параметра 5. Затем,используя вариационные свойства решения соответствующих задач равновесия, вычисляется производная функционала энергии но параметру <5. Основная трудность при выводе формулы для произвольной состоит в том, что отображение, определяющее возмуще-
16
нис области, не задает взаимно однозначного соответствия между множествами допустимых смещений возмущенной и невозмущенной задач. Это обусловлено, главным образом, тем, что вектор единичной нормали к невозмущенной трещине не переходит в вектор единичной нормали к возмущенной трещине при возмущении области.
В параграфе 3.2 рассматривается задача о равновесии пластины с криволинейной трещиной. Равновесие пластины описывается бигармо-ническим уравнением. На берегах трещины задаются естественные краевые условия, то есть условия, которые вырабатываются при решении вариационных задач:
т(и) = 0, 1(и) = 0 и.в. на Г,
где и - прогибы срединной поверхности пластины, т(и) и Ь(и) - граничные операторы второго и третьего порядков, которые в механике имеют смысл изгибающего момента и перерезывающей силы соответственно.
Основным результатом параграфа 3.2 является вывод достаточных условий существования инвариантных интегралов и их построение. Построены инвариантные интегралы для конкретных возмущений области: сдвиг всего разреза и локальный сдвиг вдоль разреза. Последний является интегралом типа Черепанова-Райса, который, определяет скорость высвобождения энергии при квазистатическом росте трещины и используется в механике разрушения при описании роста трещины.
Результаты главы 3 содержатся в работах [81, 86, 87].
Глава 4 посвящена исследованию задач теории упругости для различных моделей упругих тел с трещинами и жесткими включениями. Глава состоит из четырех параграфов. В параграфе 4.1 обоснована корректность модели упругой пластины, содержащей трещину и жесткое включение. С математической точки зрения под жестким включением подразумевается такая часть области, в которой заранее задана структура решения. В данной задаче это означает, что сужения допустимых функ-
17
ций на подобласть, занимаемую жестким включением, среди которых ищется минимум интеграла энергии, являются непрерывными аффинными функциями. Доказана разрешимость и единственность решения, выведена эквивалентная дифференциальная постановка задачи. Получена формула для производной интеграла энергии но длине трещины. Показано, что такая производная представима в виде криволинейного интеграла вдоль незамкнутой кривой, концы которой лежат на границе области, занимаемой жестким включением. При этом значение криволинейного интеграла не зависит от выбора пути интегрирования.
В параграфе 4.2 рассматривается двухмерная, а в параграфе 4.3 -трехмерная задачи теории упругости для тел, содержащих жесткие включения. Предполагается, что на части границы соединения включения и упругой матрицы имеется трещина 7, а на остальной части границы - полное сцепление. На внешней границе тела задаются нулевые перемещения. Поверхность трещины свободна от напряжений, что означает, что на стороне 7+ упругой матрицы задаются естественные краевые условия
а(и)ь' = 0 на 7+,
где II - вектор перемещений, сг(и) - тензор напряжений, V - единичный вектор нормали к 7. Кроме того, справедливо интегральное условие
(а{и)и, р)1/2,ды = ! Рр Лх, Ур е Я(ш).
и
Здесь через и; обозначена область, соответствующая жесткому включению, Я(и>) - пространство жестких перемещений,
ЯМ = {р = (риРг) I р{х) = Вх + С, х= (хъх2) € и>0},
где В — произвольная постоянная кососимметрическая матрица, С — произвольный постоянный вектор. Получена производная функционала энергии по форме области. Рассмотрены частные случаи возмущений области, соответствующие квазистатическому росту трещины по границе
18
жесткого включения.
Кроме того, в параграфе 4.2 для двухмерной теории упругости построены ,7- и Л/-иивариантные интегралы для тел с жесткими включениями и трещинами, лежащими на границе раздела. Показано существование инвариантных интегралов по незамкнутым кривым, вершины которых лежат на границе жесткого включения.
Параграф 4.4 посвящен исследованию асимптотики функционалов энергии в двумерной теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами. Считается, что трещина лежит на границе раздела упругой матрицы и включения; на геометрию трещины не накладываются никакие ограничения, за исключением ее гладкости. Кроме того, считается, что берега трещины могут контактировать, то есть задается условие непроникания берегов трещины - условие одностороннего ограничения. Как и ранее, для того, чтобы вычислить производную функционала энергии по форме области, вводится достаточно гладкое преобразование координат - возмущение области, зависящее от малого параметра £, и, используя свойства решений вариационных задач, выводится формула для производной функционала энергии по параметру е. Данный результат так же является одним из центральных результатов настоящей диссертации.
Результаты главы 4 опубликованы в работах [74, 89, 90, 91, 92].
Публикации и соавторство. Все результаты, изложенные в диссертации опубликованы в журналах, входящих в Перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук (см. ссылки [74], [81]-|92]).
Работа [74] написана совместно с чл.-корр. РАН П.И. Плотниковым, а работа [88] - с проф. А.М. Хлудневым. Вклад авторов в эти работы является равноценным, поэтому результаты целиком вошли в настоящую диссертацию.
19
Глава 1
Обозначения и предварительные сведения
1.1 Функциональные пространства
В настоящем параграфе опишем основные функциональные пространства и их свойства, которые будут использоваться при исследовании рассматриваемых в диссертации задач.
Пусть П открытое множество в Пусть а = (аь... ,адг) — муль-
тииндекс, а* € Ми{0}; |а| = Х^£=1а*'- Через Со°(П) обозначим пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в П.
Определение 1.1.1. Говорят, что последовательность {<^„} С Со°(П) сходится к р € Со°(П), если )юсители всех рп лео/сат в компакте В С И, а Опрп —> Оар при п -» ос равномерно в О, для всех а = (<*1,адг)» где Опр — частная производная порядка |а| функции <р, то есть
= ------л---.
да'хл ... даыхп
Определение 1.1.2. Пространством распределений называется пространство всех непрерывных линейных функционалов над С™(О) и обозначается ТУ (О) /123].
20
Определение 1.1.3. Для всякого X € Т>'{£1) и любого мультпиипдекса а определена производная ИаХ Е Т>'(£Ъ) по следующему правилу:
{Ог‘Х, ^(0) = ГР<р) у<р 6 СП«),
гс?е скобки {♦, *)с£°(П) обозначают двойственность между Со°(П) г/ Х>'(П).
Всякая локально интегрируемая функция и заданная на П, определяет обобщенную функцию по формуле
(и,<р)с?м = ! Щ>йх, е С5°(П).
О
В частности, если ^ Е Ьр(£1). 1 < р < ос, то и является обобщенной функцией.
Пусть П открытое множество в Через И^(П), к 6 N и {0},
1 < Р < оо, обозначается пространство Соболева, состоящее из всех функций измеримых по Лебегу функций, обобщенные производные которых принадлежат пространству Ьр(£1) вплоть до порядка к. В случае к = 0, как обычно, полагаем И^(П) = Ьр(£1).
Пространство \¥р(£1) является банаховым [121) относительно нормы
И«11иу(й) = X \\Я0'и\\щпу
\а\<к
Для р — 2 мы будем использовать обозначение Нк(£1) вместо \¥к(£}). В этом случае Нк(П) будет гильбертовым пространством со скалярным произведением
|а|<*
и нормой
Ни11//*(П) = К^)я*(П)-
Для дальнейшего важно понятие гладкости границы Ш области П. Следуя [5], дадим два определения гладкости границы.
21
Определение 1.1.4. Граница дїї принадлежит классу Ск'1, к > 1, если существуют два вещественных числа Ь > 0, к > 0; т систем координат
{Vі 1 Улг)’ Vі = (у(.->У/іг-і), І = 1 ,-,т, (1.1.1)
и т функций в3, 3 = 1 ,...,т таких, что в кубах
& = У бК^-Ч \у{\ <6, г = 1,IV — 1} функции в3 принадлежат Ск'1(А3), и для множеств
V = {(У>ЛК) Є КЛ’ І у> Є Д'\ уІ! = 0і{уі)}, п{ = {(Vі, ?Л0 є кл' | Vі € Д', < уЬ < 0&) + 1г},
Пі = {(гД */„) Є К" ! 1/ € Д'\ в\і/) -Л< уЪ < в\у>)},
выполнены следующие условия:
т
дП = У ТР, С П, С Е*у \ а ; = 1,..., т. і=і
Здесь Ск,1(А}) обозначает пространство функций, которые имеют к Липгииц-непрерывных производных в А'7.
Это определение утверждает, что граница сЮ множества П может быть локально представлена как график функции класса Скл, и множество локально является надграфиком этой функции.
Обозначим через Сх(Х,ы,д) внутренность конуса вращения с вершиной х, высотой Л, углом раствора и и осыо, направленной вдоль вектора д.
Определение 1.1.5. Говорят, что открытое мноо/сество удовлетворяет условию конуса, если
ЗА > 0 Зы > 0 Ух є ОП 3(1: Сх(Х,ш,(І) С С1.
Между определениями 1.1.4 и 1.1.5 есть связь (см. [5) со ссылкой на [159]).
22
Теорема 1.1.1. Пусть її С Мдг — ограниченное открытое множество. Если мноэ/сество имеет границу, непрерывную по Липшицу, то оно обладает свойством конуса. Если множество обладает свойством конуса, то его можно представить с виде объединения конечного числа множеств с непрерывными по Липшицу границами.
Сформулируем теорему вложения Соболева [44].
Теорема 1.1.2. Пусть ограниченная область П С Кдг является лип-шицевой. Тогда
1) Если N > 1р и ^ ^ — или если N — 1р и </ > 1 - любое конечное,
то
И#П) С £«(П),
причем оператор вложения непрерывен;
2) если + + где к - неотрицательное целое, то
И#П) с С*(Й),
причем оператор вложения непрерывен;
3) если N > 1р и <7 удовлетворяет неравенствам 1 < д < дг^ или если N < 1р и д > 1 - любое конечное, то влооюение И^(її) в Ьч(її) компактно.
Для анализа чувствительности функционалов энергии к изменению формы областей мы будем использовать преобразования координат, зависящее от малого параметра. Справедлива следующая теорема [203]. ПуСТЬ її II Є — ОТКрЫТЫС МНОЖеСТВа В ]&Л И ПуСТЬ І? = (І7!, . . . , Рдг)
— взаимно однозначное би-Липшицево отображение її на С. то есть все координатные функции і = 1,..., Аг, равномерно Липшицевы на П и все координатные функции 2^"1, і = в свою очередь, рав-
номерно Липшицевы на С. Заметим, что в этом случае отображение Л почти всюду дифференцируемо [122] и элементы матрицы Якоби Л' принадлежат 1/с*,(П). Кроме того, справедлива обобщенная формула замены
23
переменных в интегралах
J /(у)ду = J(f о Г)(х)|с1е1^/(х)| дх в «
для всех функций / из Ь\((7) (см. [ЮЗ]).
Теорема 1.1.3. Пусть F : П —» (7 — би-Липшицево отображение и пусть элементы матрицы Якоби F/ принадлежат пространству к > 1. Если и £ И7* ((7), 7«о функция иоР принадлежит пространству И7р(П). Кроме того, все ее производные В(*(и о F), |а| < А: выражаются по классической формуле дифференцирования сложных функций.
Доказательство теоремы 1.1.3 можно найти в [203] (стр. 40).
Определим пространства Соболева на многообразиях. Пусть С — открытое множество, граница которого принадлежит классу Скл. На границе 00. определим функциональные пространства посредством локальных координат (1-1.1) следующим образом [41]. Для заданной функции .$(х), х € функции
= 8(у{,...,у>я_1,0’(у})), у] = (у{,...,Ул'-г) е 3 = 1,АГ, могут быть рассмотрены в кубах Л-7. Тогда мы определим пространство П\дП) ={«£ Ь2(сЩ I а* € Я*(Д>), j = 1,ЛГ}, снабженной нормой
и«ни = Е И1*-
Введем так же пространство Нк~1/2(дС1), к > 1, снабженное нормой
N11-1/2. ап = М12-1ДО+
И=0 7-1 д, д.
24
Пусть п — внешняя единичная нормаль к П. Обозначим через дг/дпг производную по нормали порядка і на ОП. Сформулируем стандартный результат о следах функций на границе для пространств Нк(0).
Теорема 1.1.4. Пусть граница дО. принадлежит классу С*"1,1, к > 1 - целое, а функция и принадлежит пространству Нк(£1). Тогда существует линейный непрерывный оператор
к-1
7г: Нк(П) -* р[
1=0
однозначно определяющий следы пи = (тт0и, функции и на ОН:
щи є 0 < і < к - 1.
Для гладких функций и, определенных в Й, имеют место формулы
д1и
щи = г, 0 < г < к — 1. на <91*2. дпг
Обратно, существует линейный непрерывный оператор
к-1
Д Як(П),
г=0
такой что для любых заданных фі Є Нк~г~1/2(д£ї), 0 < г < к — I, можно найти функцию и Є Нк(£1), обладающую свойствами
щи = фі, 0 < і < к — 1, ка <912.
1.2 Область с трещиной
В этом параграфе определим область с разрезом или трещиной. Пусть
— открытое множество в ЕЛ. Пусть внутри Г2 содержится многообразие 7 размерности Хаусдорфа N — 1 (кривая - при Лт = 2 или поверхность
- при N = 3). Считаем, что 7 — не замкнуто. В дальнейшем мы будем
25
отождествлять такое многообразие 7 с разрезом или трещиной. Обозначим через д'у край многообразия 7. Отметим, что в случае N = 2 это есть вершины трещины, а в случае N = 3 — замкнутая кривая в R3, называемая фронтом трещины. В дальнейшем будем считать, что 7 = 7 \ 07 и 7 = 7 U З7.
Выберем и зафиксируем направление единичной нормали и = ..., v±\г)
к 7, которое определит положительный берег 7+ разреза 7 (с внешней нормалью (-?')) и отрицательный берег у~ (с внешней нормалью и). Определим область с трещиной £27 как £27 = £2 \ 7, граница которой сЮ7 есть dQ U 7" U 7+. Очевидно, что граница области с трещиной не является Липшиц-непрерывной в смысле определения 1.1.4.
Предположим, что существует замкнутое расширение Е многообразия 7, делящее £2 на две подобласти £2i, £2о с границами d£2i, <9£2о, такими что 7 С Е. Предполагается, что $£2i = Е, dQ-2 = Е U Г. Будем говорить, что граница 3£27 принадлежит классу Ck,L, если dQi,dQ'2 принадлежат Ск,х. Заметим, что если граница $£27 G С0,1, то она удовлетворяет условию конуса (см. определение 1.1.5).
Пусть граница <9£27 принадлежит С*”1,1, и пусть задана функция и € #А‘($27), к > 1. Тогда однозначно определены нормальные производные на границе <9£27, причем
£ Нк-{~1/2(дП), € Як-;-1/2(7), 0 < г < fc — 1.
ап1
Введем обозначение для скачка функции и на 7:
[и] = н|7+ — н|7-.
Для функции и G Яа’(£27) имеем
ди dv'
Аналогичные обозначения используются и для замкнутого расширения Е, 7 С Е, именно
дхи
дй1
dv' dv*
26
Заметим, что в силу включения и £ Я*(£27) и единственности определе-
дги~
пия следа имеем
или
ди* ди' д'и
на Е \ 7, 0<г<&—1,
ди'
= 0 на Е \ 7, 0 <г<к — 1.
Пусть 7 класса Ск'1, к > 0. Определим пространство Соболева с весом [41]
ноо2Ь) = {« € Н1/2Ь) | сГ1/2г/ € ь2(т)}, снабженной нормой
1М1я^2<7) = 11и11н1/2(7) + 1М 1/2«1112(7)1
где с1{х) — расстояние от точки х 6 7 до ду.
Сформулируем ряд утверждений, характеризующих функции из пространств Нк(£1у) и Я(5и”,/2(7). Первое утверждение устанавливает связь между функциями из Яо^1/2(7) и функциями из Я/с_1//2(Е), допускающими продолжение нулем на Е э 7 (см. [116, 163]).
Лемма 1.2.1. Пусть к > 1, а 7 принадлежит классу С*“1,1. Пусть существует замкнутое продолжение Е £ С ,1 многообразия 7. Тогда функция и £ Я(^1/2(7) тогда и только тогда, когда
и=<и на 7 е Я*~1/2(Е).
0 на Е \7
В силу теоремы 1.1.4 и леммы 1.2.1 справедлива следующая теорема [116, 180].
Теорема 1.2.1. Пусть граница д£1у принадлежит классу а функ-
ция и принадлеэ/сит Я^(£27). Тогда существует линейный непрерывный оператор, который однозначно опредмяет па сЮ7 величины
дги
€ Я
А:—г—1/2
00
(7)
27