Начально - краевые задачи для уравнений одномерного движения двухфазной смеси

Оглавление
Введение 3
1 Разрешимость начально - краевых задач для уравнений движения двух несжимаемых взаимопроникающих вязких жидкостей 13
1.1 Постановка задачи и основные результаты .................. 13
1.2 Разрешимость “в малом” по времени.................... 20
1.3 Глобальная разрешимость по времени модельной задачи о
неизотермическом движении двух взаимопроникающих жидкостей ................................................... 41
1.4 Стабилизация решения задачи изотермического движения
двухфазной смеси ......................................... 50
2 Разрешимость начально-краевой задачи для одномерных уравнений движения двухфазной смеси с непостоянной истинной плотностью 55
2.1 Постановка задачи и основные результаты .................. 55
2.2 Локальная разрешимость по времени начально-краевой зада-
чи движения двухфазной смеси с непостоянной плотностью второй фазы .............................................. 61
2.3 Разрешимость “в целом” по времени.................... 79
2.4 Стабилизация решения задачи неизотермического движения
двухфазной смеси ......................................... 87
Заключение
Литература
89
90
2
Введение
В последнее время все больше внимания уделяется моделям, учитывающим эффекты неоднофазности (газированная нефть, насыщенный парами воздух и т.д.)([1]-[4|). Имеется очень много различных моделей для описания многокомпонентных и многофазных смесей. Все они являются весьма сложными как с теоретичекой точки зрения, так и в отношении использования для решения конкретных задач. При построении замкнутой системы уравнений, описывающих движение многокомпонентной смеси, занимающей объем П С Я71 (ограниченный или неограниченный}, используются (см. [1), (5]> (6], |7|) уравнения неразрывности (баланса массы)
пользуется “немое” суммирование; [0,Т] - промежуток времени, в течение которого происходит движение, рг{х, £) - приведенная плотность, г?(т,£) -вектор скорости, ./д характеризует интенсивность перехода массы из j-и
уравнения сохранения импульса
м
уравнения сохранения энергии
для составляющих смеси. Здесь Vа' = х = (жі,Ж2»®з) ” ДекаРтова система координат в Я3, V = ~ оператор градиента, гТ, • V =
У ^ = й»1 и 110 повторяющемуся индексу ис-
д д д дх\5 дх2 ’ дх3
в г-ю составляющую (или наоборот, из г-й в у-ю, тогда Зу < 0) в единице объема смеси и в единицу времени. Из закона сохранения массы при различных физико-химических превращений (формально полагая = 0) имеем Зу — Аналогично, Ру и Еу - соответственно интенсивность обмена
импульса и энергией между у-й и г-й составляющими. Из закона сохранения импульса и энергии следует Ру = — Рц, Еу = —Ец {Рц = 0, и Ец = 0).
В уравнениях импульса а,- - тензор поверхностных сил, $ - вектор внешних сил. В уравнениях для полной энергии Е{ = гц 4-1/2| щ |2 введены обозначения: щ - удельные внутренние энергии составляющих смеси, - характеризует работу внешних поверхностных сил (в частном случае с, = <т\щ), $ - приток тепла.
В гетерогенной смеси каждая компонента (в дальнейшем фаза) занимает лишь часть объема смеси (Ц + \/2 + ... + Клг — V). В связи с этим возникает необходимость введения величин с*!,...а^} характеризующие доли объема смеси, занимаемые каждой фазой
От + С*2 + ... + = ^ 0,
и, таким образом, помимо приведенных плотностей р*, определяются истинные плотности веществ фаз (масса г-й фазы в единице объема г-й фазы)
Р°х = Рх/°ч-
Кроме того, требуют конкретизации величины, описывающие внутрифаз-ные (силовое <7г, энергетическое Сг и $) и межфазные (массовое Зу, силовое Ру, энергетическое Е}х) взаимодействия.
Из формальных балансовых соотношений |1| интенсивность обмена импульсом представляется в виде Ру = —Рц — Яу + (г, у — 1,...,
г -ф у). Здесь Яу - межфазная сила (отнесенная к единице объема смеси) из-за сил трения, давления, сцепления между фазами и т.д. Обмен импульсом происходит и за счет фазовых превращений. Например, переходу —* г приводит к тому, что из у-й фазы в г-ю уходит импульс ЗуУу, где Уу характеризует скорость или импульс массы, претерпевающий превращение у —* г и находящейся в г-й фазе. Поскольку фазовые превращения происходят на
межфазновой границе, то ил можно рассматривать как скорость вещества г-й фазы на границе с фазой Учитывая, что для гетерогенных смесей с вязкими жидкостями характерно отсутствие заметных скачков скорости на межфазных границах, предполагается, что ьзг = угз.
Интенсивность обмена энергий между и г-й фазами может быть представлена в виде
Здесь первые два слагаемых представляют приток энергии в г-ю фазу за счет работы IVзг межфазных сил (трения, давления, сцепления и т.п ) и теплопередачи (2п на границе между j-n и г-й фазами Третье слагаемое представляет перенос внутренней и кинетической энергии вместе с переносом массы из j-й в г-ю фазу, где изг - удельная внутренняя энергия массы, претерпе-вающая переход j —♦ г и находящейся в г-й фазе. Аналогично скорости ■изг величина и]г может рассматриваться как удельная внутренняя энергия г-й фазы на границе с j-ft фазой. Но в отличие от скоростей узг внутренняя энергия фаз на межфазной границе терпит разрыв, те. изг Ф иу.
При рассмотрении термодинамических уравнений фаз принимается гипотеза о локальном равновесии в пределах фазы. Кроме того, принимается гипотеза о том, что фазы представляют собой двухиараметрические среды, т.е. термодинамические функции каждой среды зависят только от двух термодинамических параметров состояния (например, от истинной плотности р® и температуры Тг или давления рг и температуры Тг). Таким образом,
Одним из вариантов реологических соотношений в многоскоростной модели является следующая схема силового взаимодействия и совместного деф-формирования фаз [8]
Езг — —Егз = \¥л + С}3, 4- ^і(иїз 4- 1/21 ухз |2).
Щ - и%($,Тг), Рг = Р*(р?,Т,), 5, = вгір^Тг), (Д = $ + Уг • V) И ДЛЯ КЭЖДОЙ
фазы справедливо соотношение Гиббса [1]
ТгД51 = ОгЧг 4- рг Д(1/р°).
5
РіІРьТі) = Р2(Р2>Т2) = ... = РЬ'(р%,Тн) - р N N
^ ^ Щі ~ Р V "Р ^ ^ ^£, і=і і=і
Здесь а^Рі - шаровые составляющие в тензорах напряжений фаз; 6к1 - символ Кронекера; р у а* - сила, возникающая из-за расширения трубки тока [8]; /,- характеризует скоростную неравновестносгь между ^'-й и г-й фазами увеличивается с увеличением — й).
Данная работа посвящена разрешимости некоторых начально-краевых задач для уравнений одномерного движения двухфазной смеси.
Одна из первых моделей двухфазных смесей возникла в задачах вытеснения нефти из пласта с помощью закачивания воды или специальных растворов. Вопросам корректности таких моделей посвящены работы ([9] - [11| и многие другие).
После работы Л.Д. Ландау и Е.М. Лившица по гидродинамике жидкого гелия активизировались работы но созданию моделей, точнее учитывающих неоднородный характер состава реальных жидкостей и газов (в том числе -моделей фильтрации, не использующих эмпирический закон Дарси).
В диссертации рассматривается модель неизотермического движения двухфазной смеси в отсутствие фазовых переходов и с учетом скачка, давлений (Х.А. Рахматулин. Р.И. Нигматулин, В.Н. Николаевский [1], [2], [8), [12]). являющаяся обобщением модели фильтрации Маскета-Леверетта двух вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей. Вопрос о корректности начально-краевых задач о движении для таких моделей двухфазных смесей жидкостей (газов) исследован в значительно меньшей степени по сравнению с моделью Маскета-Левсретта или моделью вязкого газа. Это связано с существенным усложнением объекта, исследования (модель усложняется, в частности, введением концентрации фазы, связывающей истинную и приведенную плотности). Однако имеется ряд моделей многофазных сред, для которых установлены результаты о разрешимости. Это модели многокомпонентной баротропной смеси (аналог многокомпонентного вязкого газа, по-
б