Устранимые особенности решений эллиптических уравнений

Оглавление
Введение 5
1 Устранимые особенности обобщенных решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в дивергентной форме 38
1.1 Вспомогательные результаты.................... 38
1.2 Устранимые особенности обобщенных решений уравнений с ограниченными и измеримыми действительными коэффициентами в классах функций с первыми обобщенными производными................. 40
1.3 Устранимые особенности обобщенных решений уравнений с непрерывными коэффициентами в классах Гельдера..................................... 50
1.4 ^-гармоническая мера и функция Грина для линейного равномерно эллиптического оператора второго порядка в дивергентной форме................ 55
1.5 Устранимые особенности обобщенных решений уравнений с измеримыми и ограниченными коэффициентами в классах непрерывных функций ... 64
2
1.6 Эквивалентное определение обобщенных решений уравнений с измеримыми ограниченными коэффициентами ........................................ 72
1.7 Связь между классами ]¥£(С)\м: и и\^а(0)\ос • • 76
2 Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме 88
2.1 Определения и предварительные сведения .... 88
2.2 Устранимые особенности слабых решений уравнений с ограниченными и измеримыми действительными коэффициентами......................... 94
2.3 Доказательство теоремы 2.1................... 97
2.4 Устранимые особенности слабых решений уравнений с измеримыми и ограниченными коэффициентами в классах Гельдера-Зигмунда............113
2.5 Эквивалентное определение слабых решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме .... 114
2.6 Устранимые особенности слабых решений уравнений с коэффициентами, непрерывными по Дини118
3 Устранимые особенности решений квазилинейных
эллиптических уравнений второго порядка 122
3.1 Формулировки теорем об устранимых особенностях р-гармонических функций......................122
з
3.2 Вспомогательные результаты о р-гармонических функциях............................................125
3.3 Доказательство теоремы 3.1......................128
3.4 Доказательство теоремы 3.2......................136
3.5 Устранимые особенности решений уравнения минимальных поверхностей в классах С1,а .... 142
3.6 Обобщение теоремы об устранимых особенностях решений уравнения минимальных поверхностей
в классах С1,а..................................149
4 Устранимые особенности слабых решений линейных дифференциальных уравнений с гладкими коэффициентами 154
Литература
164
Введение
Задачи о продолжении решений дифференциальных уравнений с частными производными традиционно привлекают внимание большого числа исследователей. Центральное место среди них занимает задача об устранимых особенностях решений дифференциального уравнения в заданном множестве функций (функциональном классе). Рассмотренная впервые для аналитических и гармонических функций (т.с. для решений уравнения Коши-Римана и решений уравнения Лапласа) в теории функций одного комплексного переменного, эта задача может быть сформулирована в общем виде следующим образом.
Пусть в области О С М7\ п > 2, задано непустое множество Е С, замкнутое относительно этой области, функциональный класс Я (О), элементы которого в дальнейшем всегда предполагаются локально суммируемыми функциями в С) и класс Лр(СУ), состоящий из всех решений дифференциального уравнения в частных производных Р/ = 0. при этом Ар (С?) П Н ((?) Ф 0 (во всех конкретных случаях, которые будут рассматриваться ниже, мы будем уточнять требования на класс #(<3), дифференциальное уравнение Р/ = 0, и то,
5
в каком смысле понимаются решения этого уравнения). Спрашивается, при каких условиях на Е каждая функция из класса #({?), являющаяся решением уравнения Р/ = 0 на множестве С \ Е, может быть продолжена с О \ Е на С до функции из класса Ар((3) П #(£?)? Если последнее имеет место, то мы говорим, что множество Е устранимо для решений уравнения Р/ = о (или Р-устранимо) в классе #((?).
Первая теорема о стирании особенностей была получена Ри-маном. В своей докторской диссертации (1851, см. [43] и комментарии в [22]) он установил устранимость изолированной особой точки го для гармонической функции двух действительных переменных при условии, что модуль ее градиента ведет себя при г —> го как о(|г — *о|-1). В этой же работе он сформулировал теорему о стирании особенностей, расположенных на дуге кривой, на которой функция непрерывна и в окрестности которой она аналогична (голоморфна). Риман не привел строгого доказательства этого утверждения, которое без дополнительных ограничений на дугу может оказаться и неверным. Однако, как показал П. Пенлеве [101] (1888). оно справедливо при условии спрямляемости дуги, которое, по-видимому, неявно подразумевалось Риманом. Этот результат является частным случаем доказанной П. Пенлеве более общей теоремы об устранимости компактов с конечной длиной по Хаусдорфу для голоморфных функций, непрерывно продолжаемых на множество своих особенностей. Другим важным результатом, кото-
рый был установлен в упомянутой работе П. Пенлеве, была устранимость компактов с нулевой длиной (по Хаусдорфу) для ограниченных голоморфных функций.
В обратном направлении, А.Данжуа [70] показал неустраним ость для ограниченных голоморфных функций компактов положительной длины, расположенных на прямой. П. Пенлеве предполагал, что всякий всюду разрывный компакт К (т.е. компакт, содержащий лишь одноточечные компоненты связности) устраним для голоморфных функций, непрерывно продолжаемых на К, но эта гипотеза была опровергнута Д. Помпейю [103], построившим пример всюду разрывного компакта К С С с положительной площадью и непрерывной и ограниченной в С непостоянной функции /(^), голоморфной в С \ К. Однако, оригинальное доказательство Помпейю содержало пробел, устраненный в 1909г. А.Данжуа [69].
Важную роль в дальнейшем развитии теории особых точек аналитических функций сыграла опубликованная в 1916 г. магистерская диссертация В. В. Голубева (см. [5]). В этой диссертации он построил пример типа Помпейю-Данжуа с компактом К нулевой площади (что оказалось существенно более сложным) и сформулировал гипотезу о том, что для компакта К, не разбивающего комплексную плоскость С на несколько частных областей, всякая однозначная аналитическая функция /(г), г € С \ К, может быть представлена в виде /(г) = 1кФ*(С)| где {/х/Д^о — последовательность ком-
плекспых борелевских мер, сосредоточенных на АТ, а ряд сходится к /(г) равномерно на компактных подмножествах области С \ К. Простоявшая открытой почти полвека, гипотеза В. В. Голубева была опровергнута А. Г. Витушкиным |3|, построившим удивительный пример функции /(2), непрерывной в С. голоморфной вне всюду разрывного совершенного компакта АТ, каждая точка которого является особой для нее, и не представимой рядом Голубева, при этом = 0 для
любого замкнутого контура 7 С С \ АТ.
Другой тип теорем об устранимых особенностях аналитических функций предложил в 1919 г. В. С. Федоров [48]. Он доказал, что любая функция непрерывная в области С С С, равная нулю во всех точках некоторого всюду разрывного компакта АТ С С и голоморфная в С \ АТ, является голоморфной в С. Опубликованная в малодоступном издании во время Гражданской войны, работа В. С. Федорова [48] была многие годы неизвестной широкому кругу специалистов, и сейчас результаты подобного типа обычно связывают с именем Т. Радо, который в 1924 г. снял в теореме В. С. Федорова условие всю-ду разрывности и компактности особого множества, на котором функция f(z) равна нулю (см. [105]). Наиболее сильный результат в направлении дальнейшего ослабления условий в теореме В. С. Федорова принадлежит к настоящему времени Ю. Ю.Трохимчуку [47]: если область (? С С представлена в виде не более чем счетного объединения попарно непересекаю-
8
щихся множеств, а функция f(z) непрерывна в G и моногенна на каждом из этих множеств, то f(z) голоморфна в G. (Напомним, что моногенность функции f(z) на множестве Е С С означает, что в каждой точке z Є Е, являющейся предельной для Е, существует конечный предел lim
E\{z}BC-^z z
Приведем еще один результат В. С. Федорова, в котором впервые появилась неоднократно используемая в дальнейшем идея классификации локально суммируемых либо непрерывных функций по скорости их локальных аппроксимаций в соответствующей метрике решениями дифференциального уравнения с частными производными. В работе [49| (1928) он доказал, что если компакт К не разбивает область G С С на несколько частных областей, то для того, чтобы любая функция f(z)} непрерывная в G и голоморфная в G \ К, представлялась в ви-Де f{z) = g[z) + fKp(Q(C - z)-1dC. 2 Є G\K, где функ-ция p(С) существенно ограничена на К, а функция g(z) голоморфна в G, необходимо и достаточно, чтобы для каждого круга {|£ — z\ < г} (с G нашелся полином p(z) такой, что
SUP|C-,|<r 1/(0 - р(01 ^ C(f)r.
Существенное продвижение в изучении устранимых множеств для голоморфных функций одного комплексного переменного произошло на рубеже 1950-60 гг.
С одной стороны, в 1959 г. А. Г. Витушкин [2] построил пример компакта X, устранимого для ограниченных голоморфных функций, который имеет положительную линейную меру Ха-
усдорфа. Более простой пример такого компакта предложили позднее Л. Д. Иванов (см. [11]) и независимо Дж. Гарнетт [74]. Отличительной особенностью этих примеров является то, что для почти каждой прямой /, проходящей через начало координат О, линейная мера Лебега проекции К на I равна нулю, или, в других терминах, компакт К имеет нулевую меру Фава-ра. В связи с этим в начале 1960-х гг. А. Г. Витушкин высказал гипотезу о том, что устранимость компакта для ограниченных голоморфных функций равносильна равенству нулю его меры Фавара. Эта гипотеза в значительной степени определила дальнейшее направление исследований, связанное с названной именем Пенлеве проблемой описания компактов, устранимых для ограниченных голоморфных функций, и привела к формированию в 1990-х гг. понятия кривизны меры (М. С. Мельников), в терминах которого Х.Толса [112] получил в 2001г. решение этой проблемы. Не приводя формулировки теоремы Тол-сы и результатов, непосредственно предшествовавших ей (см. [102, 95, 23]), отметим, что гипотеза Витушкина подтвердилась для компактов с конечной длиной (Г. Давид [66]), а в общем случае ответ на нее отрицательный (П. Маттила, 1986).
С другой стороны, в 1961г. Е. П.Долженко (см. [7]) показал, что множество Е, замкнутое относительно содержащей ее области G С С, устранимо для решений однородного уравнения Коши-Римана в классе функций, удовлетворяющих в G условию Гельдера с показателем а € (0, 1), тогда и только
10
тогда, когда хаусдорфова мера Е порядка 1 + а равняется нулю: тез1]асЕ = 0. Это был первый результат, в котором устранимые особенности решений дифференциального уравнения с частными производными были охарактеризованы в терминах хаусдорфовых мер, и в дальнейшем он получил значительное развитие.
Для формулировки следующих результатов напомним определения некоторых функциональных классов. Пусть О — область в 1КП и пусть, как обычно, [з] и {.в} обозначают соответственно целую и дробную части действительного числа з. По определению, класс Зигмунда 2(0) состоит из всех непрерывных функций / в области О, для которых конечна точная верхняя грань величины \/(х — /г) — 2/(х) + /(х -I- к)|/1/г[, взятая по всем х € О и к Е Мп \ {0} таким, что замкнутый отрезок с концами х — к и х + к целиком лежит в О. Для заданного действительного а > 0 определим класс Гельдера-Зигмунда Л°((7) как множество всех непрерывных функций / в области О, таких, что при нецелом а функция / является [а] раз непрерывно дифференцируемой и все ее частные производные порядка [а] удовлетворяют в О условию Гельдера с показателем {а}, а при целом а функция / имеет непрерывные частные производные всех порядков < о.' — 1, причем производные порядка а — 1 принадлежат классу 2(0). Если к е Мо := {0,1,...} и 0 < а < 1, то А*+*(<3) =: СА+в(С) =: Ск'°(0)] Ск(С) и СМ(0) - соответственно множество к раз непрерывно дифференцируемых
и
функций в (7 и его подмножество, состоящее из функций, все частные производные порядка к которых удовлетворяют в О условию условию Гельдера с показателем а = 1 (условию Лип-щица), С0 (О) =: С (О) — множество всех непрерывных функций в области С.
В дальнейшем Е всегда обозначает непустое подмножество области (7 С К71, Е -ф (7, замкнутое относительно этой области, т.е. такое, что множество С\Е открыто.
Сформулированный выше результат Е. П. Долженко об устранимых особенностях голоморфных функций справедлив и при а = 1: достаточность условия теъ^Е = 0 была доказана для этого случая в [7], а необходимость установлена в 1977 г. Н. X. Уи [115,116] (более простое доказательство было предложено позднее С. В. Хрущевым [53], см. также [47]). В классе Зигмунда подобная характеризация уже невозможна: как показали X. Кармона и Х.Донэр [65] из равенства нулю хаусдорфовой меры теэдК компакта К С С относительно измеряющей функции //(£) := о < г < ехр(—ее), вытекаеч’ его
устранимость для голоморфных функций в классе 2Т((С), при этом существует неустранимый компакт К\ с т&&дК\ < оо и устранимый Кч с те&дК2 — оо (для голоморфных функций в классе Е(С)).
Результаты типа теоремы Долженко имеют место и для гармонических функций. А именно, для устранимости подмножества Е области (7 С Мп, п > 2, для гармонических функций в
12
классе Ла(£)1ос, 0 < а < 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие те$п~2+аЕ = 0. Для случая а Е (0, 1) этот результат был получен Л. Карлесоном [15, 64]. при а Е (1, 2) — Е. П.Долженко [8, 9], случай о: = 1 рассмотрен Д. Матеу и Д. Оробичем [94] и независимо Д. Ульрихом [114]. X. Вердера [117] показал, что условие теБпЕ = 0 характеризует устранимость множества Е для гармонических функций в классе С1'\С) ,ос.
Важную [юль в развитии результатов Е. II. Должепко и Л. Кар-лесоиа сыграла работа Р. Харви и Дж. Полкипга [78], посвященная устранимым особенностям слабых решений линейного дифференциального уравнения Р/ = 0 порядка т, коэффициенты которого т раз непрерывно дифференцируемы в области О С К7*. В этой работе было показано, что равенство тезп-т+к+аЕ = о является достаточным условием устранимости множества Е С О для слабых решений уравнения Р/ = 0 в классе С^’ДС?), где к Е Мо, а Е (0, 1], 0 < п — т + к -Ь а < п.
Р. Харви и Дж. Полкинг [78] рассмотрели также устранимые множества для слабых решений уравнения Р/ = 0 в классе Соболева И7р{й) при к Е М0, 1 < р < оо, 0 < п — д(т — к) < п, где д = р/{р — 1), =: Ьр{0). Они установили, что в этом
случае выполнение условия то&п~ч<<т~к)Е < оо обеспечивает устранимость множества Е (для оператора Лапласа Д и к = 0 это было доказано ранее Л. Карлесоном [15]).
Результаты Р. Харви и Дж. Полкинга обобщались и разви-
13
вались в нескольких направлениях. 1ак, в терминах введенных им анизотропных хаусдорфовых мер Й. Крал [86, 87] охарактеризовал устранимые особенности решений полуэллипти-ческих уравнений с постоянными коэффициентами в специальных анизотропных классах типа Кампаиато. С другой стороны, И.Ю. Чесноков [54] рассмотрел линейный оператор Р с достаточно гладкими коэффициентами, порядок которого по какой-то группе переменных меньше его порядка по всем переменным, и в терминах равенства нулю хаусдорфовой меры проекции особого множества на одну из координатных гиперплоскостей обобщил приведенную выше теорему Р. Харви и Дж. Полкинга об устранимых особенностях слабых решений уравнения Р/ = 0 в классах Гельдера.
В 1980г.* Р. Кауфман и Дж. М.Ву [82] получили достаточное условие голоморфности локально суммируемой функции в комплексной области в терминах ее локальных приближений в среднем голоморфными функциями. Б. Ж. Ищановым [12] этот результат был распространен на случай слабых решений линейных уравнений с гладкими коэффициентами. В дальнейшем, в терминах локальных приближений в среднем решениями соответствующего уравнения Б.Ж.Ищаиов 113] выделил классы функций, в которых устранимость множества для по-лианалитических и полигармонических функций характеризуются условием равенства нулю его хаусдорфовой меры относительно произвольно заданной измеряющей функции. Обобще-
14
мис этого результата на решения полуэллиптических уравнений с постоянным коэффициентами и квазиоднородной левой частью было получено автором [35, 37]. В качестве его следствия установлено, что для однородного эллиптического оператора Р порядка га с постоянными коэффициентами в М" условие тезп т+(У Е = 0 характеризует устранимость множества Е в области Є С Мп для решений уравнения Р/ = 0 в классе Гельдера-Зигмунда Ла(С)іос, где показатель гладкости а > 0 удовлетворяет двойному неравенству 0 < п — т + а < п.
Остановимся теперь на развитии результатов В. С. Федорова и Т. Радо. В 1983 г. Й.Крал [881 доказал, что любая непрерывно дифференцируемая функция в области О С Кп, п > 2, равная нулю на замкнутом множестве £ С Си гармоническая в Є \ Е) является гармонической в С. В работе [89] он распространил этот результат на решения линейных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. И.Ю. Чесноков [55] обобщил сформулированную теорему Крала на полигармонические функции порядка к в классе С2*“1 (б) (к Є К). В работе [81] результаты Крала распространены на широкий класс квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка, включающий рассматриваемое ниже уравнение Фу(|\7/|р_2\7/) = 0 и уравнение минимальных поверхностей.
С другой стороны, Б.Ж. Ищанов [14] установил гармоничность в области (7 С К71, п > 2, функции и Є С (Є), равной
15