ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТМ-волн,
распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью 20
1.1 Постановка задачи................................................ 20
1.2 ТМ-поляризованные электромагнитные волны......................... 22
1.3 Решение системы дифференциальных уравнений....................... 25
1.4 Условия сопряжения и задача сопряжения........................... 27
1.5 Существование собственных значений .............................. 30
1.6 Модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений . ... 34
ГЛАВА 2. Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТЕ-волн,
распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью 41
2.1 Постановка задачи................................................ 41
2.2 ТЕ-поляризованные электромагнитные волны......................... 43
2.3 Решение системы дифференциальных уравнений....................... 46
2.4 Условия сопряжения и задача сопряжения........................... 47
2.5 Существование собственных значений .............................. 50
2.6 Модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений .... 54
ГЛАВА 3. Вычисление приближенных собственных значений 60
3.1 ТМ-ноляризованные волны.......................................... 60
3.1.1 Метод нахождения приближенных собственных значений......... 60
3.1.2 Керровская нелинейность.................................... 64
3.1.3 Нелинейность с насыщением.................................. 69
3.2 ТЕ-поляризованные волны.......................................... 77
3.2.1 Метод нахождения приближенных собственных значений......... 77
3.2.2 Керровская нелинейность.................................... 80
3.2.3 Нелинейность с насыщением.................................. 87
2
ВВЕДЕНИЕ
Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются последние несколько десятилетий [1, 2, 6, 40, 44, 55, 63]. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрических слоях и диэлектрических цилиндрических волноводах (интерес привлекают и изучаются, в том числе и многослойные структуры см, например, (48, 54)). Явления распространения электромагнитных волн в нелинейных средах представляют как самостоятельный математический интерес, так и находят широкое применение, например: в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике [1, 2, 3, 6, 40, 50].
Задачи с правильной геометрией (плоские слои, круглые цилиндрические волноводы) привлекают внимание, как широкими практическими приложениями (см., например, [1, 3, 40]), так и возможностью получать точные решения, по крайней мере, для некоторых типов нелинейностей и некоторых типов волн (см., например, [8, 9, 10, И, 12, 30, 31, 47, 49, 52, 57, 58, 63, 64]). С другой стороны, такие задачи являются источником новых математических результатов, поскольку многие проблемы о распространении электромагнитных воли в нелинейных средах, при строгой формулировке их как краевых задач математической физики, представляют собой нелинейные задачи (начально-краевые задачи, краевые задачи, задачи сопряжения, задачи на собственные значения [12, 63]), которые не удается решать известными методами. Вследствие этого большое значение приобретает разработка математических моделей для таких задач и методов их решения, как аналитических, так и численных.
4
Уравнения, описывающие распространение волн в нелинейной среде, с нелинейностью, выраженной законом Керра, были выведены в 1964-1965 гг. [38], где представлены расчеты цилиндрических самоподдержи-вающихся волноводных каналов в изотропном нелинейном диэлектрике с положительным волновым числом и керровской нелинейностью.
Задачи распространения монохроматических плоских поляризованных волн в линейном слое и линейном круглом цилиндрическом волноводе хорошо изучены (см., например, [1, 7]). Такие задачи представляют собой задачи сопряжения на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти задачи сводятся к отысканию тех значений спектрального параметра (по сути собственных чисел - значений постоянной распространения), при которых волна может распространяться. Собственные значения рассматриваемых задач удовлетворяют некоторому уравнению, которое называется дисперсионным уравнением. Именно на нахождении дисперсионного уравнения необходимо сосредоточить внимание в рассматриваемых задачах. Однако в случае нелинейных задач многие авторы [49, 52, 53] уделяют большее внимание нахождению решений дифференциапьных уравнений. Нахождение решений системы дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемое явление, дает математическое выражение компонент электромагнитного поля и ничего не говорит о том, при каких значениях спектрального параметра волны существуют. Ясно, что нелинейные дифференциальные уравнения не всегда удается проинтегрировать. В этом случае до дисперсионного уравнения дело просто не доходит. Конечно, имея явные решения дифференциальных уравнений, описывающих распространение волн можно получить дисперсионное уравнение. Однако в некоторых случаях дисперсионное уравнение можно найти в явной форме и при этом не обладать решениями дифференциальных уравнений [12, 15, 63]. С математической точки зрения дисперсионное уравнение является уравнением относительно спектрального
б
параметра, анализ которого позволяет делать заключение о существовании решений краевой задачи на собственные значения.
Задачи распространения плоских монохроматических поляризованных электромагнитных волн в нелинейных слоях и нелинейных круглых цилиндрических волноводах для случая керровской нелинейности изучены в работах [3, 9, 11, 12, 30, 55, 58, 63]. Керровская нелинейность имеет вид 6 = 62 + <*|Ё|2, где е - диэлектрическая проницаемость внутри слоя, Е’2 - постоянная составляющая диэлектрической проницаемости е, а - коэффициент нелинейности, Е - напряженность электрического поля. Результаты, связанные с распространением электромагнитных ТЕ)-волн в различных волноведущих структурах, как в круглом цилиндрическом волноводе, так и в слое, представлены в [15, 30, 43, 47, 51, 57, 59, 61, 63]. Работы К).Г. Смирнова и С.Н. Куприяновой [12, 30, 47] посвящены изучению краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТЕ-волн, распространяющихся в нелинейном круглом (цилиндрическом) волноводе с нелинейностью, выраженной законом Керра. Для решения краевой задачи на собственные значения в применяется метод функций Грина, а решение получающегося нелинейного интегрального уравнения находится итерационным методом. Работы Ю.Г. Смирнова и Э.А. Хоро-шевой [12, 32, 33, 34, 39] посвящены аналогичной задаче для ТМ-волн. В работе Н.\\'г. ЗсЬйгшапп, В С. Серова и Ю.В. Шестопалова [57] изучается отражение и прохождение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейном слое. Слой расположен между двумя полубесконечными линейными средами. Все среды предполагаются средами без потерь, немагнитными изотропными и однородными. В этом случае удается проинтегрировать получившиеся обыкновенные дифференциальные уравнения и выразить компоненты электромагнитного поля в терминах эллиптической функции Вейер-штрасса. Задача о распространении ТЕ)-поляризованных волн в однородной нелинейной среде с нелинейностью вида 6 = бо Ч- ос\Ё\2 + Р\Ё\4 была решена в [13, 31], где были получены аналитические решения соответству-
7
ющих дифференциальных уравнений, выраженных через эллиптическую функцию Всйерштрасса (см. также [60]), а также представлены результаты расчетов.
Случай распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейных средах является более сложным, чем случай ТЕ-волн, т.к. наличие двух компонент электрического поля усложняет анализ [12, 41]. В уже упоминавшейся работе [56] рассматривается линейный диэлектрический слой, окруженный с одной или двух сторон нелинейной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Подобная задача для ТЕ-волн решена аналитически [42, 62). Для случая ТМ-волн в [56] получено дисперсионное уравнение для собственных значений задачи, которое представляет собой алгебраическое уравнение. Существенный прогресс при изучении распространения ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью достигнут в работе (11|. Слой располагается между двумя линейными полубесконечными средами без потерь. Предложенный в [11] метод, получивший название метода интегральных дисперсионных уравнений (МИДУ) далее был развит [12, 14, 63] и применен к широкому классу задач о распространении ТЕ-и ТМ-волн в слоях с произвольными нелинейностями. Для ТЕ-волн МИДУ позволяет получать дисперсионное уравнение для произвольных нелинейностей, однако для ТМ-волн есть существенное ограничение. А именно, пусть диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диаго-
ку в силу поляризации этот элемент не входит в изучаемые уравнения. Здесь £/, £д - постоянные составляющие диэлектрических проницаемостей еХХ) егг. Для вывода дисперсионного уравнения используется условие
нальным тензором є = 0 £т 0
И 0 £гг }
и £гг = £д -Ь є0д (|Ех\2 , |£2|2). Вид элемента єу]і здесь не описан, посколь-
= §£# [49], где Ё = (Ех, 0, Ег)т - вектор электрического поля.
8
- Київ+380960830922