Применение группового анализа дифференциальных уравнений к моделям гидродинамики

СОДЕРЖАНИЕ
Введение...........................................................5
Раздел 1. Групповой анализ уравнений двумерных движений идеальной жидкости ............................................44
1.1. Основная группа в эйлеровых координатах .............. 44
1.2. Группа Ли для уравнений в лагранжевых координатах 47
1.3. Система уравнений при нулевой завихренности .......... 52
1.4. Инвариантность начальных условий. Групповая классификация ..................................................... 55
1.5. Система уравнений 3-го порядка. Произвольные лагранжевы координаты ................................................ 58
1.6. Примеры нестационарных точных решений ................ 61
1.6.1. Вихревые движения плоского слоя ................ 61
1.6.2. Птоломеевские течения .......................... 68
Раздел 2. Уравнения плоских движений неоднородной
несжимаемой жидкости.......................................... 71
2.1. Уравнения движения и основная алгебра Ли ............. 71
2.2. Оптимальная система подалгебр первого порядка ........ 75
2.3. Фактор-системы ....................................... 78
2.4. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах ......................................................84
2.5. Точные решения уравнений в эйлеровых координатах ..... 89
2.6. Точные решения уравнений в лагранжевых координатах .. 100 Раздел 3. Плоские движения вязкой несжимаемой жидкости
в переменных скорость-завихренность ......................... 106
3.1. Групповые свойства уравнений в случае постоянной вязкости.................................................. 106
3.2. Оптимальная система подалгебр первого порядка ....... 108
3.3. Построение фактор-систем (i/ = const)................ 110
3.4. Групповая классификация уравнений по функции вязкости, зависящей от времени...................................... 112
3.5. Некоторые точные решения ................:........... 117
2
Раздел 4. Групповой анализ уравнений вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости................. 123
4.1. Уравнения движения и основная алгебра Ли операторов
в эйлеровых координатах .............................. 123
4.2. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функции начального распределения момента импульса ................................................. 126
4.2.1. Групповая классификация в общем случае......... 126
4.2.2. Инвариантность начальных условий .............. 132
4.3. Групповые свойства осесимметричных движений идеальной жидкости ................................................. 135
4.3.1. Уравнения в эйлеровых и лагранжевых координатах 135
4.3.2. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функции завихренности с учетом начальных условий.............................................. 14.0
4.4. Некоторые точные решения ............................ 142
4.4.1. Инвариантные решения в эйлеровых координатах ... 142
4.4.2. Решения в лагранжевых координатах , описывающие движение со свободной границей ....................... 145
Раздел 5. Уравнения вращательно-симметричного движения неоднородной жидкости.....................................\.. 154
5.1. Алгебра Ли операторов уравнений в эйлеровых координатах .............................................. 154
5.2. Оптимальные системы подалгебр ....................... 156
5.2.1. Система первого порядка в\ .................... 156
5.2.2. Система второго порядка 62 .................... 159
5.3. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функциям начального распределения плотности и момента импульса.......................................... 161
5.3.1. Групповая классификация в общем случае......... 161
5.3.2. Инвариантность начальных условий .............. 174
5.4. Примеры точных инвариантных решений.................. 177
5.5. Групповой анализ одного неклассического уравнения 188
3
Раздел 6. Групповой анализ уравнений конвективного движения жидкости при пониженной гравитации ........................ 193
6.1. Построение основной алгебры операторов............. 193
6.2. Оптимальная система подалгебр первого порядка ..... 195
6.3. Оптимальные системы подалгебр второго порядка...... 198
6.4. Построение фактор-систем и решений ................ 201
Раздел 7. Интегрирование уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна ............................................. 208
7.1. Уравнения вращательно-симметрической модели и их групповой анализ ....................................... 209
7.2. Точные решения вращательно-симметрической модели ___212
7.3. Лаграижевы координаты ............................. 218
7.4. Уравнения общей модели и основная алгебра операторов .. 222
7.5. Некоторые точные решения .......................... 224
7.6. Уравнения общей модели в координатах Лагранжа...... 230
Заключение ................................................... 233
Приложение 1 ................................................. 235
Приложение 2 ................................................. 274
Литература ................................................... 281
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы
Групповой анализ дифференциальных уравнений давно стал мощным инструментом исследования нелинейных уравнений и краевых задач. Особенно плодотворно его применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладываются уже при выводе этих уравнений. Как заметил ещё Софус Ли, знание группы преобразований, относительно которых инвариантна система уравнений, помогает в определенных случаях находить некоторые (инвариантные) решении этой системы в явном виде. Ли указал способ вычисления для заданных систем дифференциальных уравнений групп преобразований и привел примеры построения инвариантных решений. Этот метод является одним из очень немногих методов построения точных решений нелинейных уравнений в частных производных безотносительно к их типу и происхождению.
Существенное развитие теория Ли групповых свойств дифференциальных уравнений получила в работах Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, их учеников и последователей /54-57, 44/. Выли изучены групповые свойства ряда уравнений механики и физики. Систематические исследования но применению методов группового анализа к моделям механики сплошной среды были начаты Л.В. Овсянниковым и его школой в конце 50-х годов прошлого столетия В работах JI.B. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова,
B.В. Пухначева, С.В. Хабирова, Ю.Н. Павловского, A.A. Бучнева, В.О. Бы-тева и других авторов впервые были изучены групповые свойства дифференциальных уравнений механики жидкости и газа, а также показано, каким образом эти свойства можно использовать для решения физически важных задач В настоящее время наряду с указанными авторами исследование уравнений механики сплошной среды продолжается В.К. Андреевым, О.В. Капцовым, С.В. Мелешко, С.И. Сенашовым, А.П. Чуиахиным,
C.В. Головиным и др.
Современное развитие получила концепция программы ПОДМОДЕЛИ, которая была предложена Л.В. Овсянниковым в 1991 г. на Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике. Концепция направлена на полное и систематическое изучение групповых свойств различных
моделей механики сплошной среды. Под руководством Л.13. Овсянникова группой исследователей ведется активная работа по реализации этой программы для уравнений газовой динамики. Работа над данным проектом привела к оформлению более четких алгоритмов, используемых в групповом анализе, а также к расширению его теоретической базы. В частности, были обобщены результаты по построению нормализованных оптимальных систем подалгебр.
Уравнения гидродинамики и газовой динамики были первым объектом приложения новых идей и методов группового анализа, развиваемых Л.В. Овсянниковым. Так основная алгебра Ли нестационарной системы уравнений Эйлера в Я3 была вычислена
A.A. Бучневым /34/. Структура этой алгебры изучалась в работе
С.В. Хабирова /84/. Используя свойства инвариантности уравнений Эйлера, Н.Х. Ибрагимов нашел новые законы сохранения /43/. Некоторые инвариантные решения уравнений Эйлера рассматривались в работах Л.В. Овсянникова/55/, В.И. Налимова, В.В. Пухиачева /53/. Групповые свойства и решения уравнения Навье-Стокса исследовались В.О. Бытевым /35/, Л.В. Капитанским /46/, В.В. Пухначевым /60/.
Известно со времен Коши, что некоторые уравнения гидродинамики интегрируются в лагранжевой системе координат. Новая система состоит из меньшего числа уравнений, содержит произвольные функции — начальные данные исходной системы — и может обладать более широкой группой преобразований в смысле Ли. Впервые группа Ли точечных преобразований в лагранжевых координатах была вычислена для уравнений газовой динамики с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами в работе
B.К. Андреева /5/. Уравнение состояния было взято политропным. Задача о движении идеальной жидкости при наличии вращательной симметрии была рассмотрена в /63, 64/. А в /65/ аналогичная задача была решена для неоднородной жидкости. Более полная групповая классификация уравнений Эйлера вращающейся жидкости в лагранжевых координатах получена в работах /12, 13, 15/. Для уравнений плоских течений однородной и неоднородной жидкости в лагранжевых координатах группа Ли вычислена в /14, 15, 16/. Там же построены точные решения, описывающие движения со свободными границами. В указанных работах лагранжевы координаты определялись как декартовы координаты жидкой частицы в начальный момент времени.
6
I
Для одномерных движений газа часто используются массовые лагран-жевы координаты. При этом новая система состоит из такого же числа уравнений, что и исходная система. В работе /41/ найдена группа для уравнений одномерной магнитной гидродинамики в массовых лагранжсвых координатах и построены примеры точш,ix решений. Для системы уравнений газовой динамики с плоскими волнами с учетом теплопроводности и источника (стока) аналогичная задача решена в /36/. Решению задачи групповой классификации для обычных уравнений одномерной газовой динамики, записанной в произвольной системе координат, посвящена работа /38/.
В большой и содержательной работе /29/ развит конструктивный метод построения квазилокальных симметрий, основанный на теории групп Ли-Беклунда. Этот метод, в частности, позволил найти квазилокальные симметрии плоских одномерных движений газа и выявить скрытную симметрию газа Чаплыгина /29, 30, 31/.
Следует также отметить интересную работу /61/, где переход к лагран-жевым массовым координатам применялся для нелинейного уравнения теплопроводности и эволюционных уравнений высших порядков.
Задача о движении идеальной несжимаемой жидкости сводится к отысканию решения уравнений Эйлера
7J7 + - = £(£,*); (0.1)
dt р
^jr + P div^u = 0, (0.2)
dt
где вектор скорости U = (u\,U2, г*з), давление р и плотность р суть искомые функции точки пространства х = (x,y,z) и времени t. В уравнении (0.1) d/dt = d/dt-\- иЧх — оператор полной производной, вектор массовых сил д считается известной функцией от х, t. Индекс при дифференциальных операторах div и V указывает на то, что операции выполняются по переменным х, г/, z.
Уравнения Эйлера (0.1), (0.2) должны удовлетворяться в некоторой области Г2(я), на границе Г которой задаются те или иные граничные условия. Важным в теоретическом и практическом отношении являются задачи, в которых область Q заранее не фиксирована, но известно, что ее граница Г является свободной. Это означает, во-первых, что нормальная составляющая скорости жидкости в точках границы совпадает со скоростью перемещения самой границы в направлении нормали (кинематическое
7
условие). Во-вторых, давление на свободной границе пропорционально ее средней кривизне (динамическое условие).
Если искать уравнение свободной границы в виде Г* : /(ж, £) = 0, то кинематическое и динамическое условия равносильны уравнениям
^ = 0 при / = 0; (0.3)
Р — Ро = 2сг К при / = 0. (0.4)
Здесь а > 0 — коэффициент поверхностного натяжения; К — средняя
кривизна свободной границы (К > 0, если Г выпукла наружу жидкости). Величина 2аК в соответствии с формулой Лапласа есть капиллярное давление. Функция ро(®»0 является заданной и представляет собой внешнее давление. В ряде задач свободная граница составляет часть всей границы области П. При этом на оставшейся части границы Е выполняется условие непротекания
(£-^•712 = 0, (0.5)
где V — скорость Е, а П2 — ее внешняя нормаль.
Кроме граничных условий к уравнениям (0.1), (0.2) следует присоединить начальные условия, которые состоят в задании области По с границей Го, вектора скорости г?о и плотности ро при £ = 0, причем (Ну щ = 0. Таким образом,
и|4=0 = «Ь(*). р\1=а = Ро{х), с1Ь/ггГ0 = 0, ж€ П0- (0.6)
Задача со свободной границей состоит в определении при t > 0 области П* с границей ГI решения й(х, £), р(х, £), р(я, £) системы (0.1), (0.2) в этой области, так чтобы удовлетворялись условия (О.З)-(О.б).
Необходимость поиска области П* усугубляет трудности, и без того присущие задаче интегрирования уравнений Эйлера. Специфика кинематического условия (0.3) позволяет преобразовать эту задачу к другой, в которой область определения решения фиксирована заранее. Последнее достигается переходом к лагранжевым координатам. В случае плоской и вращательной симметрии уравнения движения в переменных Лагранжа имеют вид (1.2.3), (4.2.4) для однородной жидкости и (2.4.3), (5.3.3) для стратифицированной жидкости.
Поскольку для любой гладкой функции /&(?,£) = /(ж(£, £),£), где £ 6 $2о — лагранжевы координаты, имеем дН/дЬ = с1//(11, то уравнение свободной границы Гг в лагранжевых координатах есть просто /г(£) = /о(0 = О
8
(A(Ô = О — уравнение начальной границы Г). Значит, кинематическое условие (0.3) равносильно тому, что точки Г* являются образом точки Г при отображении £ —>• x(Ç,2), £ € Г. Тогда, если Tt построить как образ Г при этом отображении, кинематическое условие (0.3) будет выполнено автоматически. Тем самым задача со свободной границей может рассматриваться как задача отыскания отображения rc(Ç, t) уже в фиксированной области Г2о- Соответствующие системы уравнений для трехмерных движений выведены в работах /49, 51/.
Динамическое условие (0.4) также переписывается в переменных Лагранжа (подробности, см. в /6/):
Р — Ро = 2аК, Г, (0.7)
где К - средняя кривизна свободной границы в лагранжевых координатах.
Замечание 0.1. Если в граничном условии (0.4) = Ро(*)> то преоб-
разование эквивалентности р' = p + Po(t) позволяет считать ро = 0.
Замечание 0.2. Для потенциальных внешних массовых сил (j = Vx/i замена р = р + h приводит к уравнениям Эйлера однородной жидкости (р = const) для функций м, р с g = 0. В этом смысле групповые свойства систем (0.1), (0.2) с g = Vx/i и g = 0 одинаковы для однородных жидкостей. Однако указанная замена не сохраняет динамическое условие (0.4) на свободной границе.
Замечание 0.3. Пусть в (0.1) g = g(t)} тогда преобразования
t г t
dadr, v! = й + J g(a) da, p = p (0.8)
о
являются преобразованиями эквивалентности для (0.1) и в уравнениях можно считать g = 0. Условия на свободной поверхности инвариантны относительно преобразования (0.8). Более того, преобразования (0.8) справедливы для уравнений движения вязких теплопроводных жидкостей при наличии поверхности раздела /25/.
В эйлеровых координатах инвариантные решения для уравнений гидродинамики со свободной границей изучались в работах JI.B. Овсянникова, В.В. Пухначева, В.О. Бытева, С.В. Хабирова, В.М. Меныцикова и других.
Следует отметить, что переход от эйлеровых к лагранжевым координатам — нелокальное преобразование и между группами Ли изучаемых
t' = t,
X
=х+j j sip)
о о
9
уравнений, вообще говоря, не должно быть изоморфизма. Поэтому группу Ли уравнений Эйлера в лагранжевых координатах необходимо вычислять независимо. Кроме того, в случае плоского и вращательно-симметричного движения уравнения Эйлера частично интегрируются. Новые системы состоят из меньшего числа уравнений, содержат произвольные функции, что делает актуальной задачу групповой классификации.
Задача классификации всего класса инвариантных и частично инвариантных решений уравнений гидродинамики ещё не решена. Она является комплексной и включает алгебраические и теоретико-групповые аспекты (построения, с точностью до подобия, всех подгрупп групп симметрий моделей и подмоделей), задачу групповой классификации и исследование фактор-систем. Для изучаемых здесь систем уравнений типична бескопеч-номерность допускаемых алгебр Ли. что сильно затрудняет изучение их структурных свойств.
Диссертация посвящена исследованию качественных свойств некоторых моделей гидродинамики на основе методов группового анализа дифференциальных уравнений.
Метод группового анализа
Дадим краткое описание классических фактов теории группового анализа дифференциальных уравнений, получивших систематическое изложение в работах Л.В. Овсянникова /56/ и Н.Х. Ибрагимова /44/. Представление основных моментов теории приведено для конечномерных пространств.
Локальные группы преобразований. Пусть V — некоторое открытое множество в евклидовом пространстве Ядг точек ж = (ж1,... уХ1^)) а А — открытый шар в г-мерном евклидовом пространстве Яг с центром в точке 0. Рассматриваются гладкие отображения
2^: КхД -»Я*,
(0.9)
которые обладают следующими свойствами:
1) /(ж, 0) = ж для любого ж € Я1*]
2) /(/(т, а), Ь) = /(ж, Ь)) для любых а, Ь из некоторого открытого шара А' С А, х е V. Отображение (р : А' х А' -> А определяет закон умножения преобразований (0.9);
3) если а 6 А и /(ж, а) = х для всех х € V, то а = 0;
4) /6 С™{У х А).
(0.10)
10
Координаты точки а = (а1,... ,а') из Д играют роль параметров преобразований ((0.9). Для отображения ср выполняются аксиомы:
1) <р(а, 0) = ip(0, а) = а для любого а G Д';
2) <р(<р(а,Ъ),с) = <р(а,(р(Ь9с) для любых а, Ь, с G Д', для которых <Да, b) G Д' и <р(6, с) G Д';
3) v? е С°°{А' х Д').
Множество G, всех преобразований (0.9), удовлетворяющих свойствам(0.2), называется локальной г-параметрической группой Ли локальных преобразований пространства RNt или просто группой Gr. Каждое преобразование fa G Gr, a G Д, в координатной записи имеет вид
fa : х'1 = /'(ж,a), ï = (0.11)
При г = 1 локальная группа Ли называется однопараметрической группой преобразований и обозначается через Gj. В дальнейшем это обозначение будет часто использоваться.
Касательное векторное поле. Для отображения / из группы G\ фиксируем точку х G V. Тогда отображение fx : Д —> RN определяет некоторую кривую /ДД) в RN, заданную параметрическим уравнением х' — /Да) = f(x, a), a G Д, и проходящую через точку ж. Кривая /ДД) называется орбитой точки т, или Gi-орбитой.
Вектор f, построенный по формуле
да
= daf(x,0), (0.12)
а=0
является касательным вектором к орбите /ДД) в точке я. Формула (0.12) определяет касательное векторное поле £ : V —> RN группы
Тесная связь между группой и ее касательным нолем устанавливает Теорема Ли. Пусть дано гладкое векторное поле £ : V -> Я^. Тогда отобрао/сение /, построенное как решение задачи Коши
!=?(/), /и=*. (о.1з)
порождает локальную однопараметрическую группу Ли Gl. Обратно, если для группы. орбита точки х является интегральной кривой уравнения Ли (0.13), то векторное поле £ является касательным векторным полем группы С\.
11
Уравнение Ли — основное в групповом анализе и устанавливает взаимно однозначное соответствие с точностью до произвольного ненулевого числового множителя между группой и ее касательным векторным полем.
В координатной записи уравнение (0.13) принимает вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений
/'(*, 0) = *•', г=1,...,ЛГ,
где £*(ж!,..., х**) — координаты векторного поля £ = (£*,..., £Л) в точке х.
Если для каждой однопараметрической подгруппы группы (7Г построить соответствующее касательное векторное поле, то эти поля образуют г-мерное векторное пространстве Ьг.
Инфипитезимальный оператор. Пусть / : V х А —у Ял есть отображение, порождающее группу б?г. Рассмотрим дифференцируемое отображение Я : ЯА —>• Ям на (?1-орбите точки х Е V С В?*. Изменение значений Я в точке а = 0 дается формулой
№(/(®, а))|а=0 = да/(х, 0)&Г = (£ • д)Р(х) (0.14)
и называется производной Ли отображения Я относительно группы <7ь
Линейный дифференциальный оператор £ • д, действующий на отображение Я по формуле (0.14), обозначается символом X и в координатной записи имеет вид
Оператор X называется инфииитезимальным оператором группы в\. Координаты £* касательного векторного поля £ = (£1,...,£*л/) называются также координатами инфипитезимальпого оператора £ • д.
Взаимно однозначное соответствие между группой б?1 и касательным векторным полем £, между касательным полем £ и оператором X приводит к взаимно однозначному соответствию между группой и оператором X (б?1 <-> X). Иифинитезимальный оператор считается определенным с точностью до произвольного ненулевого числового множителя.
Алгебра Ли операторов. Векторное пространство Ь, в котором задан билинейный закон умножения [а, 6], называемый коммутатором элементов а, Ь 6 удовлетворяющий свойству антисимметричности [а, Ь] = —[6, а] и тождеству Якоби [[а, 6], с] 4- [[6, с], ^ 4- [[с, а], 6] = 0, называется алгеброй Ли.
12
Рассмотрим г-параметрическую группу преобразований (0.9) и соответствующее ей г-мерное векторное пространство Ьт касательных векторов. Коммутатором векторных полей £1} £2 £ называется векторное поле, обозначаемое символом [£1, £2] и определяемое формулой
[6,6] = (6 • 0)6 - (6 • 0)6 = 6Й - 66. (о-15)
гДе £ь £2 — производные отображений £1, £2 : -ЯДГ • Векторное про-
странство Ьт является алгеброй Ли относительно умножения (0.15).
Для соответствующих инфинитезимальных операторов Х\ = £1 ■ д = = £| • ди Х2 = $2 • д = ££ * Фг задается оператор [Х\, Х2], называемый коммутатором операторов X1, Х2, и выражается формулой
[хг,х2] = - х2хг = [£ь &}-д = (ХДЙ) - х2(й))$. (0.16)
Итак, закон умножения (0.16) определяет понятие алгебры Ли Ьт инфинитезимальных операторов. Каждой группе (7Г устанавливается взаимно однозначно алгебра векторных полей £ и операторов X (£г <-» Ьг). В качестве базиса алгебры Ьт операторов можно взять операторы
-Хо = &(*)$. а = 1,...,г,
которые образуют замкнутую систему относительно операции коммутации.
Размерностью алгебры Ли операторов Ь называется размерность Ь как векторного пространства.
Алгебра Ли Ь называется коммутативной, если [£ъ£2] = 0 для любых ?2 € Ь.
Подпространство Ь' С Ь называется подалгеброй в 1, если [£ъ£2] € V для любых £1, £2 6 V.
Подалгебра Ли V С Ь называется идеалом, если для любых £' 6 £/ и £ £ £ коммутатор [£',£] 6 I/.
Вещественные постоянные С)кт, определяемые выражением
[X,, Яш] = X,, Хт, Хк 6 ь,
называются структурными константами алгебры операторов Ь.
Инвариантные многообразия. Переход от группы 67Г к соответствующей алгебре Ли Ь связан с изучением инвариантности свойств различных объектов. Отображение Р : -¥ IIм свойств называется инвариантом
13
группы Gr преобразований (0.9) в RN, если F(x) является неподвижным элементом на (7г-орбите каждой точки х Е RN, т. е. F(f{x, а)) = F{x).
Имеет место критерий инвариантов. Отображение F : RN —> RM, F -f. const, класса Cl(RN) является инвариантом группы Gr, если и только если для любого х Е RN выполнена система дифференциальных уравнений
X*F(x) = (£ • di)F(x) = 0, а = 1,... ,г, (0.17)
где Q, г = 1,..., N} — координаты базисных векторных полей алгебры Ли группы Gr.
Число решений уравнения (0.17) определяется величиной
„ Й --- €Г
г* (О = rank [&(*)] = rank
е ... е
N
(0.18)
Если г* < Аг, то система (0.17) имеет (IV — г*) функционально независимых решений, которые образуют базис инвариантов группы Gr. При г* = N группа Gr не имеет инвариантов и называется транзитивной. Многообразие Ф С RN, заданное уравнениями
■ф(х) = 0, ■ф=(ф1,...,ф3), (0.19)
называется инвариантным многообразием группы Gr, если для любого хЕФ и для любого преобразования fa€Gr следует, что /а(х) = /(х,а) Е Ф, другими словами, орбита любой точки х Е Ф содержится в Ф.
Многообразие Ф, регулярно заданное уравнениями (0.19) (т. е. rank Ф = = N — 5), инвариантно относительно группы Gr, если и только если
ХаГ(х) = (£а-д)Г(х) = о, O' = 1,... ,7*, (7=1,..., 5, (0.20)
для всех точек этого многообразия.
Многообразие Ф С называется неособым многообразием (отиоси-телыю группы G>), если г* (£ |ф) = г*(£). Если г*(£|ф) < г*(£), то многообразие Ф называется особым.
Пусть r*(f) постоянен в некоторой окрестности неособого многообразия Ф и меньше N. Пусть Ji(x),..., Jpj-r(x) — базис инвариантов группы GT. Тогда задание инвариантного многообразия Ф группы Gr уравнением (0.19) может быть реализовано в виде
= (0.21)
14
Так как <Зг-орбита содержится в Ф для любой точки х € Ф, то г, < N — 6*. Рангом многообразия Ф С Я1У относительно группы 6?г называется ранг его орбиты /(Ф,Д) и обозначается символом /?(Ф,£Г). Уравнение (0.21) представляет (ТУ — я)-мерное многообразие Ф С как многообразие размерности р = Аг — 5 — г* в пространстве инвариантов .7Ь ..., «7}у-г.*
Для многообразия Ф С Ям (Зг-орбита является минимальным инвариантным относительно Сг многообразием, содержащим Ф как подмногообразие. Дефектом многообразия Ф С ЯА относительно группы С?г называется число
<5(Ф, £г) = сНт/(Ф, Д) — сНтФ. (0.22)
Число £ дает количественную характеристику того, насколько не инвариантным является Ф относительно группы £г. Инвариантные многообразия характеризуются условием 5 = 0. Дефект многообразия, заданного уравнением (0.19), равен
6 = гапк
дх1
где {£а} — базис векторных нолей операторов группы £г.
Ранг (IV — $)-мерного многообразия, имеющего дефект 6, равен
р = М -з-г, +5, (0.23)
причем 6 может принимать любые целые значения, удовлетворяющие условиям
тах{7** — ./V 6-, 0} ^ 6 ^ тт{г*, 5 — 1}. (0.24)
Продолжение группы и оператора. Одним из наиболее существенных приложений теории групп Ли является их использование в общей теории дифференциальных уравнений.
Пусть участвующие в рассмотрении, переменные подразделяются на независимые х = (ж1,..., хп) Е Яп и зависимые и = (и1,..., и7П) Е Ят переменные. Рассмотрим однопараметрическую группу й\ преобразований
хЛ = /*(х,и,а), /‘|а=0 = я‘, г = 1,... ,п,
и'а = да(х,и,а), 9а\а^0 = иа, а = 1,...,т,
в пространстве Яп+т переменных х} /, да Е С°°(Яп+т' х Д). Оператор группы С1 в этом случае имеет вид
Г\ г\
X = £дх + иди = £* (®, и)—{ + *?а(я, и)— I (°-26)
15
где С = да/г(х,и,0), Vа = дада(х,и,0).
Оператором полного дифференцирования по переменной хг называется дифференциальный оператор вида
°і = £і+и?І + у?Щ+-+ + ■ ■ ■ (а27)
Каждое отображение и : Яп —> Ят класса С°°(ЯП) продолжается до отображений и : 1{п —> #пт,...,и : В,п —>• В,п т. Это отображение осу-
ществляется с помощью операторов дифференцирования дк, действующих по формуле
дк(иа)
г о* і ( д (и
а = 1,... ,т; іи... = 1,... ,п >, А: = 1,2, —
.дхХк
Для образований (0.25) определяется к-е продолжение преобразований
(х,и,и,...,и)‘ = (/,5,
1 к 1 к
где отображения у = у(х, и,и,... ,и),1 — 1,..., к, в более подробной записи имеют вид
= у •••>«>«), у |о=0 = <■..«> 1 = !> • • •>к- (°-28)
Отображения V находятся из рекуррентных формул
*•!>/ = 00, = 1 = 2,...,к,
II I II м-1
где О = дх + и -ди, £> = д Б +и- д — усеченные операторы полного диф-/ I I 1-111
ференцирования (0.45), оператор дифференцирования О следует понимать как вектор с координатами
ди?1- Л‘ = ‘
В результате получается однопараметрическая группа £1 преобразований
к
(0.25)), (0.46), которая называется к-м продолжением группы Касательный вектор (, продолженной группы Сп записывается так:
£
С =(£>*?> ?>•••>?)•
к 1 к
16
Все компоненты V (I — 1,,к) выражаются через у с помощью формул продолжения векторного ПОЛЯ £ =
V = DV-u-D€, 1= ^7 = 77* (0.29)
/ / /-1 I I о 4 '
В частности, ??f = Di(rja) — и? Di(&), здесь
д д
Продолженным оператором, или к-м продолжением оператора (0.44), называется оператор
X = C-d = €-<9a: + 7?*du + 77-d+... + r?-d. (0.30)
к к 11 к к
Дифференциальным, инвариантом порядка к группы G\ называется инвариант группы G ь зависящий от вектора и. В силу критерия (0.17) все
дифференциальные инварианты F группы Gi порядка не выше чем к являются решением дифференциального уравнения
XF = (C^)F(x,^,tfc,...,u) = 0, к к 1 к
в котором X — продолженный оператор (0.48). fc
Определяющие уравнения. Пусть в пространстве переменных
(я,иуи,..., и), где х 6 Rn> и 6 Ят, I = 1,..., ку — продолженные отобра-1 к I
жения, рассматривается многообразие Е, заданное уравнениями в частных производных
e(xiu}u1... ,и) = 0, е = (е1,... ,е5) 6 R$. (0.31)
1 fc
Многообразие Е называется дифференциальным инвариантным многообразием группы G\y определяемой преобразованиями (0.25), если оно является инвариантным многообразием группы G ь
к
Задача об отыскании всех групп G\, допускаемых системой Е, рассматривается в предположении, что отображение е принадлежит классу С°° своих аргументов, а многообразие Е задано уравнением (0.49) регулярно. В этом случае может быть применен критерий инвариантности (0.20)
17
многообразия Е относительно преобразования группы С?1. Он дает необхо-димые и достаточные условия инвариантности Е относительно С\
Хе{х,и,и,...,и)\Е = 0. (0.32)
к I к
Условие (0.32) рассматривается как уравнение относительно неизвестного векторного поля С = (£,77). Из формул (0.47), (0.48) следует, что (0.32) есть система линейных однородных дифференциальных уравнений относительно координат £(т,гх), 77(х,и) оператора X (0.44). Величины х,и, и,... , гг в (0.32) играют роль независимых переменных, связан-
1 Аг
ных только соотношениями (0.49). Переход на многообразие Е в (0.32)
связан с тем, что в (0.49) выбирается 5 различных координат вектора
(а,...,и), относительно которых уравнения могут быть “алгебраически” 1 к
решены, с дальнейшей подстановкой в (0.32). Условие (0.32) должно выполняться по всем “свободным” переменным. Это приводит к тому, что уравнения (0.32) реализуются как переопределенная система дифференциальных уравнений относительно £, 77.
Уравнения (0.32) называются определяюгцилш и обозначаются символом ЭЕ. Множество всех решений £ = (£,77) уравнений (0.32) образует алгебру Ли, а соответствующая этой алгебре локальная группа Ли представляет наиболее широкую группу преобразований пространства Яп+т. допускаемую системой (0.49).
Инвариантные и частично инвариантные решения. Пусть 6> — максимальная группа, допускаемая уравнениями Е из (0.49). Каждое решение уравнения Е есть отображение В,71 —> Н7П. Множество всех решений класса СО0(Уг) на открытом множестве V С Яп обозначим символом БЕ. Фундаментальное свойство уравнения Е состоит в том, что под действием любого преобразования из Сг каждое решение и € ЯЕ преобразуется в решение того же уравнения Е.
Всякое решение и = и(х) можно трактовать как тг-мерное многообразие 11 в (п-{-га)-мерном пространстве переменных (х7и), заданное уравнением
и : и — и(х) = 0. (0.33)
Если уравнение Е допускает группу (?г, то оно допускает и любую подгруппу Н С С7Г. Решение и 6 ЯЕ называется инвариантным Н-решением уравнения Е, если соответствующее ему многообразие и С Яп+т является инвариантным многообразием группы Н.
18
Пусть 7\ = г*(С) — общий ранг касательного отображения С группы Я. Решение и уравнения Е будет неособым по отношению к группе Я, если ранг г* сохраняется на многообразии V, т. е. 7% = (£|^) = г*. Предполагаем, что и — нсособое многообразие относительно Я.
Алгоритм построения инвариантных решений уравнения Е включает в себя несколько этапов:
а) пусть Я — г-параметрическая группа, {(£<*, г?а), а = 1,...,г} — базис алгебры Ли этой группы. Предположим, что г* = (£а>?7а) < п (0.18). Выбираем базис инвариантов группы Я
?х),..., .7пмт-Гш (ж, и); (0.34)
б) проверяется необходимое условие существования неособых инвариантных Я-решений уравнения Е, а именно:
г* ^ тг, г* = (С) = г*; (0.35)
в) согласно (0.21) неособые инвариантные решения (0.33) ищутся в виде
Фв(7Ь • • •, Л+т-г.) = 0, а = 1,..., т. (0.36)
Для того чтобы многообразие (0.36) можно было записать в разрешенном виде (0.33), инварианты (0.34) должны быть независимы по отношению к переменным и, т. е.
ад
rank ——г = га, (0.37)
оик
что является следствием (0.35). За новые “искомые функции” принимаются га инвариантов, удовлетворяющих (0.37), а.оставшиеся (гг—г+) инвариантов принимаются за “независимые переменные”;
г) для любой группы Я, допускаемой системой Е и удовлетворяющей условиям (0.35), определяется преобразование системы Е в фактор-систему Е/Н. Фактор-система Е/Я обладает важным свойством: ее “искомые функции” зависят от меньшего, чем в исходной системе, числа “независимых переменных”.
Число р = п—г* называется рангом инвариантных решений. Если р = 0, то фактор-система Е/Н является системой конечных (не дифференциальных) уравнений, если р = 1, то системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
19
Отметим, что существование инвариантных Я-решений не гарантируется фактор-системой Е/Н.
Построение частично инвариантных решений расширяет возможности дальнейшего поиска частных решений дифференциальных уравнений.
Решение и £ БЕ называется частично инвариантным Н-решением уравнения Е, заданного (0.49), если многообразие-решение II является частично инвариантным многообразием группы Я, допускаемой уравнением Е.
Согласно (0.22), (0.23) многообразие II характеризуется двумя целочисленными величинами, а именно рангом р = р(Я, Я) и дефектом 6 = 6(11. Я) соответствующего частично инвариантного решения.
Необходимым условием существования . частично инвариантных Я-решений ранга р < п — 1 являются неравенства на дефект 6
тах{г* — п,0} ^ 6 < тт{г* — 1,т — 1},
причем т — 6 тпк\\д^/дик\\, где {,//} — базис инвариантов группы Я.
Алгоритм построения частично инвариантных решений аналогичен алгоритму построения инвариантных решений.
Групповая классификация. Большую роль в прикладных вопросах играет задача групповой классификации дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения часто содержат некоторый произвол, выражающийся в зависимости уравнений от параметров или функций (от произвольного элемента). Групповой подход позволяет принять требование на выбор произвольного элемента, чтобы при соответствующем выборе этого элемента моделирующее дифференциальное уравнение допускало группу с определенными свойствами или наиболее широкую группу преобразований.
Пусть определено отображение 6 : Яп х Я7" —У Я1, действующее но формуле £ = 9(х,и). Уравнение вида
е(в,г) = £(в(х,и),х,и,и...«) = 0, ? = (х, и, и,(0.38)
к 1 к к 1 к
где е = (е1,... ,е3) Е Я5, называется уравнением с произвольным элементом 0 и обозначается символом Е(9).
При исследовании (0.38), во-первых, надо привести уравнение к возможно более простому виду, т. е. за счет преобразования подобия (см. /56, с. 76/) уменьшить произвол, содержащийся в системе Е(9). На практике
20
предварительное упрощение уравнения за счет подходящего преобразования подобия есть не что иное, как классическая “замена переменных”, которая не влияет на групповые свойства дифференциальных уравнений.
Во-вторых, для задачи групповой классификации существенно определение таких преобразований, которые действуют только на произвольный элемент О, сохраняя структуру дифференциальной системы Е(0). Такие преобразования называются преобразованиями эквивалентности. Они образуют группу б?(£).
Отыскание преобразований эквивалентности для уравнения Е(Ь)\ е(1,г) — 0 осуществляется из условия инвариантности (0.32) многообразия Е(£), считая £ независимым элементом:
есть оператор какой-либо группы из С(£).
Пусть С (в) — основная группа уравнения Е(0), заданного равенством (0.38). Группа С?0, равная пересечению всех групп 0(0), когда 0 пробегает множество всех отображений Яп х Ят —> Я1, называется ядром основной группы. Группа б?° допускается уравнением Е(0) с любым произвольным элементом 0. Каждая группа 0(0) является расширением группы б?°, £° С 0(0). Ядро основной группы б?° содержится в группе эквивалентности б7(£).
Каждое конкретное отображение 0 : Яп х Ят —> Я! называется специализацией произвольного элемента.
Задача групповой классификации состоит в следующем: для класса дифференциальных уравнений Е(0) найти ядро основной группы б?0 и все специализации произвольного элемента 0, дающие расширение группы б?°.
Описание процесса решения задачи классификаг^ии.
1. Строится условие инвариантности уравнения Е(0) относительно группы 0\ с касательным вектором С = (£, 7/):
(т-д^Е м,г) + е(м) =0- (0.39)
\ к/ \ к/]
г • дг + С ‘д = т • д1 + £ • дх + г) • ди 4- V • д + .. • + г/ • д
Здесь
к
1 1
А- к
т
= 0, (0.40)
21
которое расщепляется относительно “свободных” координат векторов и}... ,и и приводит к определяющим уравнениям ПЕ(д).
1 к
2. Предположение о произвольности в (и производных дв) в определяющих уравнениях ИЕ(0) дает дальнейшее расщепление уравнений. Множество решений в образует пространство векторных нолей Ь°} которое соответствует ядру основной группы б?°. Пространство Ь° задастся указанием его базиса.
3. Далее решается система определяющих уравнений ОЕ(в), которая является переопределенной. При разрешении условий совместности системы ВЕ(в) возникают уравнения, содержащие только произвольный элемент в. Эти уравнения называются классифицирующими. Для каждого в, удовлетворяющего классифицирующим уравнениям, получается некоторое пространство Ь{9) векторных полей, касательных к группам Сь которые допускают уравнения Е{в). Каждое пространство Ь(в) содержит Ь° и задается базисными векторами, дополняющими Ь°.
4. Классификация получаемых решений уравнений ОЕ(6) выполняется по признаку эквивалентности относительно действия группы С7(£), которая строится предварительно. Из каждого класса эквивалентных решений отбирается их типичный представитель, имеющий наиболее простой аналитический вид.
5. Итогом решения задачи групповой классификации уравнений Е(в) является таблица выбранных представителей элемента в(х,и) и соответствующих пространств векторных полей Ь(0), представленных в виде базисных операторов.
Оптимальные системы подалгебр. Пусть Ь — конечномерная алгебра Ли. Каждому элементу г\ Е Ь соответствует линейное отображение ад{р) : 1у Ь, действующее но формуле
еч(£) = ас1(г)){£) = [£, т]\ (0.41)
для любого £ Е Ь.
Отображение ад(г]) задает семейство £ векторных полей и называется присоединенным к г} отображением, или внутренним дифференцированием алгебры Ли Ь.
Совокупность £ всех внутренних дифференцирований является алгеброй Ли с коммутатором [а^(С), ск1(г])\ = ас/([С,г/]) и называется присоединенной алгеброй алгебры Ли Ь. Присоединенная алгебра £ изоморфна ал-
22
гсбре Ли Ь.
Алгебру Ли 8 можно рассматривать как алгебру Ли операторов, вводя вместо векторных полей а(1{г]) операторы вида
11о теореме Ли каждому векторному полю Є £ соответствует однопараметрическая группа Сі(ег?) преобразований пространства Ь. Производящее отображение этой группы определяется задачей = [£', г}\, £' 4_0 = £. Оно обозначается символом Ап(і) и действует по формуле
и называются внутренними автоморфизмами алгебры Ли Ь.
Внутренним автоморфизмом группы (2 называется преобразование, определяемое формулой д' = Ь,адЬ,~А > На € (?.
Группа преобразований пространства £, порожденная преобразованиями ДД4), принадлежащими всевозможным группам б?1(ег;), является группой внутренних автоморфизмов алгебры Ли Ь и обозначается IпЬЬ.
Пусть {Х\,..., Хг} — базис операторов в Ьг со структурными константами Если в этом базисе положить X = х^Х^ где х = (ж1,... ,яг) — вектор координат элемента X, то согласно (0.41) внутреннее дифференцирование в £* запишется через структурные константы:
Соотношение коммутации для векторных полей Єі определяется теми же структурными константами С^. Следовательно, векторное пространство £ элементов е,- наделяется структурой алгебры Ли, изоморфной Ьг. Инфи-нитезимальные операторы (0.42) в этом случае строятся по правилу
и задают базис операторов Ли группы внутренних автоморфизмов IпЬЬг.
Операторы А{ определяют группу линейных преобразований, действующих в пространстве векторов х = (ж1,..., хг), координат операторов X и сохраняющих структуру алгебры Ли Ьг.
еч(0 • д = ШІМ(0 ■ д = К, /?] • д.
(0.42)
(0.43)
Єі(Х) = [X, Х{] = <%х*Хк, і = 1,.... г.
Аі = Сух’дхк, і = 1,..., г,
23
Пусть С 1(е;) — однопараметрическая группа, порожденная оператором Автоморфизмы Аг(Ь) Е б?1(е1) представляются матрицей Лг(£) и действуют по формуле, равносильной (0.43),
х,г = А\{1) х\ г = 1,...,г.
Две подалгебры N и алгебры Ли Ьг называются подобными, если существует внутренний автоморфизм А Е 1пЬАг такой, что А{М) = М. Тем самым все подалгебры данной алгебры Ли разбиваются на классы неподобных подалгебр. Для группового анализа дифференциальных уравнений существенна задача о перечислении всех подалгебр данной алгебры Ьг.
Совокупность представителей классов подобных подалгебр данной размерности 5 называется оптимальной системой (порядка в) и обозначается символом в3.
Итогом решения задачи перечисления всех неподобных подалгебр алгебры Ьг должна быть таблица оптимальных систем в8 (в = 1,... ,г — 1).
При решении поставленной задачи можно считать известной группу 11й£г, которая строится предварительно.
Две подгруппы Я и Н' группы СТ подобны, если существует такой внутренний автоморфизм группы Сг, который переводит Н в Я'. Учитывая соответствие между подгруппами группы Ли и подалгебрами ее алгебры Ли, можно считать задачу построения оптимальной системы подгрупп группы Сг решенной, если решена задача построения оптимальной системы подалгебр алгебры Ли.
Построение оптимальной системы как правило, осуществляется простым подбором подходящих преобразований из '[пЬЬг с целыо добиться максимально возможного упрощения набора (ж71,..., х'г) координат вектора х'.
При построении оптимальной системы в^ (к > 1) более высокого порядка можно предполагать, что оптимальная система вь получается путем расширения элементов из до ^-мерной подалгебры (с последующим исключением подобных подалгебр).
К вопросу построения оптимальных систем в3 непосредственно примыкает задача построения существенно различных инвариантных решений для системы уравнений.
Решения щ, и2 Е БЕ называются существенно различными (относительно группы (3), если в б? нет преобразования, которое переводит одно решение в другое.
24
Известно, что каждое инвариантное Я-решение под действием любого преобразования из (7 переходит в инвариантное решение подобной подгруппы с сохранением ранга решения. Поэтому существенно различные инвариантные решения получаются относительно неподобных подгрупп.
Имеет место следующая схема построения оптимальной системы инвариантных Я-решениЙ уравнения Е:
а) требуется найти все оптимальные системы 08 (5 = 1,..., т — 1);
б) из всех подгрупп (подалгебр) надо отобрать те подгруппы Я, для которых выполнены необходимые условия существования инвариантных Я-решений;
в) для каждой из выбранных подгрупп определить вид инвариантного Я-решения и построить фактор-систему Е/II.
Цель работы
Групповой анализ и групповая классификация уравнений однородной и неоднородной идеальной жидкости в лагранжевых координатах при наличии плоской и вращательной симметрии, уравнений вязкой жидкости в терминах скорость - завихренность, когда вязкость есть функция времени, уравнений микроконвекции и уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна, построение оптимальных систем подалгебр, а также нахождение новых точных решений и их физическая интерпретации.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются оригинальными как в теоретическом, так и в практическом аспектах. Найдено преобразование эквивалентности, которое исключает из рассмотрения в уравнениях движения зависящие от времени внешние силы, однако оставляющее инвариантными условия на свободной границе. Впервые предпринято системное изучение групповых свойств уравнений идеальной однородной и неоднородной жидкости при наличии плоской и вращательной симметрии в лагранжевых координатах. Проведен групповой анализ уравнений новой модели конвекции и гидродинамической модели глаза тайфуна. Найдены классы новых точных решений указанных моделей гидродинамики.
25
Теоретическая и практическая значимость результатов
Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что:
— проведен групповой анализ уравнений гидродинамики в координатах Эйлера при наличии плоской и вращательной симметрии для однородной и неоднородной жидкости, уравнений новой модели микроконвекции и уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна;
— построены оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков;
— решена задача групповой классификации уравнений плоских движений вязкой несжимаемой жидкости в переменных скорость-завихренность, когда коэффициент вязкости зависит от времени. Для каждого случая специализации вязкости найдена основная алгебра Ли базисных операторов и построены оптимальные системы подалгебр первого порядка;
— решена задача групповой классификации уравнений в лагранжевых координатах при наличии плоской и вращательной симметрии для однородной и неоднородной жидкости, а также для уравнений с осевой симметрией. Установлено, что уравнения в лагранжевых координатах обладают более широкой группой преобразований, чем уравнения в координатах Эйлера;
— доказано, что в лагранжевых координатах система уравнений модели глаза тайфуна интегрируется полностью (при вращательной симметрии) и частично (для общей модели);
— для всех рассматриваемых систем уравнений построен ряд новых (или обобщающих известные) точных решений, имеющих физическую-интерпретацию, описывающих нестационарные вихревые движения жидкости со свободными или твердыми границами;
— найденные новые симметрии существенно расширяют знания о качественных свойствах уравнений гидродинамики, а построенные точные решения могут быть использованы как модельные, например - при сравнительном анализе численных методов.
26
Апробация работы
Результаты по теме диссертации были доложены на:
- VI Всесоюзной конференции “Качественная теория дифференциальных уравнений” (Иркутск, 1986);
- Всесоюзной конференции “Герценовские чтения” (Ленинград, 1987);
- международной конференции “Лаврентьевские чтения” (Новосибирск, 1990);
- международной конференции “Современный групповой анализ” (Баку, 1988; Уфа, 1991; Нижний Новгород, 1992);
- III Международной конференции но алгебре (Красноярск, 1993);
- Всесоюзной конференции “Современный групповой анализ и задачи математического моделирования” (Саратов, 1993);
- международной конференции “Classical and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces” (Москва, 1994);
- международной конференции “2nd European Fluid Mechanics Conference” (Варшава, 1994);
- международной конференции “Математические модели и численные методы МСС” (Новосибирск, 1996);
- Сибирском конгрессе “ИНПРИМ-96”, “ИНПРИМ-2000” (Новосибирск, 1996, 2000);
- международной конференции “Математические модели и методы их исследования” (Красноярск, 1997, 2001);
- международной конференции “Симметрия в естествознании” (Красноярск, 1998);
- международной конференции “Симметрия и дифференциальные уравнения” (Красноярск, 2000, 2002);
- международной конференции “RDAMM-2001” (Новосибирск, 2001);
- Всероссийской конференции “Новые математические модели в. механике сплошных сред: построение и изучение” (Новосибирск, 2004);
- международной конференции “Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике” (Новосибирск, 2005);
- IV Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2006);
27