Нормальность замыканий орбит максимального тора

Оглавление
Введение 4
Проблема нормальности для замыканий орбит.................. 4
Результаты................................................. 9
Благодарности...................................... . . . 16
1 Сверхнасыщенность и унимодулярные множества 17
1.1 Основной результат.........................................17
1.2 Нормальность замыканий орбит тора..........................19
1.3 Весовое разложение простого модуля ........................20
1.4 Свойства ненасыщенных множеств.............................23
1.5 Унимодулярные и почти унимодулярные
множества..................................................25
1.6 2-унимодулярные множества..................................28
1.7 Другие методы проверки насыщенности........................30
2 Система корней Лп 33
2.1 Положительные результаты...................................34
2.2 Отрицательные результаты...................................41
2.2.1 Фундаментальные веса................................ 42
2.2.2 Веса, не являющиеся фундаментальными.................51
3 Другие классические системы корней 60
2
3.1 Система корней Вп..........................................60
3.1.1 Положительные результаты...............................61
3.1.2 Несколько отрицательных результатов....................62
3.1.3 Редукция к разобранным случаям.........................62
3.2 Система корней Сп..........................................64
3.2.1 Положительные результаты...............................64
3.2.2 Несколько отрицательных результатов....................65
3.2.3 Редукция к разобранным случаям.........................66
3.3 Система корней Д4..........................................68
3.3.1 Координаты всех весов целые............................69
3.3.2 Координаты, большие единицы............................71
3.3.3 Координаты, меньшие единицы............................72
4 Исключительные системы корней 81
4.1................................................Система корней Е&..............................................81
4.2................................................Система корней E^..............................................84
4.3.................................................Система корней Д...............................................87
4.4................................................Система корней F4..............................................91
4.5 Система корней ...............................................92
3
Введение
Диссертация посвящена проблеме нормальности замыканий орбит максимального тора в рациональных модулях простых алгебраических групп.
Проблема нормальности для замыканий орбит
Пусть С — аффинная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем к характеристики ноль, действующая на некотором аффинном алгебраическом многообразии. Напомним, что неприводимое аффинное алгебраическое многообразие X называется нормальным, если алгебра регулярных функций к[Х] целозамкнута в своём поле частных. Вопрос о нормальности замыканий орбит имеет долгую историю. Первые результаты были получены Б. Костантом [19]. Он показал, что для редуктивной С нуль-конус в присоединённом модуле нормален. X. Крафт и К. Прочези [21] доказали, что в присоединённом модуле £>1(п) замыкания всех 5Цп)-орбит нормальны. В положительной характеристике аналогичный результат для ЭЦп) был установлен С. Донкиным [15]. Позже X. Крафт и К. Прочези [22] и Э. Соммерс [29] изучили тот же вопрос для присоединённых модулей других классических групп. В частности, в [22] на языке диаграмм Юнга указаны орбиты с ненормальными замыканиями. Случаи Р4, С-2, Ев разобраны А. Броером, X. Крафтом и Э. Соммерсом в [9], [20] и [28]. Для Е7 и Ь’з полного ответа ещё нет.
Перейдём к действиям алгебраического тора Т, то есть аффинной алгеб-
рі
раической группы, изоморфной кх х...хкх, где кх = к\{0}. Неприводимое алгебраическое многообразие X называемся торическгшесли оно нормально и допускает регулярное действие Т с открытой орбитой. Торические многообразия играют важную роль в алгебраической геометрии, топологии и комбинаторике, так как они полностью описываются в терминах выпуклой геометрии, см. [12] или 116]. Если задано действие алгебраического тора Т на многообразии У, то замыкание орбиты X = Ту точки у е У является естественным кандидатом в торические многообразия. Чтобы проверить это, достаточно убедиться, что X нормально.
Возьмём в качестве У рациональный Т-модуль V’. Обозначим через А = Л(Т) решётку характеров тора Т. Относительно действия Г модуль V может быть диагонализован:
у = 0^‘. гДе у„ = {V € V I(V = рфу VI £Т}.
/1Е А
Обозначим через М{У) = {// € А | У/х Ф 0} множество весов модуля V. С каждым ненулевым вектором V связано весовое разложение
V = + • . . + V,,,, V,,, € У*, V, ф 0.
Обозначим через М(у) множество весов {щ,..., /л£}. Этими весами можно породить полугруппу • • •» подрешётку ..., ц$) и рациональ-
ный полиэдральный конус <0^о(Мь • - • > Р*) в пространстве ЛQ := А (0-
Определение (Определение 1.2). Множество точек {/гь ... ,//4.} с О)71 называется насыщенным, если
2>о(мь- • = ^(д1,..., /*.,) П (ЬоО*ь ■ • • ,/аО-
Множество точек .,дЛ} С называется сверхнасыщенным, если все
его подмножества насыщенны.
5
В [18, 1, §1, Lemma 1| доказано, что замыкание Tv Г-орбиты вектора v нормально тогда и только тогда, когда множество М(у) насыщенно. Этот комбинаторный критерий играет ключевую роль в диссертации.
Вопрос о нормальности замыканий орбит для проективных Т-действий также изучался в литературе. Пусть X(v) — замыкание Т-орбиты V[vj точки М £ IP(V7) в просктивизации рационального Т-модуля V. Обозначим через P(v) выпуклую оболочку множестваM(v) в Aq. Многообразие X(v) нормально тогда и только тогда, когда множества {/./ - цо \ fi 6 А/(v)} насыщенны для всех вершин до многогранника P(v). Этот и другие критерии были приведены Дж. Карреллом и А. Кёртом 110).
Рассмотрим более общую задачу. Пусть G — односвязная полупростая алгебраическая группа, Т С G — максимальный тор, В С G — борелев-ская подгруппа. A.A. Клячко [5) доказал, что замыкание общей Т-орбиты в многообразии флагов G/В нормально. Затем Р. Дабровски (13| показал, что замыкание общей Т-орбиты в G/Р, где Р С G — параболическая подгруппа, также нормально. Примеры ненормальных замыканий необщих орбит тора можно найти в |10|.
Хорошо известно, что замыкания всех Т-орбит в торическом многообразии нормальны. Используя метод (/-инвариантов, можно доказать нормальность замыканий всех G-орбит на сферическом многообразии для любой связной редуктивной группы G. В случае сложности один И.В. Аржаицев [1] доказал, что для действия связной редуктивной группы G на нормальном многообразии X с однопараметрическим семейством общих сферических G-орбит и хорошим фактором 7г: А' X//G., где X//G является кривой, замыкание любой G-орбиты нормально.
Свойство насыщенности играет важную роль во многих алгебраических и геометрических задачах. Н. Уайт [32] доказал, что множество векторов инцидентности в базах реализуемого матроида насыщенно. Геометрическим след-
6
ствием этого факта является то, что для любой точки у в аффинном конусе над классическим грассманианом Сг(/с,п) замыкание Ту нормально.
Если дан граф Г с п вершинами, то по нему можно построить следующее конечное множество М(Г) векторов решётки Ъп\
М(Г) = {єі + є,- : (гу) является ребром Г},
где Єї, Є2, • • • }€п — стандартный базис в Zn. Свойство насыщенности для этого множества эквивалентно следующему утверждению: для любых двух минимальных циклов нечётной длины С и С' в Г либо у С и С' есть общая вершина, либо найдётся ребро Г, соединяющее какую-то вершину С с какой-то вершиной С\ см. X. Осуги и Т. Хиби [25|, А. Симис, В. Васконселос и Р. Виллареаль [27]. С алгебраической точки зрения свойство насыщенности для М(Г) эквивалентно целозамкнутости подалгебры Л(Г) алгебры полиномов к[2і,2Г2, ■ • • 1^п] в своём поле частных фД(Г), где
-4(0 = к[х«а^ : (і?) является ребром Г].
Насыщенные множества также возникают в контексте теории представлений колчанов. Пусть <2 — конечный связный колчан без ориентированных циклов, а а — вектор размерности. Рассмотрим многообразие Пер((2,о:) а-мерных представлений колчана и стандартное действие блочной группы С£(сх) на нём. Пусть £(<2, а) — множество весов полуинвариантных функций относительно этого действия. Если И' є Яер(<2,а) — некоторое представление, то рассмотрим также "£{(2, а, \№) — множество таких весов, для которых существует хотя бы одна полуинвариантная функция / на Я.ер(<2,<*) данного веса, не зануляющаяся в IV. X. Дсркссн и Е. Вейман [14) доказывают, что £((3, а) задастся в соответствующей целочисленной решётке одним линейным уравнением и несколькими линейными неравенствами, из чего следует, что £(<2, а) насыщенно. К. Чиндрис 111] доказывает, что множество £(0,а, 1V) насыщенно для всех IV Є Яер(С?, а) тогда и только тогда, когда С? является
7