О полной наблюдаемости нестационарных динамических систем

Оглавление
Введение 3
1 Полная наблюдаемость нестационарных динамических
систем 17
1.1 Основные предпосылки.......................................18
1.2 Исследование полной наблюдаемости линейной нестационарной
системы...................................................25
1.2.1 Исследование полной наблюдаемости линейной системы
в частных случаях...................................25
1.2.2 Переход к редуцированной системе первого шага 28
1.2.3 Исследование полной наблюдаемости редуцированной линейной системы первого шага расщепления в частных случаях...................................................30
1.2.4 Переход к редуцированной системе второго шага расщепления ..............................................33
1.2.5 Исследование полной наблюдаемости редуцированной системы второго шага в частных случаях..............35
1.2.6 Переход к редуцированной системе произвольного шага . 36
1.2.7 Исследование полной наблюдаемости редуцированной системы последнего шага расщепления ......................38
1.2.8 Критерий полной наблюдаемости нестационарной линейной дифференциально-алгебраической системы . . 40
1.3 Исследование полной наблюдаемости нелинейной
нестационарной дифференциально-алгебраической системы ... 42
1.3.1 Исследование полной наблюдаемости нелинейной системы в частных случаях...........................42
1.3.2 Переход к редуцированной системе первого шага.......44
2
1.3.3 Исследование полной наблюдаемости редуцированной системы первого шага в частных случаях........................46
1.3.4 Переход к редуцированной системе произвольного шага . 49
1.3.5 Исследование полной наблюдаемости редуцированной системы произвольного шага в частных случаях..................51
1.3.6 Критерий полной наблюдаемости нелинейной нестационарной дифференциально-алгебраической системы.......................................................53
1.4 Исследование полной наблюдаемости системы, описывающей
распространение эпидемического заболевания в обществе .... 55
2 Полная наблюдаемость возмущенных нестационарных динамических систем 60
2.1 Исследование полной наблюдаемости линейной нестационарной
возмущенной системы..........................................61
2.1.1 Исследование полной наблюдаемости возмущенной линейной нестационарной системы в частных случаях . . 61
2.1.2 Переход к редуцированной возмущенной системе первого шага..................................................66
2.1.3 Исследование полной наблюдаемости редуцированной возмущенной системы первого шага в частных случаях . 69
2.1.4 Переход к возмущенной редуцированной системе второго шага расщепления .....................................75
2.1.5 Исследование полной наблюдаемости редуцированной возмущенной системы второго шага расщепления в частных случаях...............................................78
2.1.6 Переход к редуцированной возмущенной системе общего вида..........................................................80
2.1.7 Исследование полной наблюдаемости редуцированной системы р - го шага ..........................................83
3
2.1.8 Исследование полной наблюдаемости редуцированной
линейной возмущенной нестационарной системы р - го шага при пр = пр-\ в частных случаях.....................86
2.1.9 Переход к редуцированной возмущенной системе в
случае Пр = пр.. 1.......................................89
2.1.10 Исследование полной наблюдаемости редуцированной системы (р + ш) - го шага расщепления при пр = Пр-] . . 91
2.1.11 Полная наблюдаемость возмущенной линейной нестационарной системы в случае пр = ггр_ 1 и п^ = 0 . . 93
2.2 Сравнение условий полной наблюдаемости невозмущенной и
возмущенной линейных нестационарных систем.....................96
2.3 Исследование полной наблюдаемости возмущенной нелинейной
нестационарной системы.........................................99
2.3.1 Исследование полной наблюдаемости возмущенной
нестационарной системы в частных случаях ................99
2.3.2 Переход к редуцированной возмущенной системе
первого шага............................................104
2.3.3 Исследование полной наблюдаемости редуцированной возмущенной системы первого шага в частных случаях . 106
2.3.4 Переход к редуцированной возмущенной системе
второго шага расщепления ...............................112
2.3.5 Исследование полной наблюдаемости редуцированной возмущенной системы второго шага в частных случаях . 114
2.3.6 Переход к редуцированной возмущенной нелинейной
системе общего вида.....................................116
2.3.7 Исследование полной наблюдаемости редуцированной
возмущенной системы р - го шага ........................118
2.3.8 Исследование полной наблюдаемости редуцированной
возмущенной системы р - го шага при пр = пр-\ в частных случаях.........................................121
2.3.9 Переход к редуцированной возмущенной системе в
случае пр = пр_ 1.......................................125
4
2.3.10 Исследование полной наблюдаемости редуцированной возмущенной нестационарной системы (р 4- т)-го шага
при пр = Пр_1...........................................127
2.3.11 Полная наблюдаемость исходной нелинейной возмущенной нестационарной системы в случае
Пр = Пр_ 1 при ТЪрт = 0.................................129
2.4 Сравнение полной наблюдаемости предельной и возмущенной
нелинейных нестационарных систем...............................132
Список литературы 134
5
Введение
Задача наблюдения является фундаментальной задачей теории автоматического управления.
Одной из основных проблем, возникающих при конструировании автоматических систем управления, является задача построения обратной связи, которая в классической постановке формулируется следующим образом. Рассматривается система
^ = Aox(t) + Du(t), (1)
где А0 : Еп —>• Mn, D : Шк -> Rn, x(t) е К71, и(Ь) 6 Rk, t е [0,Т], Т - конечно или бесконечно.
Система (1) называется системой управления, вектор-функция x(t) состоянием системы (траекторией, фазовым вектором). Свойство управляемости системы (1) означает существование такой входной функции u(t) - управляющей функции (управления), под воздействием которого состояние системы x(t) обладает заданными свойствами.
Задача построения обратной связи для динамической системы (1) заключается в определении управления в виде:
u(t) = K0x(t), где Kq : R71 —> Rn, после чего система принимает вид
= Ax(t), (2)
где А = Aq + DK0.
Формирование обратной связи в системах автоматического управления возможно лишь после получения полной информации о состоянии объекта управления. Если все компоненты состояния доступны для измерения, исследователь располагает возможностью выбрать обратную
dx(t)
dt
б
связь, обеспечивающую наиболее оптимальные динамические свойства обследуемой системы.
Однако, при решении практических задач приходится сталкиваться с ситуацией, когда измерению поддаются лишь некоторые компоненты вектора состояния системы или их линейные комбинации. В большинстве случаев это связано как с недостаточным количеством измерительных приборов в системе, так и с невозможностью их монтирования вследствие объективно возникающей груд недоступности измеряемых параметров.
При наличии возможности проведения дополнительных измерений (наблюдений), исследователи вводят в систему дополнительные измерительные приборы — датчики, что с одной стороны, приводит к увеличению стоимости исследования, а с другой стороны, приводит к возникновению в системе параметров и возмущений, провоцируемых этими самыми дополнительными устройствами. Такой путь неизбежно ведет к увеличению стоимости исследований и вносит в систему дополнительную динамику, что усложняет её синтез.
Таким образом, возникает задача наблюдения, то есть выявление возможности получения информации о векторе состояния по измеряемым, наблюдаемым входным и выходным функциям, а именно, необходимость выявления свойства наблюдаемости системы. Рассмотрим систему
^ - м», т
F(t) = Bx(t), (4)
где В : Rn -> W'\ F{t) е Шт.
Известно, что в динамической системе, описываемой соотношениями (3), (4), в результате реализованного неизвестного начального состояния гг(0) происходит переходный процесс. Состояние системы недоступно непосредственному измерению. В распоряжении наблюдателя имеется лишь наблюдаемая функция (выход) — F(t).
Система (3), (4) называется системой наблюдения, функция F(t) -выходной функцией.
7
Система называется полностью наблюдаемой, если начальное значение х(0) но выходной функции Р(1) определяется однозначно.
Свойство наблюдаемости динамической системы означает возможность определения состояния объекта по выходному сигналу.
Для системы (3), (4) из единственности х(0) следует единственность х(£), поэтому система (3), (4) также называется полностью наблюдаемой, если состояние системы х(£) в любой момент времени по выходной функции .Р(£) определяется однозначно.
Во многих случаях к решению задачи управления, а именно, к синтезу обратной связи, можно приступать только после решения задачи наблюдения для исходной системы, поэтому исследование свойства наблюдаемости различных динамических систем является действительно актуальной задачей.
Математическую постановку задачи полной наблюдаемости динамической -системы (3), (4) связывают с именем Р. Калмана [13]. Им же был сформулирован, ставший классическим, критерий полной наблюдаемости системы (3), (4). Доказано [13]:
для полной наблюдаемости системы (3), (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
гапк(В А* В ... {А*)п~1В) = п.
Матрицу (В А*В ... (А*)п“1В) называют матрицей наблюдаемости
(А* — матрица, сопряженная к матрице А).
Известно еще несколько форм критериев полной наблюдаемости стационарной системы (3), (4) (система (3), (4) называется стационарной, если матрицы А, В - постоя иные) (см., например, [3], [17),(23)). Приведем один из них.
Система (3), (4) является полностью наблюдаемой в том и только том случае, когда система
АВгг — 0, г = 0,п, имеет лишь нулевое решение г.
8
В дальнейшем задачи полной наблюдаемости рассматривались для различных систем: с запаздыванием, с малым параметром, систем с переменными коэффициентами (нестационарных систем), нелинейных систем, систем с частными производными, для дискретных систем и т. д. (|1|-И], [7], [И], |13|- [15], [17], [22], [24], [28], [30], [32]- [35], [38]-[41], [44]- [46]). Для линейных стационарных систем наблюдения рассматривался, как правило, случай т — п и регулярного матричного пучка В — XI (матричный пучок В-XI называется регулярным, если существует обратная матрица(#~ А/)”1 при некотором А Є С).
Для линейной нестационарной системы вида
^ = A{t)x(t) + т, (5)
F(t) = B(t)x(t), (6)
сформулирован ряд критериев и условий полной наблюдаемости. Приведем несколько из них (см. [II]):
Система, описываемая уравнениями (5), (6) полностью наблюдаема па интервале [£о, £i] тогда и только тогда, когда столбцы матрицы B(t)X(t,to) линейно независимы на [£о>^і]-
сix(t)
(X(t,to) - матрица Коши (переходная матрица) системы —- = A(t)x(t),
Теорема 1. Система, описываемая уравнениями (5), (6), где A(t), B(t) — матрицы, дифференцируемые соответственно (п — 1) и (п - 2) раз почти везде на интервале [tfoi^iL полностью наблюдаема на [£o>£i], если (п х пт) — матрица наблюдаемости Qo(t) имеет ранг п почти везде на некотором конечном подынтервале интервала [fco»£i]-
Здесь матрица наблюдаемости имеет вид
Qo(i) = [S*(OAoB'W-Ao"IS,(0],
где До = A*(t) + jt, и B*(t) - матрица, сопряженная к матрице B(t) (см. [11]).
Несмотря на достаточно обширное количество публикаций по тематике наблюдаемости, вопрос о возможности построения функции состояния для
полностью наблюдаемых систем рассматривается довольно узким кругом’ авторов. Лишь в отдельных работах строятся функции состояния, например, в монограии Красновой С.А., Уткина В.А. [16), или определяются отдельные компоненты функции состояния в частных случаях, например, в работе Campbell S.L. (35].
В работе (48] рассматривалась стационарная система с дополнительной входной функцией f(t) £ Ши (дополнительным входом):
= Ax(t) + /(*), (7)
F(t) = Bx(t) (8)
в случае прямоугольной матрицы В, то есть в случае нерегулярного матричного пучка В — XI.
В той же работе [48] для исследования полной наблюдаемости
системы (7), (8) разработан метод каскадного расщепления пространств на подпространства, в результате чего на каждом этапе расщепления исходная система сводится к системе относительно неизвестной, принадлежащей более узкому подпространству. За конечное число шагов расщепления исследователь выявляет полную наблюдаемость или ненаблюдаемость
системы. В случае полной наблюдаемости предъявляется в явном виде формула для построения x(t) — функции состояния системы. Устанавливаются, кроме того, соотношения ’’входа-вы хода” — условия, которым необходимо удовлетворяют наблюдаемые входная и выходная функции наблюдаемой динамической системы (7), (8).
В данной работе метод каскадного расщепления распространяется на случай нестационарных линейных и нелинейных динамических систем.
Подобные схемы перехода к системам (уравнениям) в подпространствах применялись при построении собственных значений и векторов возмущенной матрицы (5], при решении задачи Коши для дескрипторной системы в банаховом пространстве |12]. В работе [16] при построении функции состояния стационарной системы наблюдения используется сходная схема перехода к системам в подпространствах. Однако, для её реализации
dx(t)
dt
10
авторы прибегают к достаточно громоздким матричным преобразованиям, что сопряжено со значительными временными затратами и достаточно объемн ыми вычислен ИЯМИ.
Применение метода каскадного расщепления, разработанного в [48], к более широкому классу задач позволяет избежать сложных матричных преобразований. Кроме того, алгоритм применения данного метода предполагает, в случае выявления полной наблюдаемости системы, незамедлительное предъявление формулы для построения функции состояния исследуемой системы. Выявление характера связей между входной и выходной функциями исследуемой системы, необходимо реализующихся в случае полной наблюдаемости системы, также не требует дополнительных исследований, а осуществляется естественным путем, в ходе реализации метода каскадного расщепления.
В данной работе рассматривается общий случай прямоугольной матрицы B(t), что исключает использование свойств регулярности матричного пучка B(t) — XI при каждом фиксированом t € [О, Г].
Исследуется линейная нестационарная динамическая система вида
^ = A{t)x(i) + /(<), (9)
F(t) = B(t)x(t), (10)
а также нестационарная динамическая система вида
^ = A(t)x(t) + G(t; x(t); + /(*), (11)
F(t) = B(t)x(t), (12)
. . dx(t).
с нелинейным слагаемым G(t,x(t),—-—) определенного вида.
dt
Примером системы (11), (12), в частности, является система,
описывающая распространение эпидемического заболевания в обществе. То есть исследование свойства полной наблюдаемости подобных динамических систем весьма актуально.
Анализ влияния малых изменений конструктивных параметров и внешних
11
условий на динамику системы является одной из основных задач теории чувствительности динамических систем.
Важнейшей задачей автоматического управления является также синтез систем, малочувствительных к малым изменениям параметров и условий функционирования. Метод каскадного расщепления, применяемый в данной работе, является эффективным при исследовании полной наблюдаемости возмущенных с помощью малого параметра систем (9), (10) и (11), (12), а именно систем вида
^М = Л(4,ф(«, е) + Щ,е), (13)
^(4,е) = В(4,ф(4,е), (14)
и
= 4(4,£ММ) + С(*,£,х(М),^)+/((,£), (15)
^(£,б) = #(£,е)х(г,б:) (16)
с коэффициентами, аналитически зависящими от малого параметра £ € (0,£0]-
Целью данной диссертационной работы является
- исследование свойства полной наблюдаемости нестационарных линейной и нелинейной динамических систем;
- анализ влияния малых возмущений на полную наблюдемость нестационарных динамических систем;
- построение функций состояния для полностью наблюдаемых линейной и нелинейной нестационарных динамических систем, а также систем, возмущенных при помощи малого параметра;
- установление соотношений, которым необходимо удовлетворяют наблюдаемые входная и выходная функции наблюдаемых нестационарных систем;
- сравнение полной наблюдемости невозмущенной и возмущенной линейных нестационарных систем, а также невозмущенной и возмущенной нелинейных нестационарных систем.
12