Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа третьего порядка

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I
Начально-краевая задача для дифференциально-разностного параболического уравнения третьего порядка со знакопеременным разрывом первого рода у коэффициента при производной по времени и характеристической линией изменения типа. 22
§1. Единственность решения задачи К......................... 22
§2. Начально-краевая задача К\ для линейного параболического уравнения третьего порядка с запаздывающим аргументом по пространственной координате...................... 23
2.1. Единственность решения задачи 1<1.............. 24
2.2. Краевая задача для линейного однородного уравнения третьего порядка параболического типа без запаздывающего аргумента 25
2.2.1. Постановка задачи. Единственность решения. Построение фундаментальной системы решений.............. 25
2.2.2. Исследование частного решения.................. 28
2.2.3. Построение решения............................. 31
2.3. Краевая задача для линейного неоднородного уравнения третьего порядка параболического типа без запаздывающего аргумента.............................. 39
2.3.1. Исследование частного решения неоднородного уравнения................................................. 39
2.3.2. Построение решения............................. 44
2.4. Существование решения задачи К^................ 47
§3. Разрешимость задачи К.................................. 49
ГЛАВА II
Задача Жевре для смешанного параболического уравнения третьего порядка с запаздывающим аргументом и нехарактеристическими линиями изменения типа. 52
§ 4. Постановка задачи С. Единственность решения............52
з
§5. Существование решения..................................... 55
5.1. Редукция задачи С к системе интегральных уравнений...................................................... 55
5.2. Применение операторов дробного интегродифферен-цирования при сведении системы интегральных уравнений к системе сингулярных интегральных уравнений................................................ 66
5.3. Исследование системы сингулярных интегральных уравнений................................................ 79
ГЛАВА III
Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного параболо-гиперболического и
эллиптико-параболического типа третьего порядка. 90
§ 6. Начально-краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с запаздывающим аргументом..................................................... 90
6.1. Постановка задачи II 90
6.2. Первая начально-краевая задача Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения с запаздывающим аргументом................................... 91
6.3. Единственность решения задачи И.................. 94
6.4. Существование решения задачи Л................... 95
§ 7. Начально-краевоя задача для уравнения эллиптико-параболического типа третьего порядка с запаздывающим аргументом.....................................................101
7.1. Постановка задачи Р. Единственность решения. . . . 101
7.2. Задача Неймана-Дирихле для дифференциально-разностного эллиптического уравнения.....................103
7.2.1. Постановка задачи. Единственность решения......103
7.2.2. Существование решения задачи Неймана-Дирихле. . . 105
7.3. Существование решения задачи Р..................108
ЛИТЕРАТУРА 114
Приложение 1 130
Приложение 2 137
Приложение 3 112
Введение.
Актуальность темы. Многие задачи трансзвуковой газовой динамики. гидродинамики, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, магнитогидродинамики, физики плазмы, другие важные проблемы естествознания моделируются при помощи уравнений смешанного типа. К этому классу уравнений принадлежит впервые рассматриваемое в диссертации уравнение смешанного типа третьего порядка с последействием
Li'u(x. у) - в и(х. у) = и(х - т. у) + }{х,у) () = 1.2, 3). (0.1)
учитывающее тот факт, что изменения d физических системах зависят не только от их состояния в настоящий момент времени, но и от предыстории.
В уравнении (0.1) L\ = дл/дх* — к(х.у)д/ду [к(х, у) = sgn у или
к(х. у) = sgn л:(т — a;)J - смешанно-параболический, L-2 = (д/дх)2*11^ -
- (д/ду)'2~и^ параболо-гиперболический и L3 = (д/д:г)'2+11^ +
+ (~д/ду)2~п^ эллиптико-параболический операторы третьего порядка: в. т = const, т > 0; Н(£) - функция Хевисайда; /(ж,?у) - заданная, а и(х. у) неизвестная функции.
Предметом исследования диссертации являются впервые поставленные нелокальные начально-краевые задачи для уравнения (0.1) в ограниченных и неограниченных смешанных областях, содержащих внутри себя как характеристические, так и нехарактеристические линии изменения типа.
Существенное отличие уравнения смешанного типа (0.1) от ранее изучавшихся состоит в том. что оно является дифференциально-функциональным. Уравнение (0.1) не рассматривалось, хотя его можно получить при изучении колебаний кристаллической решетки [98]; при изучении распространения волн в средах, где состояние среды в данный момент времени зависит от ее состояния во все предыдущие [30]; при решении задач нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью [172] и задач теплообмена при обтекании поверхности покрытой материалом с тепловой памятью [6] и др.
Актуальность исследования следует как из внутренних потребностей теоретического обоснования классических задач для уравнений матема-
тической физики,так и из важных прикладных возможностей уравнений смешанного типа третьего порядка с запаздывающим аргументом.
Цель работы исследование вопросов разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для смешанно-параболических, парабо-ло-гиперболичсских. эллиптико-параболичееких уравнений третьего порядка с запаздывающим аргументом по пространственной координате в ограниченных и неограниченных областях, содержащих внутри себя как характеристические, так и нехарактеристические линии изменения типа.
Для обоснования корректности впервые поставленных нелокальных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что и определяет структуру работы и содержание отдельных глав.
Общая методика исследования. В работе широко используется аппарат специальных функций, методы кюрии интегральных уравнений Вольтерра. Фредгольма и сингулярных интегральных уравнений, дифференциально-функциональных уравнений обыкновенных и в частных производных, операторы дробного интегродифференцирования, теория потенциала, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций (метод uabcu). метод разделения переменных Фурье.
Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются качественно новыми в сравнительно мало исследованной и актуальной проблеме теории уравнений в частных производных проблеме решения нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа третьего порядка.
Основные результаты, выносимые на защиту:
1. Доказательство однозначной разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для уравнений смешанно-параболического, параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типа с запаздывающим аргументом по пространственной координате в ограниченных и неограниченных областях, содержащих внутри себя характеристические или нехарактеристические линии изменения типа.
2. Метод построения и исследования решения первой задачи для уравнения параболического типа третьего порядка с запаздывающим аргументом.
3. Доказательство единственности решений нелокальных начальнокраевых задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа третьего порядка.
б
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для уравнений и систем уравнений смешанного тина третьего порядка с запаздывающим аргументом.
Практическая ценность работы заключается в возможности применить полученные результаты к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, тепло- и масеообмена в неоднородных средах, влагопереноса в каппилярно-пористых телах, в безмоментной теории многослойных оболочек с кривизной переменного знака.
Предшествующие результаты. Теория нелокальных задач, бурно развиваясь, достигла заметных результатов. Причина такого пристального внимания, как пишет A.A. Самарский [123]. в том. что нелокальные задачи являются качественно новыми и возникающими при решении современных проблем физики.
Нелокальные задачи для классических уравнений, когда краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках границы, имеют уже довольно богатую историю, относящуюся к исследованиям обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных гиперболического, эллиптического, параболического и смешанного типа: A.B. Бицадзе [16]: A.B. Бицадзс. A.A. Самарский [17]: В.И. Жогалов [35]; В.А. Ильин [69]; В.А. Ильин, Е.И. Моисеев [70]-[71];
II.И. Ионкин [73]: Л.И. Камынин [78]: В.П. Михайлов [100]; Е.И. Моисеев [103]-[104]; А.М. Наху шов [106]; А.И. Прилспко [X12]-[113]; М.С. Сала-хитдинов, М. Мирсабуров [122]; А.Л. Скубачовский [126]; А.П. Солдатов [129]-[130]: В.А. Стеклов [132]; ЯЛ. Тамаркин [134]; Ф.И. Франкль [144];
В.И. Чесалин, Н.И. Юрчук [146]; A.М. Krall [165]; М. Pucone [171]. Как выяснилось, нелокальные краевые условия возникают в задачах прогнозирования почвенной влаги [18], [107], при математическом моделировании процессов излучения лазера 1152 . диффузии трехкомпонентных систем [173]. в "математической биологии" при исследовании размножения клеток, бактерий [174]. в контактных задачах [112]-[113].
Теория нелокальных задач для неклассических (дифференциально-функциональных) уравнений, содержащих преобразования аргумента искомой функции, с краевыми условиями локального характера достаточно серьезно разработана для обыкновенных дифференциально-разностных уравнений: в меньшей степени для дифференциально-разностных уравне-
7
ний в частных производных гиперболического, параболического и эллиптического типа: A.B. Антонович [7]; А.Л. Скубачевский [126]; В.П. Маслов [98]: Д.К. Дурдиев [30]; А.К. Алексеев [5]. Указанные уравнения используются при решении задач теории упругости [110], [125]; теории распространения упругих электромагнитных волн, описываемых уравнением Максвелла с памятью [88]. [92]: теории пластичности и ползучести. когда нельзя пренебречь наличием запаздывания деформаций в теле относительно приложенных напряжений [2], [9], [38]. ’86]. [91]-[92]. [94], [119], [120]. [124]. [166]: в задачах определения индикатриссы рассеяния в двумерном уравнении переноса [109]. При этом совершенно не развита теория нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа.
В большинстве своем рассмотренные к настоящему времени нелокальные задачи связаны с решением уравнений смешанно-параболического. параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типа второго порядка.
Одними из первых работ, посвященных смешанно-параболическим уравнениям, т.е. параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы М. Жевро [162]. опубликованные в 1913-1914 г.г. Последующий интерес к таким уравнениям был вызван тем, что они находят важные приложения при решении вопросов теории рассеяния электронов [153]-[155]. [157]-[158], [161]; к решению стационарного уравнения броуновского движения Фоккер-Планка [24]. [156], [159]. [167] и нелинейных уравнений гидродинамических течений со знакопеременным коэффициентом вязкости [8], [11], [65]-[66], [89]-[90]. [93], [108], [117]-[118]. [148]-[149]. Большое число исследований посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением времени [31]-[33], 82]-[S3], [81], [137]-[142], [150]-[151], [169]-[170]. Краевые задачи указанных работ исследовались в гельдеровских классах функций, в пространствах С.Л. Соболева с помощью ряда свойств собственных функций соответствующих спектральных задач уравнений с меняющимся направлением времени.
В последние годы все возрастающий интерес вызывают уравнения смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типа. Они возникают при исследовании явлений в двух средах с резко отличающимися физическими свойствами. Еще в 1959 году И.М. Гель-фанд [23] указал на необходимость рассмотрения задач сопряжения параболических и гиперболических уравнений. Он приводит пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой: в канале движение описывается волновым уравнением, а вне его уравнением
-8
диффузии. На границе канала выполняются условия сопряжения. Уже первые исследования [68]. [133], [143] показали прикладную значимость рассматриваемых уравнений, встречающихся при изучении задач распространения электромагнитного поля в неоднородной среде, движения малоежимаемой жидкости в пористом канале, определения напряжения и силы тока в теории электрических пепей и др. [3]-[4], [80]. Среди работ, близких к рассматриваемой тематике, отметим следующие: А. Абдуллаев 11]: Х.Г. Бжихатлов. А.М. Нахушев [13]; С.И. Гайдук. A.B. Иванов [20];
С.И. Гайдук [21]; Т.Д. Джураев [28]; Т.Д. Джураев, А. Сопуев, М. Мама-джанов [29]: В.А. Глеев [34]: Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев [74]: НЛО. Капустин [79]: Н.В. Кислов [85]; М.С. Салахитдинов [121]; А. Сопуев [131]: Ж.О. Тахи])ов [135]; В.И. Чесалин, Н.И Юрчук [146].
Вместе с тем. как показывают исследования [81]. [95], [168]. не ме-нее важными являются нелокальные задачи для уравнений смешанного типа третьего, четвертого и более высокого порядков. Так. при рассмотрении задачи обтекания тонкого тела в слабо диспергирующей среде [12], [81], приходят для функции тока к параболо-гипорболичоским или эллиптико-параболическим уравнениям третьего порядка. Смешаннопараболические уравнения третьего и более высокого порядка, которые соответственно аналогичным уравнениям второго порядка имеют весьма важные приложения, рассматривали В.А. Водахова [19]: Б.Б. Жураев [36]: О.С. Зикиров [67]: К). Иргашев [76): Н.К. Мамадалиев [96]: К.И. Михайлов [1(Д]-[Ю2]: С.В. Попов [111]; Д. Халмуратов [145]; С.Ш. Ядгар [147]. Для построения решения в ограниченных и неограниченных областях. содержащих внутри себя характеристические или нехарактеристические линии изменения типа, использовался метод i сории потенциала.
Отсутствие исследований по нелокальным задачам для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа второго, третьего и более высокого порядка подтверждает актуальность темы диссертации.
Содержание диссертации по главам.
Присутствие в уравнении (0.1) слагаемого с запаздывающим аргументом требует при постановке задачи (кроме классических краевых условий) задания искомой функции и(х, у) = д(х, у) на начальном множестве —т< х < 0, а < у < Ь, если решение следует искать при х > 0, а < у < Ь. Уравнение (0.1) с учетом начального условия "по запаздыванию" можно записать в виде
Liii(x.y) - в и(х.у) = II (х - т) и(х - т.у) 4- F(x, у). х > 0 (0.2)
(г = 1. 2. 3). где F(x,y) = f(x,y) + Н(т - х)у(х - т.у). Поэтому без ограничения общности в диссертации рассмат])иваются уравнения (0.2).
9
Диссертация состоит из введения и трех глав.
В первой главе исследуется начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения (0.2) (г = 1, F = 0) третьего порядка со знакопеременным разрывом первого рода у коэффициента к(х. у) = sgn у при производной по времени и характеристической линией у = 0 изменения типа в неограниченной области D = {(х./у) : х > 0. \у\ < 1}. т.о. уравнение
L\u{x. у) - в и(х,у) = Н(х - т) и(х - г, у). (0.3)
где L1 = 93/(dx:i - sgn уд/ду - смешанно-параболический оператор, являющийся прямым параболическим в области D \ = Dn{y > 0} и обратным параболическим в D<2 = DCi{y < 0}.
Задача К. Найти в области D решение и(х, у) ураанения (0.3) из класса С (ТУ) П Cl(D) П C'\D\{y — Ü. х > 0} {производная их(х, у) непрерывна вплоть до границы х — 0). исчезающее на бесконечности и удовлетв оряющее уело в иям
•и(0.?у) = г\(у): их(0,у) = г‘2{у), 0 < у < 1; (0.4)
и(0,у) = Ф\{у): Ux(0:y) = щ(у), -1 < у < 0; (0.5)
где Yi(y). ф^у) (?’ = 1, 2) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем <Р:(0) = я^(0) (г = 1, 2).
Задача К будет полностью решена, если найти функцию м(т.0) = = Lu'(x). 0 < X < -fOC.
В § 1 рассматривается
Теорема 1. Если в > 1. то решение задачи К единственно.
Для доказательства теоремы используется метод вспомогательных функций (метод "abc").
В §2 исследуется
Задача (К2). Найти регулярное в области D\ (Д>) решение и(х.у) уравнения (0.3), непрерывное в D\ (D?) (производная иг(х, у) непрерывна вплоть до границы х = 0), исчезающее на бесконечности, удовлетворяющее условиям (0.4) ((0.5)) и и(х, 0) = ш{х)у 0 < х < -foc, где <Pi(y), V>i(y) (» = 1» 2). 'jj(x) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем <pi(0) = ы(0) (^i(ü) = сц(0)). ^(9) = ^'(0) ($г(0) = = ^,#(0)). w(-foc) = 0.
Единственность решения задачи К| (К2) доказывается в п. 2.1 аналогично теореме 1.
В п.п. 2.2-2.1 доказана
10 -
Теорема 2. Если <рі(у) Є С'2(0.1); £ц(я) Є С[0, +оо), ь/(х) абсолютно интегрируема па [0,+оо) и ір\ (0) = ф). №(0) — а/ (0), то решение
задачи К\ существует.
Р<‘Шонис задачи К і сначала строится в п. 2.2 для уравнения
у) - иу(х, у) = 0 (0.6)
із виде
«І (*: у).= и«(я. у) + Ф- у)- (0.7)
ГДС
2 +ОС
«о(х,у) = - / и(х,у,£,0)ш(і)<%,
77 о
? Г
Ф-, ?у) = І и{х, у; 0. /у) аз (//) др + ] \ г(х, /у; 0. /у) а2(/у) (її) о о
сумма потенциалов, аг;(;/) (г = 1,2)- неизвестные функции, а
фундаментальные решения уравнения (0.6). прячем
У/ > '/ У < У-
УФ) - ^ Ai( . Ä(cr) - ^ Di( , <7 -
Ai(£). Bi(f) функции Эйри первого и второго рода и
lim щ(х.у) = Ц#). 0 < х < -{-ос.
(х,у)->{х.+0)
Подчиняя (0.7) условиям (0.4). для определения о,(//) получена система интегральных уравнений Абеля, а само решение (9.7) задачи К| для уравнения (0.6) после ряда преобразований примет вид
^ +Оо
U\(x,y)= - [ и(£) Ф(х,у:£.0) +
w и
г»/2 ? , / ГУ'2 \
+ 37z{lpl{tny-t) hß Г dt +
x r ( M2 \
+ 3 / Mt) (У - ty hn [aiy_ty/2)
11 -
где
ф(х,у:^п) = £>>?;; Ф;) -
- /о - ^ (ст) Ы5")* -
1',ад ("(»- <)|/!) 11 ~ /0"; (“(I - .і)1'’) *’
а ./„(£) и /\ф) -- соответственно функция Бесселя первого рода и Макдональда [25].
В п. 2.3 рассматривается задача К і для уравнения
иххх{х,у) - иу(х:у) = у{х,у), (0.8)
в котором у(х.у), ду(х,у) Є С [О |).
Решение задачи К і для уравнения (0.8) найдено в форме
Мх, у) = щ(х, у) + а(х, у) + у(х, у), (0.9)
где
<т{х,у) = -”// и(хгу^./у)у(^гі)(і^(і:у,
Оіу
а Ду = {(^у) : 0 < £ < +эс, 0 < у < у}] о(х.О) = 0.
После соответствующих преобразований (0.9) записывается в виде
Мх,у) = щ{х.у) - \ II у{£,71)Ф(х,у:Х,у)(1Ыу- (0.10)
77 /У,,
В п. 2.4 решение задачи К] для исходного уравнения (0.3) строится в форме выражения (0.10). Для неизвестной функции д(х, у) найдено уравнение
я{*~ у) + ^ ф у{Сг1)Ф-.У\С, 'Ч)Фг1 = Р{х-.у): (х,у)£Вь (0.11)
Оху
где
Щх, У,С ч) = 0 ф(г> У\£,Ч) + Н{х - г) Ф(ж - т, у; (, г/),
Г[х. у) = Зи\(х,у) -\-Н(х — т)щ(х — т, у).
Продолжая функцию /г(хлу) для у > 1 по непрерывности, применяя к (0.11) интегральное преобразование Лапласа по переменной /у. получим уравнение
1 +ОС
в(х,р) + - [ С(£,р)А(х,£,р)с18 = 11{х,р), (0.12)
7Г £
— 12
в котором G(x,p) = L{g(x,y)}\ ядро А(х,£,р) = Ь{Ф(х, у] £,0)} при 0 < х. £ < -hoc непрерывно дифференцируемо и исчезает на бесконечности экспоненциально; свободный член R(x.p) = L{F(x,y)} непрерывно дифференцируем при (J < х < +зс и экспоненциально стремится к нулю при г —> +ос. причем имеют место оценки
М(*,Ср)I < 4з (Cifi-pl/5|*-?i + С2Н(Х - т) «I) ,
|J?(ar,p)| < С3е-рФх + С4Н{х - т) e-f'^x~T\ 0 < С,- = const {г = 174).
Таким образом, вопрос существования решения задачи К| для уравнения (0.3) в области D\ эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Фрсдгольма (0.12). безусловная разрешимость которого в классе функций G(x.p) G С[0,+ос) П Cl(0. -hoc) следует из доказанной единственности решения задачи К|.
Аналогично строится решение задачи К-; в области D* для уравнения (0.3) с условиями (0.5) и и(х.0) = о/(х-). 0 < х < +эс.
В § 3 вопрос существования решения задачи К для уравнения (0.3) в области D эквивалентно редуцирован к краевой задаче для обыкновенного дифференциально-разностного уравнения третьего порядка
Jn(x) - !3и;(х) = Н(х - г) и(х - т), х > 0; u/(0) = ¥>i(0)? *'(0) = у2(0), Ц+ос) = 0,
безусловная разрешимость которой следует из доказанной единственности решения задачи К.
Краевая задача имеет решение
-г ОС
и,'(х) = u)q(x) — A j Н{г — т) ио(г - т)Т(х. г) dr.
и
где А = 1/(а\/3), 8а3 = в; щ(х) = —^=(у?2(0) 4- а у’1(0)) е~ах sin ^ал/Зх^ + ^i(0) е~ах cos (а\/Зх) ;
п= I
причем
К\{х, г) = К(х, г).
4-ос
Кп(х.г) = j Н($ - т) K\(x,s) I\n-\{s - г,г) ds, п — 2, 3, 4, .... о
13
a
s+(x—s) H(s-x)
K(x, s) = J H{t - т) еЩ'-*)е-Ф-‘) sin ((a: _ t.) oVS) dt.
0
Ряд T(x.r) равномерно сходится при 0 < х. г < -foc. а при х, г —* -foo экспоненциально стремится к нулю.
Найденное значение функции а(х,0) = и;(х). О < х < -foc. позволяет построить решения задач К; для уравнения (0.3) в областях Д (г = 1, 2).
а. следовательно, и самой задачи К для уравнения (0.3) в области D.
Во второй главе исследуется начально-краевая задача Жевре для дифференциально-разностного уравнения (0.2) [i = 1, 0 — 0) третьего порядка со знакопеременным разрывом первого рода у коэффициента к(х.у) — sgii х(т - х) при производной по времени и нехарактеристиче-скими линиями х = 0. х = г изменения типа в ограниченной области D = {(х. у) : -г < х < 2т, 0 < у < 1}, т.о. для уравнения
L\u(x. и) = Я(х - г) и(х - г, у) 4- Н(т - х) f(xyy), (0.13)
, дг
где L\ = —-Sgnx(7--x
юшийся прямым параболическим в области I.)\ = D П {() < .т: < г} и обратным параболическим в областях Д = DC\{x < 0} и Дз = DD{x > т}.
Задача G. Найти в области D решение и(х.у) уравнения (0.13), удовлетворяющее следующим свойствам:
1) и(х.у), их(х.у) е С (D);
2) ихх{х,у) G C(D);
3) п(х. у) - регулярное решение уравнения (0.13) a D\(J[ U J2), zàe •h = {(х,у) : х = 0, 0 < у < 1}, J2 = \{х,у) : х = г, 0 < у < 1};
^ гДя д(.т, ?/) выполняются краевые условия
и(-т. у) - их(-т,у) = и(2т. ;(/) = 0. 0 < у < 1;
m(j:.0) = 0. 0 < х < г; и(х. 1) = 0. -т < х < 0. т < х < 2т:
причем функции ш'0(у) = Чу(й,у),и\{у) = wy(r,y), Ï/J(j/) = w*y(0,ÿ), v[{y) = игу(т.у) при у —» 0 «л« /у —> 1 могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы; f(x, y). у) 6 С (Д) (i = 1,2) и /(х. 1) = 0, -г < х < 0: /(х, 0) = 0, 0 < х < г.
В §4 методом вспомогательных функций (метод "abc") доказывается Теорема 3. Если т < </3, гпо решение задачи G единственно. Разрешимость задачи G устанавливается в § 5.
)— смешанно-параболический оператор, явля-