2
Оглавление
Введение..............................................................4
Глава 1 Задачи оптимизации с граничными управлениями (обзор исследований)........................................................16
1.1 Краевые задачи теплового процесса с нелинейными граничными условиями.........................................................16
1.2 Краткий обзор по исследованиям задач оптимизации тепловых и волновых процессов с граничными управлениями......................20
Вывод...............................................................23
Глава 2 Приближенное решение задач нелинейной оптимизации с граничным управлением................................................24
2.1 Слабо обобщенное решение краевой задачи управляемого процесса 24
2.2 Задача оптимального управления и условия оптимальности.........29
2.3 Нелинейное интегральное уравнение оптимального управления 30
2.4 Построение решения задачи нелинейной оптимизации и сходимость приближенных решений..............................................35
2.5 Пример.........................................................39
Вывод...............................................................48
Глава 3 Приближенное решение задач нелинейной оптимизации с векторным граничным управлением......................................50
3.1 Слабо обобщенное решение краевой задачи управляемого процесса 50
3.2 Задача оптимального управления и условия оптимальности.........52
3.3 Система нелинейных интегральных уравнений оптимального управления........................................................54
3.4 Решение задачи нелинейной оптимизации и сходимость приближенных решений..............................................64
3.5 Пример.........................................................68
Вывод..............................................................79
Заключение...........................................................80
Литература...........................................................81
Приложение.........................................................89
Приложение А. 1....................................................90
Приложение А.2.....................................................95
Приложение В......................................................101
4
Введение
Актуальность темы. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, основы, которой были заложены в 60-е годы прошлого столетия в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова и др., в настоящее время, является одним из интенсивно развивающихся научных направлений. Теория получила широкое развитие в исследованиях А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова, К.А. Лурье, В.И.Плотникова, Ж.Л. Лионса, их учеников и последователей.
На практике встречаются множество задач прикладного характера, где действие функции внешнего воздействия сосредоточено в одной точке, которая может быть как фиксированной, так и подвижной. В случаях, когда точка приложения внешних воздействий сосредоточена на границе
появляется задача оптимизации с граничными управлениями. Примеры подобного рода задач для тепловых процессов приведены в монографиях [14,15]. В природе реальные процессы обычно протекают нелинейно. Поэтому многие задачи прикладного характера, в частности задачи оптимизации, по своей сущности являются нелинейными. Однако нелинейные задачи оптимизации из-за сложности их исследования и
недостаточной разработанности методов их решения относятся к мало изученной области теории оптимального управления. В диссертации
основное внимание уделено исследованию задачи нелинейной оптимизации, где граничное управление является нелинейной функцией от управляющих параметров. Задачи с нелинейными граничными условиями часто встречаются в приложениях, например, задача оптимального нагрева стержня при тепловом лучистом обмене на концах стержня, происходящего по закону Стефана-Больцмана, приводит к задаче с нелинейным граничным управлением.
Исследование разрешимости нелинейных задач оптимизации и
разработка конструктивных методов их решения является одной из
актуальных задач теории оптимального управления системами с распределенными параметрами.
Научная новизна работы. Впервые, на примере управления тепловыми процессами, происходящими в стержне конечной длины, разработан алгоритм построения приближенного решения нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов в случае,
1) когда функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от скалярной функции управления (управление с одного конца);
2) когда функции граничных воздействий (тепловых потоков) нелинейно зависят от векторной функции управления (векторное управление с двух концов).
Полученные результаты являются новыми в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, в частности,
- установлено, что оптимальное управление определяется как решение нелинейного интегрального уравнения и удовлетворяет дополнительному условию в виде неравенства;
-найдено достаточное условие разрешимости задачи нелинейной оптимизации с нелинейным граничным управлением и результаты обобщены на векторный случай;
- разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации (как в случае скалярного, так и в случае векторного управлений) и доказана их сходимость к точному решению.
Теоретическая и практическая ценность. Разработанный алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации при нелинейных граничных управлений может быть использован на практике в прикладных задачах связанных с управлением тепловых процессов. Полученные теоретические выводы представляют интерес в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, ибо они могут быть использованы для развития методов исследования и при
6
разработке конструктивных методов решения нелинейных задач оптимизации.
При изложении материала были использованы следующие обозначения:
1. (О, 1) - интервал оси ох;
2. (О, Т) - интервал оси о!\
3- (? = (0,1) х (О, Т) - область плоскости ох(;
4. Уг(Гух), У(г,х) - частная производная первого порядка функции К(г,х) по временной переменной г и по координатной переменной л*;
5. Кх(?’х) ~ частная производная второго порядка функции У(/,х)
по координатной переменной х;
6. /'/(О) - гильбертово пространство функций, определенных на
множестве О;
7. - норма элемента гильбертова пространства И;
8. Я2 = //(0,7’) х Я(0,7') - декар тово произведение пространств;
9. (*,•)- скалярное произведение.
В первой главе приведены примеры задач оптимизации с граничными управлениями для тепловых процессов, сделан краткий обзор исследований, примыкающих к теме диссертации, и изложено краткое содержание диссертации.
Во второй главе исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса в случае, когда управление нелинейно входит в граничное условие и минимизируется квадратичный функционал. Установлено, что оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению и дополнительному условию в виде неравенства. Найдено достаточное условие однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации.
В §2.1 рассматривается краевая задача управляемого процесса
Ус = УкХ + №,х), (с,*) є (?, (і)
к(0,х) = !/>(*), хє(0,1), (2)
1^(£,0) = 0, 1^(£, 1) + а!/(£, 1) = р[£,и(0], О <С<7\ (3)
где /■(£,*) Є Н(<2) заданная функция, р[£, и(Г)] Є //(О, Т) описывает изменения граничного теплового потока, нелинейно зависит от функции управления ц(£) Е /7(0,7’) ; начальная функция ф(х) Е Н(0,1) ; Т -фиксированный момент времени; И - пространство Гильберта.
Аналогично [56] дано определение слабо обобщенного решения. Определение 2.1. Слабо обобщенным решением краевой задачи (1)-(3) называется любая функция Г(Г, х) Е //((?) , которая удовлетворяет интегральному тождеству
і
(К(С,Х)Ф(£,Х))^ (ІХ =
О
(21 12
= и [Г(^д:)(Фс(Сд:) + Ф**(£,*)) + /(Сдс)Ф(С#х)]гіл:^С + І р[С и(0] Ф(ї, с,о " Г1
при произвольных моментах времени // и о (0 < ^ < £ < Ь2 < Г) и для
любой функции Ф{Ь,х) Е С1,2[(?], а также начальному условию (2) в слабом
смысле, г.е. соотношение
і
і
і
Игл [ [У(ї,х) - ф(х)\ФАх) сіх = 0 с-*+о ] и
о
выполняется для любой функции Ф0(х) Е /7(0,1).
Построено слабо обобщенное решение краевой задачи (I) -(3) в виде
со
Г
= 2 е'Л"сф„+|е Я"а-Т)(/П(т) + г„(1)р[г,и(т)])гіт
м = 1 о
г„(0. (4)
где {гп(х)} - полная ортонормированная система собственных функций краевой задачи
г"(х) + Л27(х) = 0, 2'(0) = 0, / '(1) + а#(1) = о,
т.е. гп(х) = упсозХпх, п = 1,2,3,...,
Уп =
2 (А £+ *2)
А£ + а2 + а
а {Яп} - собственные значения, которые определяются как решение
а
трансцендентного уравнения 1;дА = - и обладают следующими свойствами:
Л
НшЛп = со, Ап < Ап+1, (п + 1)тг < Ап < ^(2п - 1), п = 1,2,3,...
1-»СО ^
В §2.2 сформулирована задача оптимального управления, где
требуется найти управление и°(0 6 /7(0,7’) , которое вместе с
соответствующим ему решением Р°(£,;г) краевой задачи (1-3) минимизирует
интегральный квадратичный функционал 1 г
/[м(0] = 11УСЛ*) - ((*)]2 <1х + р | г/2 иж р > о,
о о
где ((х) 6 /У(ОД) заданная функция.
Согласно принципа максимума для систем с распределенными параметрами [14, 17, 22] получены условия оптимальности Пи(-,и) = Рм(£,к)а>(£, 1) - 2ри = 0,
Пгш(-,и) = />«„(£, и)й>(£, 1) - 2/? < 0, где щ(с, х) - решение краевой задачи + а)хх = 0, (£,х) 6 (?,
а>(7\х) + 2[1/(7’,х) - * (*)] = 0, хе (0.1), св*(С, 0) = 0, сох(С, 1) + ого>(г, 1) = 0, 0< t<T,
сопряженной (1)-(3).
Решение сопряженной краевой задачи найдено по формуле
с
00
&>(*:, х) = — 2 ^ м=1
’ + J е_Д"(С Т)(/п(т) + 2„(1)р[т,ы(т)])йт -
-(„(С) е Д"(Т 02пО)
- Київ+380960830922