Оглавление
Введение 4
1 Предварительные сведения 14
1.1 Строго псевдовыпуклые области........................ 14
1.2 Интегральное представление Хенкина-Рамиреза.......... 17
1.2.1 Главное значение интеграла Хенкина-Рамиреза . . 18
1.2.2 Главное значение в смысле Керзмана-Стейна интеграла Хенкина-Рамиреза............................. 19
1.3 Интеграл Бохнера-Мартинелли.......................... 20
1.3.1 Интегральное представление Бохиера-Мартинелли 20
1.3.2 Главное значение интеграла Бохиера-Мартинелли . 22
1.3.3 Дифференциальные формы ирл................... 23
1.3.4 Оценки некоторых интегралов.................. 24
1.3.5 Формула Пуанкаре-Бертрана для интеграла Коши . 25
1.3.6 Формула перестановки и формула композиции для
интеграла Бохиера-Мартинелли................. 26
1.4 Интеграл Коши-Сеге в шаре из Сп...................... 27
1.4.1 Интегральное представление Коши Сеге......... 27
1.4.2 Главные значения интеграла Коши-Сеге .......... 28
2 Особый интеграл Бохнера-Мартинелли 30
2.1 Главное значение в смысле Керзмана-Стейна интеграла
Бохнера-Мартинелли .................................. 30
2
2.2 Вспомогательные результаты............................. 37
2.3 Формула перестановки для интеграла Бохнера-Мартинелли 56
2.4 Формулы композиции для интеграла Бохнера-Мартинелли 63
3 Особый интеграл Коши-Сеге в шаре из Сп 64
3.1 Главное значение в смысле Керзмаиа-Стейна интеграла Коши-Сеге.................................................. 64
3.1.1 Вспомогательные результаты.................... 70
3.1.2 Формула перестановки для интеграла Коши-Сеге . 79
3.2 Главное значение по Коши интеграла Коши-Сеге........... 81
3.2.1 Вспомогательные результаты.................... 81
3.2.2 Формула перестановки для интеграла Коши-Сеге . 93
Заключение 95
Список использованных источников 96
3
Введение
Одним из мощных конструктивных методов в теории голоморфных функций является метод интегральных представлений. Интегральное представление выражает значения любой функции, голоморфной в области. через ее значения на границе или на части границы области. Интегральная формула, предложенная Коши в 1831 г., играет основополагающую роль в теории голоморфных функций одною комплексного переменного. Интегральная формула Коши (см., например, [6, 18, 25)) справедлива для функций, голоморфных внутри области и непрерывных в замыкании области.
Если требовать лишь непрерывность функции на границе области, то говорят об интеграле типа Коши (см., например, [18]). Для точек, лежащих на границе, интеграл Коши становится особым (сингулярным) и расходящимся в обычном смысле. Дальнейшее рассмотрение граничных значений такого интеграла привело к понятию главного значения по Коши (у.р.) особого интеграла и к нахождению формул, предложенных в работах Сохоцкого [21) и Племеля [30], которые нашли применения в механике.
Интегралы типа Коши лежат в основе построения теории краевых задач голоморфных функций комплексного переменного, которая имеет многочисленные приложения в задачах математической физики (см., например, [15]). Особую роль в теории краевых задач играет формула перестановки повторного сингулярного интеграла, предложенная Пуанкаре в |37| и Бертраном в [28] для интеграла Коши, с ее помощью можно
4
получить формулу композиции (формулу обращения) для особого интеграла Коши (см., например, |7]).
Теория функций многих комплексных переменных, которая явилась естественным развитием теории функций одною комплексною переменного, представляет значительный интерес благодаря эффективным применениям методов этой теории в различных областях естествознания.
В 71-мерном комплексном пространстве Сп простейшим примером интегрального представления является кратная формула Коши (см., например, [26]), справедливая для поликруговых областей. Многомерная формула Коши выражает значения голоморфной функции через ее значения на части границы, называемой остовом. Ядро в формуле Коши не зависит от конкретного вида области, что делает интегральное представление универсальным. Но формула Коши обладает рядом недостатков, которые ограничивают ее применение, поскольку справедлива лишь для узкого класса областей.
Существует ряд других интегральных представлений, обобщающих интегральную формулу Коши для комплексной плоскости и справедливых для классов ограниченных областей с гладкими границами, причем интегрирование в них ведется по всей границе. Примерами могут служить интегральные представления Бохнера-Мартинелли, Коши-Фантаппье, Хенкина-Рамиреза.
Интегральное представление, полученное в работах Бохнера [29] и Мартинелли [34, 35], считается первым многомерным представлением, в котором интегрирование велось по всей границе области. Интегральное представление Бохнера-Мартинелли на комплексной плоскости совпадает с интегральной формулой Коши. Интегральное представление Коши-Фантаппьс, найденное Лере в [14, 32], можно также получить из интегрального представления Бохнера -Мартинелли. Предложенное в работе
Хенкина [22] интегральное представление является одной из реализаций формулы Коши-Фантапнье (см. также обзор [23]).
Как и в случае интегральной формулы Коши для функций одного комплексного переменного, интегралы в предложенных выше многомерных формулах становятся сингулярными на границе области, что требует рассмотрения их главного значения. В работах Альта [27], Керзмана и Стейна [31] для интеграла (типа) Хенкина-Рамиреза было рассмотрено главное значение у.р.Ь. Оно отличалось от обычного главного значения у.р. тем, что из границы области выбрасывался не шар, а „эллипсоид“, вытянутый вдоль комплексных касательных направлений. Ими было показано, что для функций, удовлетворяющих условию Гельдера, главное значение у.р.Ь. существует и справедлива формула, аналогичная формуле Сохоцкого-Племеля для интеграла (типа) Коши на комплексной плоскости. Кытманов и Мысливсц в [12] показали, что главное значение по Коши у.р. для интеграла Хенкина-Рамиреза отлично от главного значения у.р.Ь., тем самым заметили, что формула Сохоцкого-Племеля будет иметь другой вид. В той же работе было найдено главное значение у.р.Ь. для интеграла (типа) Бохнера-Мартинелли, а главное значение у.р. и аналог формулы Сохоцкого- Племеля для этого интеграла можно найти в монографии Кытманова [10]. В работе Кытманова, Пренова и Тарханова [13] для интеграла Бохнера-Мартинелли были рассмотрены формула перестановки повторного особого интеграла и формула композиции.
Несмотря на эти работы, вопрос о нахождении и сравнении главных значений у.р. и у.р.Ь. различных сингулярных интегралов оставался до конца не исследованным. Формулы перестановки особых интегралов и формулы композиции, полученные с их помощью, могут быть применены в теории сингулярных интегральных операторов. Но (в отличие от
6
комплексной плоскости [7, 15]) для функций многих комплексных переменных эта теория еще не развита, поскольку для интегральных представлений не найдены удобные формулы композиции.
Целью диссертационной работы является изучение главных значений особых интегралов Бохнера-Мартинелли и Коши-Сеге, их применение к рассмотрению граничных значений голоморфных функций, нахождению аналогов формулы перестановки повторных особых интегралов, получению формул композиции.
Методы исследования основаны на использовании методов математического анализа и многомерной теории функций, а также общих методов функционального анализа.
Основные результаты диссертации являются новыми. Перейдем к их краткому изложению.
Первая глава посвящена обзору известных ранее результатов и состоит из четырех параграфов.
В первом параграфе вводятся основные обозначения, приводятся определение строго псевдовыпуклой области и некоторые свойства таких областей. А именно, существование барьерной функции и биголоморф-ного отображения, переводящего (локально) строю плюрисубгармониче-скую функцию, определяющую область, в строго выпуклую функцию.
Нам понадобятся следующие обозначения. Если г, ги е С'\ то
<г, ги) = г\Ю\ + ... + гпгип.
Тогда |г| = у/(г, г), где г = (?ь ..., г„).
Пусть £> — строго псевдовыпуклая ограниченная область в Сп с границей дП класса С2, т.е.
П = {г е П1 : д(г) < 0},
где о(г) — вещественнозначная строго плюрисубгармоническая функция класса С2 в некоторой окрестности П] Э В и такая, что с1д ^ 0 на дО.
7
Для строго псевдовыпуклой области справедлива теорема о существовании барьерной функции Ф(С, г) в некоторой окрестности ^1(Э) (см. теорему 1.1.1) и
где Р = Рп) — гладкая вектор-функция переменных (С,^) €
П(О) х П(Л), голоморфная по г € П(£>) при фиксированном С € П(£).
Будем считать, что функция / принадлежит классу (т.е.
/ € 0 < а ^ 1. если для точек 6 выполняется нера-
венство
|/(0-/(г)1<С4|Ф(С.г)Г
Во втором параграфе рассмотрены интеграл Хенкина-Рамиреза и его главные значения по Коши и в смысле Керзмана-Стейиа. Эти главные значения различны для единичной функции. Приведены аналоги формул Сохоцкого-Племеля.
Третий параграф посвящен интегралу Бохнера-Мартинелли. Рассмотрено главное значение по Коши для этого интеграла. Приведена связь ядер Коппельмана с ядром Бохнера-Мартинелли. Кроме этого, рассмотрен аналог формулы перестановки Пуанкаре-Бертрана для интеграла Бохнера-Мартинелли и, как следствие, формула композиции.
В четвертом параграфе рассмотрен интеграл Коши-Сеге, который является частным случаем интеграла Хенкина-Рамиреза. Поэтому, для интеграла Коши-Сеге верны результаты второго параграфа.
Вторая глава посвящена исследованию интеграла Бохнера-Мартинелли и состоит из четырех параграфов. Все результаты данной главы справедливы для строго псевдовыпуклой области О.
Обозначим и (С, г) — ядро интеграла Бохнера-Мартинелли, т.е.
(»-1)! Ег-л-^чс*-%)#[*]л#
у(с’г) = 72«г-------------------------------'
8
- Київ+380960830922