Оглавление
Введение 4
1 Дискретные аналитические функции одного
комплексного переменного и ряды Тейлора. 11
1.1 Определение и примеры дискретных аналитических функций.................................................... 12
1.2 Системы псевдостепеней 19
1.3 Соотношение между аналитическими
и дискретными аналитическими функциями..................30
1.4 Примеры разложений дискретных
аналитических функций в ряд Тейлора.....................44
2 Дискретные аналитические функции многих
комплексных переменных и ряды Тейлора. 50
2.1 Основные определения и обозначения.......................50
2.2 Голоморфные функции в €п, принимающие
заданные значения на целочисленной решётке..............54
2.3 Многомерная формула Тейлора для целой дискретной аналитической функции.......................................56
2
3 Приложения теории дискретных аналитических функций к разностным уравнениям. 66
3.1 Дискретные аналитические функции первого и второго рода. Уравнение Даффина......................................67
3.2 Ряд Ньютона для уравнения Даффина.........................82
3.3 От экспоненты к уравнению.................................85
3.4 Линейное уравнение первой степени их + иу = 0 и его дискретный аналог............................................95
Литература 102
3
Введение
Актуальность темы
Понятие дискретной аналитической функции на гауссовой решетке С = была введено Р. Ф. Айзексом [1], 1941. Он классифицировал эти функции на функции первого и второго рода и исследовал функции первого рода.
Далее Ж. Феррал |2], 1944 и Р. Дж. Даффин [3|, 1956 создали теорию дискретных аналитических функций второго рода. Важные результаты, связанные с поведением дискретных аналитических и гармонических функций на бесконечности были получены С. Л. Соболевым |4], 1965. Новые плодотворные аналитические и комбинаторные идеи принес Д. Цайльбергер [5], 1977. Их развил и обобщил А. Д. Медных [6], 1982. Другой подход к дискретным аналитическим функциям был предложен
У. Тёрстоном в работе (7), 1985, где была получена эффективная, быстросходящаяея аппроксимация в теореме Римана для конформных отображений односвязных римановых поверхностей.
Все вышеуказанные результаты основывались па различных непосредственных линейных и нелинейных дискретизациях уравнений Коши — Римана. Напомним |1|, что дискретная аналитическая функция
4
/ : Z + zZ —► С первого рода определяется линейным уравнением
/m,n+1 /т,п — i(/m+l,n /т,п)» (1)
в го время как функции второго рода определяются уравнением вида:
«/m,n+l /m+l,n = *(/m+l,n+l frn,n')‘ (2)
Пионерский шаг в понимании природы дискретных аналитических функций был предпринят Р. Дж. Даффиным (8| , 19G8 где регулярная решетка Z + г Z была заменена на произвольный граф с ромбическими гранями. Далеко идущие обобщения этих идей были даны К. Мерка [9], 2001, где линейная теория дискретных аналитических функций была распространена на дискретные римановы поверхности. Р. Кэниён |10], 2002 развил теорию оператора Дирака и построил функцию Грина для линейной теории на ромбических графах. Этот подход привел к важным приложениям в теории кодирования Р. Идальго [11], 2007.
Второй подход, связанный с нелинейной теорией, основан на
идеях У. Терстона и показывает, что шаровые упаковки являются
естественным дискретным аналогом аналитических функций ([12], 1990, [13], 1995, [14], 1997, [15], 2002.) Одним из важнейших
результатов данной теории является доказательство того, что голоморфное отображение в классической теореме Римана может быть конструктивно аппроксимировано шаровыми упаковками ([16], 1987, [17], 1990, [18], 1998). Вариационный подход к шаровым упаковкам обсуждается в деталях в работе А. Бобенко, В. Спрингборн [19], 2004.
Слово "нелинейный "является базисным свойством уравнений, описывающих шаровые упаковки. Для функции / : Z + г Z —> С на
5
регулярной решетке такое уравнение введено в [20], 1995:
(/m-H.n ~ fm,n)(.fm+l,n+l ~ fm,n+1) _ __ j ф
(Ут,п+1 /т,п)(/т+1,п+1 /т+1,п)
Для шаровых упаковок с более глубокими комбинаторными идеями, обобщение этого уравнения на произвольные четырехугольные графы (планарные графы с четырехугольными гранями) дается в [21], 2002.
Нетрудно увидеть, что в каком-то смысле, решения уравнений (1), (2) и (3) являются дискретными аналогами аналитических функций. Действительно, предположим, что решетке Z+i Z соответствует решетка (т + гп)е Е С. Тогда ограничения аналитических функций на эту решетку удовлетворяют соответствующим уравнениям с точностью до 0(е2). Более точно, если / : С —> С является аналитической, то
f(z + ie) - J(z)
f(z + s)-f(z)
= г + 0(г ), (4)
и
f(z + ie)-f[z+e) , , Л/.а.
7(iT7TW=M-l + ois)' ^ (5)
(/(г + е) - /(*))(/(* + г + ге) - /(г + ie)) = _г +
(/(г + гг) - /(г))(/(г + г + гг) - /(г + г))
Аналогичные соотношения справедливы на более общих графах.
До недавнего времени, линейная и нелинейная теории дискретных аналитических функций развивались раздельно. В работе А. Бобеико, К. Мерка, Ю. Суриса [22], 2005 показано, что в некотором точном смысле первая теория является линеаризацией второй. Данная теория особенно богата для случая квазикрист&ллических замощений. Этот класс включает в себя как двойные периодические замощения (которые естественным образом рассматриваются на торе), так и непериодические,
б
подобные замощениям Пенроуза. В работах И. А. Дынникова и С. П. Новикова изучены дискретные аналитические функции на треугольных и шестиугольных решетках [23], 2003.
Цель работы.
Изучение свойств дискретных аналитических функций, заданных на гаусовой плоскости, а также дискретных аналитических функций многих переменных, заданных на решетке У?" С С".
Установление гомоморфизма пространства аналитических функций в круге на пространство дискретных аналитических на квадрате и описание его ядра.
Получение теорем существования и единственности разложения дискретной аналитической функции в ряд Тейлора по системе псевдостепеней.
Применение основных результатов теории дискретных аналитических функций к решению разностных уравнений.
Методы исследований.
Получение основных результатов опирается на идеи и на методы вещественного, комплексного и функционального анализа, теории интерполяции, исчисления конечных разностей и комбинаторного анализа.
Научная новизна.
Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1) Доказано, что любая дискретная аналитическая функция одного или нескольких переменных разлагается в сходящийся ряд Тейлора.
7
2) Установлено, что разложение дискретной аналитической функции в ряд Тейлора неединственно.
3) Полностью описаны дискретные ряды Тейлора, тождественно равные нулю на заданных подмножествах гауссовой плоскости.
4) Дано описание дискретных рядов Тейлора, тождественно равных нулю в положительном октанте гауссова пространства.
5) Найдены системы псевдостененей для линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Получены разложения решении указанных уравнений в ряды Тейлора по псевдоотепекям. Изучены вопросы единственности таких разложений.
Теоретическая и практическая ценность.
Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в области геометрической теории функций, многомерного комплексного анализа, исчисления конечных разностей и комбинаторного анализа. .
Апробация работы.
Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конферонциях и на семинарах ведущих научно-исследовательских институтов и университетов.
— на Девятой Казанской Летней школе-конференции ’Теория функций, ее приложения и смежные вопросы”, Казань, 1-7 июля, 2009 г.,
— на международной конференции “Аналитические функции многих комплексных переменных”, Красноярск, 12-18 августа, 2009 г.,
— школе-конференции молодых ученых по геометрическому анализу, Горно-Алтайский Государственный Университет, 2-9 августа, 2010 г.,
— на международной конференции “7-th International Conference of Lat-
8
- Київ+380960830922