Геометрические методы в экстремальных задачах

Содержание
Введение...............................................................3
Глава I Гомотопический метод в бесконечномерных
экстремальных задачах.......................................50
§ I. Деформации гладких оптимизационных задач
с ограничениями типа неравенств...............................50
§ 2. Деформации гладких оптимизационных задач
с ограничениями типа равенств.................................67
§ 3. Деформации липшицевых функционалов............................76
§ 4. Деформации липшицевых задач математического
программирования..............................................83
§ 5. Гомотопическая инвариантность слабого минимума................89
§ 6. Задача оптимального управления движением......................94
§ 7. Деформации многокритериальных задач..........................101
§ 8. Многокритериальные задачи с ограничениями....................108
§ 9. Достаточные условия для существования глобального
минимума в многокритериальных задачах........................114
Глава П. Границы производных полиномов на выпуклых телах.............121
§ 1. Оценки первых производных полиномов
на выпуклых телах............................................121
§ 2. Обобщение неравенств Б.С.Виленского..........................141
§ 3. Подготовительные леммы.......................................161
§ 4. Оценки старших производных полиномов на выпуклых телах..174
§ 5. Оценки производных полиномов на кубе в е”....................200
§ 6. Оценки производных полиномов на теле, ограниченном
эллипсоидом В Е""........................................... 203
§ 7. Оценки производных от однородных форм....................... 205
Заключение.......................................................... 210
Литература.......................................................... 212
Введение
Введение состоит из двух частей, соответствующих двум главам диссертации.
Широкое распространение методов оптимизации в различных областях естествознания и внутреннее развитие этой теории привело к появлению огромного количества работ по этой тематике. Например, развитию и обобщению классического результата П.Ферма посвящвЕЫ работы [1,3,13,14,15,16,17,18,24,31,32,34, 35,38,39,42,43,45,47,48,53,55,57,62,63,69,73К Необходимые и достаточные условия второго порядка в экстремальных задачах имеются в монографиях и работах [13,14,15,17,24,30,34,36,45, 47,48,62,701.Развитие теоремы Л.А.Люстерника [37] и ее приложения в теории экстремальных задач содержатся в [15,23,24,651. Обобщению классической теории экстремальных задач на негладкие задачи (выпуклые и липшицевы) посвящены монографии и работы [9,19,20,22,24,29,41,58,76,771. Различные обобщения классических работ Вейерштрасса содержатся в [14,15,161. Основопологаю-щие результаты, связанные с понятием монотонности и потенциальности, изложены в работах 115,27,28,51,52,681. Различным обобщениям и приложениям теоремы Эклзкда [601 (вариационные принципы Борвейна-Прайса, Де Билля, Иоффе и Тихомирова и др.) посвяшены работы (25,44,49,50,59,66,67,71,72,74,751.
Некоторые разделы теории оптимизации (например, линейное, квадратичное и выпуклое программирование, теория необходимых условий оптимальности) приобрели устойчивый вид. Другие разделы .например, теория достаточных условий оптимальности, находятся в состоянии развития. Имеющиеся здесь методы обычно исследуют специальные классы оптимизационных задач и носят частный характер.
3
В работах н.А.Бобылева разработан деформационный принцип \тт-мума для анализа широких классов оптимизационных задач.
Он состоит в том, что если в процессе специальной, невырожденной деформации оптимизационной задачи ее экстремаль остается равномерно изолированной, то она сохраняет свойство быть точкой минимума. Этот деформационный метод не связан с повышенной гладкостью функционалов и эффективен в вырожденных ситуациях. Важную роль в понятии не вырожденной деформации экстремальной задачи играет свойство (Б) нелинейных операторов, вве-деное Браудером [54,56] и независимо от него И.В.Скрылником [421 в связи с проблемами разрешимости краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений и в связи с вопросами сходимости метода Галеркина. Близкие к обладающим (Б)-свойством классы операторов (усиленно замкнутые операторы) рассматривались С.М.Похожаевым [40] и Брезисом [51].
Деформационный принцип минимума для гладких функционалов на гильбертовых пространствах приведен в работах [51,[61.
Его конечномерный эквивалентный вариант содержится в работе (41. Инвариантность минимума при невырожденных деформациях гладких функций конечного числа переменных доказана в работе [61]. Обобщение деформационного принципа минимума на случай функционалов, определенных на рефлексивных сепарабельных банаховых пространствах, содержится в работе [23. В (6] изложены приложения деформационного принципа минимума к задачам вариационного исчисления. Теорема об инвариантности слабого минимума при невырожденных деформациях вариационных задач доказана в работе [463. Обобщение деформационного принципа минимума на Липшице вы функции конечного числа переменных и его приложение к исследованию задач нелинейного программирования изложены в
4
работах [7,8,10,11]. Развитию деформационного принципа минимума и его обобщению на лишшцевы функционалы, определенные на бесконечномерных пространствах, а также на задачи с ограничениями посвящены работы автора [151-1561. Деформационный принцип минимума для многокритериальных задач изложен в работе автора (1571. Обобщения деформационного принципа минимума на случай не дифференцируемых функционалов, определенных на метрических пространствах, содержатся в работе С64]. В монографии [77] изложены методы исследования различных классов вариационных задач, основанные на геометрических и топологических понятиях (степень отображения, род множества, деформационные инварианты, категория Люстерника-Шнирельмана и др.).
В первой главе диссертации развивается гомотопический (деформационный) подход к исследованиям бесконечномерных оптимизационных задач. В первом параграфе первой главы исследуются деформации гладких оптимизационных задач с ограничениями типа неравенств.
Определение невырожденной деформации оптимизационной задачи зависит от гладкости исследуемых функционалов и типов ограничений. Чтобы минимизировать повторения, приведем одно из самых общих ее определений.
Пусть Е - вещественное банахово пространство с нормой и ■ ||,
1(х)-локально Липшицев функционал, определенный на Е, <9Г(х)-градиент Кларка функционала Г(х).Пусть В<Ю={ХеЕ:||х||<Ю-шар в Е. Будем говорить, что функционал Г удовлетворяет условию (ПС)
Пале и Смейла 181] на В(И), если для каждого замкнутого множества ВсВ(Ю справедливо следующее свойство: если ОепШх) для кзк-дого ХеБ, то
5
1nt |y||E* > 0.
7€<?f (z) .XeD
Класс функционалов, удовлетворяющих условию (ПС), достаточно широк. Например, ему принздлекзт функционалы, определенные на рефлексивном банаховом пространстве и удовлетворяющие (S) условию: если хп слабо сходится к хо и
11т 1пГ < У.х„-хо > $ О,
"-•оо yedi (хп)
то хг сильно сходится к хо. Такие функционалы называются Е-
праБкльными.
Однопараметрическое семейство задач Г(х;\Ып1п, ф(х;А,К0,
ХеС(\). (ХеЕ. fcetO.U)
назовем невырожденной деформацией задачи f(x;0)-mln, ф(х;0)^0,
ХеС(О), в задачу
Г(х;1)-mln,
Ф(х;1 )Ф,
Х€С(1),
если:
A) при каждом telO.IJ С (А) - замкнутое выпуклее множество;
B) функционалы t(х;А),ф(х;\) и dc^j(x) <dc(x)=inf ||х-с||)
по А. равномерно непрерывны относительно х из каждого шара В(г)сЕ , а функционалы f(x;A) и ф(х;А) лишшцевы по х на каждом шаре В(г)сЕ при каждом Ас(0,1];
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
6
С) многозначные отображения дхГ(х;А.) дхф<х;\),«Эх(1с^ <х):
ЕхСО,1)-£* полунепрерывны сверху по X равномерно относительно х на каждом шаре В(г)сВ;
B) задача (1)-(3) имеет экстремаль хф(А.) (АеЮ.И), непрерывно зависящую от т.е. точку х*(Ме{М=В(Х)=С<\)п<х:ф(х(?О<0}, для которой
0<= удТ(хш{\);\)^{хш(Х);\)+адЧ0(1){х^(Х);Х), цф(х«. а)*Л)=0,
где т,р,а некоторые числа, такие, что 7,р,аг0 и 7+р>0.
Е) существует И>0 такое, что при каждом л^СО,13 и х^ В(х*(М,Юп1>а)\{х*а)>
О едЛх;Х)+ц£ф(х;А.)+с0с1с^) (*)» рд|>(х;А.)=0; р>0,а>0
Р) для каждого Л«[0,11 и в каждой точке х, для которых ф(х;\)=0, функционал ф(х;А.) регулярен;
C) при каждом Л€[0,1 ], и |х,а>0 функционал
Г(х;Л.>+мд|Т (х;Л.)+а(1с(Я)(х)
удовлетворяет условию (ПС) на каждом ограниченном множестве в Е ,ф*(хД)-тах(0,ф(хД)).
Если ограничений типа (2) несколько, то, соответственно, все они присутствуют в формулировках. Для липшицевых функционалов несколько ограничений типа (2) можно заменить одним ф(х)=шах.ф. (х)<0.
Приведем формулировку результата первого параграфа.
Пусть Н-вещественное гильбертово пространство. Рассмотрю/! зависящие от параметра \ дифференцируемые функционалы ?(хД), £<хД) (0<л.<1, 1-ТТЯ),(ХвН).
7
Назовем однопараметрическое семейство задач:
Г(хД)-т1п,
^(хД)<0 (1=Т7Н).Лб(0,11,
(10)
(11 )
невыроаденной деформацией соответствущих задач при изменении А от 0 до 1, если выполнены условия В)-Е) и при каадом А« 10,11 градиенты 7хГ (хД),7Д (хД) удовлетворяют условию Липшица на каадом шаре В(х,г)сН» функционал Г(хД) Н-правилен и либо множество Б^{хеН:^(хД)<0, 1=Т7Ю выпукло, либо все £(хД)
Н-правильны.
Теорема 1.1. Пусть семейство задач (10)-(11) является невырожденной деформацией соответствующих задач при изменении А, от О до 1. Пусть на экстремали х„(М градиенты уд^х.Д) Д) 1=Т7П линейно независимы. Пусть при А.=0 экстремаль х.(0) является точкой локального минимума задачи (10)-(11). Тогда экстремаль х*(1) является точкой локального минимума задачи (10)—<11)
ПрК А.= 1 .
Во втором параграфе первой главы развивается деформационный подход к исследованию гладких оптимизационных задач с ограничениями типа равенств.
Пусть Н-вещественное гильбертово пространство. Рассмотрим зависящие от параметра Л. дифференцируемые функционалы Г(хД)» в(хД> (0<А<1, ХсН).
Назовем однопараметрическое семейство задач:
невырожденной деформацией соответствующих задач при изменении А. от 0 до 1, если выполнены условия В)-Е), при каадом \е10,1) градиенты 7хТ(хД),7хв(хД) удовлетворяют условию Липшица на
Д)-ш1п,
в<хД)=0 шо,и
(12)
(13)
8
каждом шаре В(х,г)сЯ, 7Xg(x* (А.)Л)*0 и существует такое го>0, что для а, удовлетворяющего неравенствам
1пХ Ф(х,Х) < а < sup ф(х,А.),
xgD(r,A> xgDCr
О о
где ф(ХД)=(7хг<ХД), 7xg(x,X))/|7xg(x,X)||2, D(ro,A,)=<x:g(xA)=0,
j|x-x.(\)||<ro}, функционал Г (x,\)-ag(x,A.) Н-правилен на шаре В(х#(\),г0), Л^О.П.
Теорема 2.1. Пусть семейство задач <12)—(13) является невырожденной деформацией соответствующих задач при изменении А, от О до 1.Пусть при Х=0 экстремаль х. (0) является точкой локального минимума задачи (12)—(13). Тогда экстремаль х, (1) является точкой локального минимума задачи (12)-(13) при \=1.
В третьем параграфе деформационный принцип минимума доказывается для негладких ( Липшицевых) оптимизационных задач в банаховом пространстве.
Пусть Е - вещественное банахово пространство Теорема 3.1. (деформационный принцип минимума).
Пусть Г(х;А.) - невырожденная деформация функционала Г(х;0) в функционал Г(х;1), удовлетворяющая условиям A)-G). Пусть экстремаль х.(0) реализует локальный минимум функционала f(x;0).
Тогда экстремаль х.(1) реализует локальный минимум функционала
Г(х;1)•
В четвертом параграфе исследуются деформации негладких задач математического программирования. В теоремах 4.1 и 4.2 устанавливается следующий результат.
Пусть однспараметрическсе семейство задач (1)-(3) удовлетворяет условиям невырожденной деформации А)—G)
Пусть при каждом ;w(a,i J и a 2 О для функционалов Ф(х;А,) и
9
(k)(z) выполнено условие регулярности
О «Г Ä|»(x.(M,M+aMc<X)(x.(Ä.))
Пусть экстремаль х.(0) является точкой локального минимума задачи (4)-(6). Тогда экстремаль хф(1) является точкой локального минимума задачи (7)-(9).
В пятом параграфе первой главы устанавливается гомотопическая инвариантность слабого минимума простейшей задачи вариационного исчисления.
Рассмотрим пространство <£ непрерывно дифференцируемых на
(0,1) функций x(t), удовлетворяющих условию Х(0)=Х(1)=0, с нормой ||х0 = гвах|х' (t)| (0<t<n. Рассмотрим на С* семейство оптимизационных задач
t0(х;Л.) = Г L0(t,x,x' ;\)dt * min (0<л,<1), (14)
Пусть лагранжианы Ь, (г,х,у;Л) триады непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных и их производные по этим переменным непрерывно зависят от А,.
Пусть при Ае(0,1) градиенты 7хГ (0;А.) (1е«Н0,А.)=<$:Л>о,
Г (0;А)=0>) линейно независимы.
Теорема 5.1. Пусть при каждом А, € (0,1) функция х(г) = О является единственной в шаре ||х|| < 1 пространства <£ экстремалью задачи (14)-(15). Пусть для Ь. выполнены усиленные условия Лежандра Ь'у^,0,0;А.) > ао > 0 (0<г<1, 1=0Г,И). Пусть, накс-
О
(15)
10
нец, при А. = 0 экстремаль ха) = 0 реализует локальный минимум е С‘ задачи (14)-(15). Тогда эта экстремаль реализует локальный минимум е С* задачи (14)-(15) при К = 1.
В шестом параграфе рассматривается вопрос применения деформационного принципа минимума к задаче оптимального управления движением.
Рассмотрим задачу оптимального управления движением со свободным правым концом, закрепленным временем и ограничениями типа неравенств
Т
Г р (г,ха),иа))<1г -♦ шт, (16)
т
Г ? а,ха),ии))<и; < о, а=гд), (17)
'о
бх/<и = #и,х,и) = §о(г,х)+А(г)и(г), х(0) = о. (18)
г
Г иги)<и < 1. (19)
' О
Функции Рс (г,х<г) ,и<г)) (1=07Ю и вектор-функция §(г,х,и)
(0<г<Т, х <= к”, и € к“, ли) - матрица размером N х М) предполагаются непрерывными по совокупности переменных вместе с первыми производными по хг, иа(г=Т7Я; 3=Т7Ю. Ограничения вида
(19) возникают в задачах коррекции движения: они отвечают управлению с ограничениями по энергетике.
Пусть при каждом управлении и = и(Г) € Ьг(0,Т) задача Коши
(18) имеет единственное решение х = x(t). Оператор, сопоставляющий управлению и решение х, обозначим через <р. Тогда задача (16)-(19) эквивалентна задаче оптимизации
11
т
го(и) = ?в<г,ф(и),и<1>)<11; ч ш1п,
(20)
'о
1
г. (и) = I Р^(г,ф(и),и(г))<11 < о, (1=Т7К),
(21 )
о
и € В,
(22)
где В - единичный шар пространства Ь2Ю,Т).
При естественных ограничениях на рост функций и g, функционалы Г являются 1»2 СО,Т] — правильнными. Если при этих условиях экстремаль и. задачи (20)-(22) является изолированной в пространстве Ь2[0,11, то для исследования задачи (20)-(22) можно применить деформационный принцип минимума. Условиям, при которых функционал
является Ь210,Т)- правильным, посвящен шестой параграф.
В седьмом параграфе первой главы деформационный принцип минимума обобщается для многокритериальных оптимизационных задач в банаховом пространстве. При этом число критериев может быть бесконечно.
Пусть X и У вещественные банаховы пространства. Пусть У сепарабельное или рефлексивное пространство. Пусть задано отображение Р(х):Х-.У, имеющее строгую производную С8Р<х) в каждой
точке х<=Х. Пусть на У задан конус К , определяющий частичную упорядоченность на У: для и,у€У и < V , если у-и^К, и и<у, если и<у и и*у. Будем называть точку хж«=Х локально К-оптималь-
ной течкой отображения Р(х), если существует окрестность V точки
т
о
12
х„, все точки которой не удовлетворяют неравенству F(X)<F(X„>.
Точку х^еХ будем назызать локально оптимальной точкой
отображения Р(х), если существует окрестность V точки хЛ, для
всех точек которой выполнено неравенство F(x*)<F(x). Если
P(x*)<F(x) (XeV, х*х*), то точка х* называется строго локально
оптимальной точкой отображения F.
Задачи нахождения локального К-оптимума или локального оптимума отображения F(x) будем обозначать F(x)-K-opt. и F(xbopt. Рассмотрим множества K*={pcY*:p(u)>0 VUeK), 1Р=(реК*:||р||у*=1}
Точку X*. для которой удовлетворяется включение
О € c5(£=l.i.m(D8F(x*))*p.:p.eg>),
i-fOO
будем называть критической точкой отображения F(x). Однопараметрическое семейство отображений F(x;X):X-Y и се-
9
мейство конусов K(McY (0<\<1 ) назовем B{R) - невырожденной деформацией отображения F{x;0) и конуса К(0) в отображение F(х;1) и конус К(1), если
1 ) отображение F(x;A) строго дифференцируемо по х на B(R)= B(R) при любом XgfQ,11 и по Л. равномерно непрерывно отно-
9
сительно xdü(Rt)cB(R);
2) отображение DeF(x;^.):В(П)хto, 1 3-*(X,Y) равномерно ограничено по норме при каждом МОЛ относительно xeB(Ri)cB(R)
о
и по А. равномерно непрерывно относительно XeB(R1 )cB(R) ;
3} многозначное отображение А-К(А)пВу полунепрерывно сверху;
4) многозначное отображение А.^К(А)пВу усиленно полунепрерывно снизу, а именно для каждого Хое[0,1] и 8>0 найдется окрест-
13
ность N(Хо[0.13 точки Л.о такая, что для точек л^Н(Хо) выполняется соотношение (и+€Ву)пК(\)п13^0, УиеК(\о)пВу,
5) при каждом X«[0,13 у отображения Р(х;А.) при конусе К{\) суще-
9
ествует критическая точка х„(А.)еВ(К1), непрерывно зависящая от А.,
6) при каждом ) функционал
Г (х;Х)= 8ир(р(?(х;Л)-Р(х*<\) Л)):реХ*(Х),||р||у-=1 >
о
удовлетворяет условию (ПС) на В(Н) и на множестве В(Я)\{хж(А.)> не имеет критических точек.
с
Теорема 7.1. Пусть существует В(И) - невырожденная деформация отображения Р(х;0) и конуса К(0) в отображение Р(х;1) и конус К{1). Пусть хж(0) является точкой локального К-оптиму-
ма отображения Р(х;0). Тогда хж(1) является точкой локального К-сптимума отображения Р(х;1). Если на В(И)\(хж(1)} функционалы р(7(х;1}) (реф{1)) не имеют критических точек и удовлетворяют условию (ПС), то хж(1) является строго локально оптимальной точкой отображения ?(х;1).
В восьмом параграфе исследуются многокритериальные задачи с ограничениями. Рассмотрим задачу К-оптимизации с ограничениями Р(хьк-орг, (23)
<|>(Х)<0, (24)
х€С, (25)
где отображение Р(х) описано в параграфе 7 ф(х) - Липшицев функционал на каждом шаре в X, С - замкнутое выпуклое множество. Пусть 0={х:ф(хК0}, Б=0пС. Точку хф€Б назовем экстремалью задачи (23)-(25), если
0 € со(|=1.1.ш(В8Р(хф))*р1 :р1€^)+цаф(х.)+аа<1с(х1,), цф(хф)=0,
и
где p.a > 0. Однопараметрическое семейство задач F(x;A)-K-opt, (K(A)CY), ф(х;АК0,
(26)
(27)
(28)
хеС(А),
(ХеХ, ЯеС0,13)
назовем невырожденной деформацией соответствующих задач при изменении параметра Я. от 0 до 1, если:
а) отображения ?(z;A) и конусы К (А,) удовлетворяют условиям
1) -4) параграфа 7 (при этом B(R)=X);
б) множество С (А) и функционалы ф(х;А) и dc(^(x) удовлетворя-
ют условиям А)—С) и ?);
в) задача (26Ы28) при каждом AetO.U имеет экстремаль х*(А) непрерывно зависящую от А;
г) существует R>0 такое, что при каждом АеС0,1] и Xe B(x^(A),R)nD(A) \ (х.(А))
Ое а1(х;А)+р0ф(х;А)+аа<ас^) (X),
где f(x;A)=sup p(F(x;A)-7(x„(A);A))(pgX*(A),||p||v» =f) , p > 0, a > О, рф(х;А) = 0;
д) при А^Ю.П, и р,а>0 функционал Т(х;А)+рф' (x;A)+adc ц j (х)
удовлетворяет условию (ПС) на каждом ограниченном множестве
з X ,ф*(х,А)=тах(0,ф(х,А)).
Теорема 8.1. Пусть существует незырожденная деформация (26 )-
(23)соответствующих задач при изменении А от 0 до 1. Пусть при
каждом AetO.13 и a ) 0 для функционалов Ф(х;А) и dc(^(x) выполнено условие регулярности Ое дф(х,(А),А)+аабс^(х,(А)).
Пусть точка х,(0) является точкой локального К-оптимума задачи
(26)-(28) при А=0. Тогда точка х„(1) является точкой локального
15
К-оптимума задачи (26)-(28) при \=1. Если функционалы р(Р(х;1 ))+рф*(х;Т )+ad0(1 >0) (реф(1 ),p.,oöO) на каждом шаре
удовлетворяют условию (ПС) и на D<1 )nB(x„ (1).R)\<x^, (1)) не име ют критических точек, то х„(1) является строго локально оптимальной точкой задачи
?{x;i)-opt, ф(х;1)<0, ХеС(1).
В девятом параграфе первой главы получены достаточные условия для
существования глобального многокритериального оптимума.
Локально липшцев функционал ф(х) на банаховом пространстве
X удовлетворяет слабому условию (ПС)[81], если для любой
последовательности х , new, в X, обладающей свойствами
?%
|<p(x )|<const, Oeüpd ) vn , lnX ||y| * - 0,
У€*Р<*П»
существует точка x„€X, такая, что
lim Inf <p(xn)«p(x. )Шт sup <p(xj, Оедф(х.).
В теореме 9.1 доказывается обобщение результата Амброзетти и Рабиновича С81].
Теорема 9.1. Пусть X - банахово пространство и <р : № локально Липшицев функционал, удовлетворяющий на X слабому условию (ПС) и
эа>а:ш(а)=1пГ(ф(х) : ||х||=а}>ф(0), 3Z€X:||z||>a и <p(z)<m(a).
Тогда существует точка х„€Х такая, что Ф(х„)£т(а) и Ое<Эф(х„).
Теорема 9.2. Пусть выполнены условия теоремы 8.1 и следующие соотношения:
sup |у|х* < оо . ШГ ||УИХ* > 0,
, 1 >rx^X4D<iJ
для каждого хе D(1)\{х.(1)>
16
О * ЗГ(х;1)+рдф(х;1)+a3dc(1)(х>, где цЖ), а>0, рф(х;1 )=0.
Пусть для достаточно больших а к а функционал f(x;f )+уф‘(х;1 )+adc(1 }(х)
удовлетворяет слабому условию (ПС). Тогда точка хф(1) реализует глобальный X—оптимум задачи
?(х;1 )-»K-opt, (K(t)cY), ф(х;1 КО, XeC(f).
Если функционалы р(F(х; 1 ))+рф‘(х;1 )+adc,., v(x) (рц=р(1 ),ц,а>0)
не имеют критических точек на D(1 )\(х,(1)), удовлетворяют условию
(ПС) ка каждом шаре и слабому условию (ПС) на X, то точка х„(1)
реализует глобальный оптимум задачи F(x;1)-*opt, <}>(х;1 КО, хеС(1),■
Пусть ф(х;Х)=ф(х), С(А.)=С (^10,11), функционал Г(х; 1) тот же, что и з теореме 8.1, а f(x;0) - некоторый литицевый на каждом шаре функционал.
Теорема 9.3. Пусть X - рефлексивнее пространство и функционалы Ш;0), Г(х; 1), ф(х) - слабо полунепрерывны снизу. Пусть выполнены следующие условия
а) семейство оптимизационных задач g(x;\)=(1-A,)f (х;0)+Шх;1 )•♦ т.1п, ф(х)<0, ХеС
не имеет экстремалей в X отличных от нуля при bet0,1);
б) обобщенные градиенты Зф(х) и 3dc(x) удовлетворяют условию
регулярности при х*0 0 p^(x)+addc(x), р.,а>0;
в) функционал f(x;0) является растущим на допустимом множестве D=CnQ
lijn Г(х;0)=оо;
1XI -»00
Тогда точка 0 реализует глобальный К-оптимум задачи
17
P(x;1>-K~opt, K(1)cY), ф(х;1 )<0, х«С.
Все приведенные теоремы § 7- § 9 распространяются на случай, когда Y конечномерно, а компоненты вектора ?{i)=(ft(x).......*„(*)) являются локально Липшицевыми функци-
оналами .
В различных областях анализа, в конструктивной теории функций, з теории приближений, в численных методах решения нелинейных уравнений, а также в других задачах (например, задачах кодирования и декодирования), где нужно знать осциллирующие свойства полиномов, важную роль играют оценки производных алгебраического полинома (соответственно, тригонометрического полинома). В численных методах, используемых для исследования задач теории управления, эти оценки с необходимостью возникают, например, при выборе шага интегрирования диф$ерециальных уравнений с полиномиальной правой частью, в методах градиентного спуска - для оценок управляющих параметров (т.е. шага спуска), в методе Ньзотока-Кан-•торовича - для оценок области существования решения. Некоторые схемы применения оценок производных полиномов к прикладным вопросам приведены в конце введения.
Начало исследованиям производной полинома на отрезке положил
А.А.Марков (851 в 1889г. Первая постановка вопроса возникла, как ответ на зопрос Д.И.Менделеева, относящийся к полиномам второй степени, поставленный в работе "Исследование водных растворов по удельному весу". А.А.Марков доказал, что если полином степени п удовлетворяет неравенству
(29)
то
18
|р;<х)|«г; (i)=n*, -i«i, (30)
где
T (x)=cos(narcosx).
п
Равенство в (30) достигается только для полиномов Р (х)=сТ (х), |с|=1 в точках х=±1.
г* гл * »
В.А.?<!арков (363 в 1892г. обобщил теорему А.А.МаркоЕа на случай производной порядка к, 1<к<п и доказал, что при условии (29) выполняется неравенство
lk> <k, n2(n2-i )...(n2-(k-i)2)
|P‘ (x) | < T‘k’ (1)=---------------------------, X€(-1,f), (31)
<2k-1)Ü
причем равенство в (31) достигается только для полиномов Р (х)=сТ (х) (IсI=1) в точках х=±1.
г» г> 1
С.Н.Бернштейн 1873 получил, при условии (29), оценку
kk/2n(n-1)...(n-k+1)
(1-х2 У
и показал С873, что для фиксированных к и х справедливо равенство
11ш В"1, (х) sup |?<к,(х)| = к'к''2, Х€(-1.1), к=Пп. (33)
При к=1 оценка (32) получена А.А.Марковым (853. А.Шеффер и Р.Даф-фин (883 установили, что из (29) следует более сильная, чем (32), оценка
ip;k> <х)| $ -—= в fc<x), x«(-i ,1) (32>
Г M.(X)=|T;k>(X) + lS‘k) (Х)|, \'£\<С'
|Р:к>(хж к к(х)={ ' (34)
1 |т:к>(х)|. |х|>С'
где S. (x)=sin(narccosx)=n',(l-xz)1''2T; (х), ^’-максимальный
ноль функции S^k>(x) на интервале (-1,1), 12=-1. Функция Nnk(x) возрастает на (О,®). Оценка (34) точна в n-k+1 нулях функции
19
Б‘к>(х) к при |х|>{|к1.
В работах В.А.Маркова [86], Е.В.Вороковской [89] получена точная мажоранта для всего множества (Р^(х))(хе(0,1). В [86]
и (90) доказана точная мажоранта для (р'к>(х)>, к-ТТп.
С.Н.Бернштейном [87] и В.С.Виденским [91] получены оценки, обобщающе оценку (34). С.Н.Бернштейн [87] и М.Рисс [92] получили
следущее неравенство для тригонометрического полинома порядка п
яз;св)п0 * п||8п(в)цс (35)
С.Н.Бернштейн [87] и С.Сеге [93] установили более сильное, чем (35), неравенство для тригонометрических полиномее зл(0) с
вещественными коэффициентами
||((з; (0))2+П23*(0))1^||с ^ П|Вп(в)|с, (36)
которое превращается в равенство при зп(в)=Асозпе+Вб1ппв.
Из (36) Еытекает неравенство для Рп:к.,к и ||Рп(х)|1.1
|Р;(х)|<п((1-Р2(х))/(1-х2))1'2, Хе(-1,1). (37)
Неравенство (37) является тождеством для полинома Тп(х).
В неравенстве Бернштейна (35) норма зп(9) может быть заменена нормой разности бп (в+И)-зг (8) с заданным шагом И. В этом направлении ’имеется неравенство С.М.Никольского С943 Из;(©)цс <(п/2)Ц8п(в+т/п)-8п(0)||с
и его обобщение, полученное С.Б.Стечкиным (95] для 0<П<21Г/п.
В работе [96] И.И.Привалова показано, что для тригонометрического полинома зп(9) из неравенства
|5п(9)|^1, чо^9^о, 0<ш<х (38)
20