Некоторые вопросы теории устойчивости классов липшицевых отображений

Введение 3
Глава I. Устойчивость классов лиишицевых отображений, порожденных выпуклыми компактными
множествами в 13
§1.1 Обозначении. Постановка задачи устойчивости 13
§1.2. Некоторые теоремы устойчивости для случая произвольных размерностей пит. 28
§1.3.Слабая связность множеств 18
§1.4.Устойчивость классов вектор-функций одной переменной (п = 1} 30
§1.5.Устойчивость классов вещественных функций нескольких переменных [т — 1) 34
§1.6.Устойчивость классов решений систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка 40
Глава II. Устойчивость классов липшицевых отображений, порожденных квазивыпуклыми множествами. Теоремы Дарбу и Лагранжа. Устойчивость в теореме Дарбу 43
§2.1. Предварительные сведения. Основная теорема устойчивости 44
§2.2.Устойчивость и qc-cвязнocть 49
§2.3. Теоремы Дарбу и Лагранжа для вектор-функции 56 §2.4.Устойчивость классов аффинных отображений. Устойчивость в теореме Дарбу 87
Глава III. Классификация устойчивых классов липшицевых функций одной переменной 97
§3.1. Формулировка основных результатов 97
§3.2.Некоторые примеры 101
§3.3. Доказательство теорем §3.1 103
Литература 126
Турся« Ьу Ч
ВВЕДЕНИЕ
Теория устойчивости классов отображений играет значительную роль в современном анализе. Одним из ведущих направлений в ней являются исследования по устойчивости плоских и пространственных конформных отображений. После ранних работ М. А. Лаврентьева [37 -40], основные результаты здесь были получены П. П. Белинским [2 5] и Ю. Г. Решетником [41-51]. Среди остальных публикаций по данной тематике отметим статьи В. И. Семенова об оценках отклонения квазиконформного отображения от конформного [52-56]. Из недавних работ по устойчивости конформных отображений упомянем результаты для четных размерностей при минимальных предположениях о степени суммируемости производных (на базе подхода Т. Иванца-Г. Мартина, см., например, [63, 73]), а также построение соответствующей теории для случая неевклидовых пространств — групп Гейзенберга (см., например, [12]).
Альтернативное направление исследований было предложено Ф. Джоном в его работах по устойчивости класса изометрических преобразований [64-66!. Более сильные теоремы устойчивости для изометрий были получены в [50], где доказана устойчивость в W*-норме в целых областях весьма общего вида.
Говоря в общем, на этих направлениях устанавливается близость (в С- или Ир1-нормах) (1+£)-квазнконформных (квазиизометриче-ских) отображений к конформным (соответственно изометрическим).
Близкие но духу исследования были проведены Л. Г. Гуровым для класса псевдоизометрий [8].
Классы конформных и изометрических отображений совладают с классами решений дифференциальных соотношений </{х) € IRf.50(r>.) и д'(х) € SO(n) соответственно (g’(x) дифференциал отображения
д). Множества R+S(){n) и SO[n) являются наиболее характерными
■1
примерами так называемых квазивыпуклых множеств, так что упомянутые исследования по устойчивости примыкают к теории квазивыпуклости, берущей начало от работ Ч. Морри [70, 71) и интенсивно развивавшейся в последнее время усилиями Д. Волла, С- Мюллера,
В. Шверака и др. (см., например, [58, 61, 72]). В последней теории имеются некоторые аналоги теорем устойчивости для классов решений дифференциальных соотношений д'(х) О. С почти всюду (п. в.) с квазивыпуклым множеством (7.
Повое развитие теория устойчивости получила благодаря созданию А. П. Копыловым общих подходов к изучению проблем устойчивости классов отображений, названных им концепциями и и-устойчивости [18-20]. Первая из них восходит к теории устойчивости конформных отображений, в то время как вторая имеет дело с классами липшицевых отображений и регулярным образом согласуется с упомянутой теорией Ф. Джона. А именно, ^устойчивость класса изометрических отображений и устойчивость этого класса по Ф. Джону суть одно и то же (см. [19]). Понятия £- и ^-устойчивости означают, по существу, что из локальной близости отображения / к отображениям изучаемого класса Ф следует его близость к ним в С-норме. В частном случае, когда отображение / дифференцируемо, локальная ^-близость / к отображениям класса 0 эквивалентна малости расстояния (абсолютного) от дифференциала Г(х) до множества линейных отображений класса 3 (см. точную формулировку этого утверждения в лемме 1.1.1). Отметим, что в теории ^-устойчивости локальная близость дифференцируемого отображения / к отображениям класса Ф равносильна малости относительного расстояния от /'{х) до множества линейных отображений из Ф (см. [20}).
Вопросам ^-устойчивости классов отображений посвящен ряд работ А. П. Копылова и Н. С. Даирбекова [9-11, 20-24]. В этих работах, в частности, были доказаны теоремы о ^-устойчивости клас-
5
сов многомерных голоморфных отображений, пучков решений эллиптических систем уравнении с частными производными, классов сепаратно-конформных отображении. В последнее время теория и;-устойчивости разрабатывалась А. А. Егоровым [13-14], который получил интересные результаты, касающиеся классов аффинных отображений. а также пучков решений систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными.
Главная часть диссертации посвящена дальнейшему развитию теории устойчивости классов липшицевых отображений в рамках концепции ^-устойчивости. При этом большинство результатов касается классов отображений Ф следующего вида. Пусть имеется разбиение С = |Д 6’, непустого компактного подмножества С пространства
£(!£",Кт) линейных отображений из й" в Кт. Тогда класс Ф состоит из всевозможных локально липшицевых отображений д : Д -> Кт област ей Дей”, для каждого из которых существует элемент разбиения С( такой, что д есть решение дифференциального соотношения д'{х) 6 б?/, п. в. в Д (см. определение 3.1.1).
В процессе исследований автора выявилось внутреннее родство между задачами устойчивости и обобщением таких классических теорем дифференциального исчисления, как теоремы Дарбу и Лагранжа.
Согласно утверждению Дарбу, образ производной дифференцируемого отображения / : (а, Ь) -* И является связным множеством. Проблема распространения этой теоремы на случай числовых функций нескольких переменных исследовалась с разных подходов в работах С.Д. Нойгебауэра [74], К.Е. Вейля [76], Я. Малы [69] (доказавшего связность образа производной дифференцируемого отображения / : Д С Яп -+ Я) и др. (см., например, [59]). Однако, как хорошо известно, в отличие от ситуации с числовыми функциями, образ производной векторнозначных отображений может быть несвязным.
6
Теорема Дарбу тесно соприкасается с формулой Лагранжа о среднем для функций / : [а, 6] —э R. Существуют различные пути обобщения этой теоремы на случай вектор-функций (см., например, [57, 62]), в основном, на уровне соответствующих оценок. Наиболее элегантный вариант принадлежит МакЛеоду [68] (см. также [75]), который доказал, что, при дополнительном предположении о непрерывности справа или слева производной f'(x) дифференцируемой функции / : [а,Ь] -» Rm, отношение (/(6) - /(а))/(6 - а) есть выпуклая комбинация т значений производной /'(&)•
Одной из целей диссертации является получение новых обобщений теорем Дарбу и Лагранжа для вектор-функций в связи с проблемами теории устойчивости классов отображений.
Автором получены следующие основные результаты:
а) найдены новые семейства устойчивых классов решений дифференциальных соотношений, порожденных разбиением компакта G на выпуклые и квазнвыпуклые компакты;
б) доказана устойчивость некоторых классов аффинных отображений, причем установлены явные оценки устойчивости во всей области с учетом близости производных;
в) получена исчерпывающая классификация устойчивых классов лиишицрвых отображений интервалов вещественной прямой Е со значениями в Rm, m > 1, причем установлены оценки устойчивости с учетом близости производных;
г) получены обобщения теорем Дарбу и Лагранжа на случай вектор-функций и доказана устойчивость в теореме Дарбу.
Диссертация состоит из трех глав, разбитых па параграфы. Мы используем подчиненную нумерацию утверждений и формул. Опишем кратко содержание диссертации по главам.
Первая глава посвящена изучению w-устойчивости классов отображений вида З(О’). порожденных компактами G С £(Е”,Ет) в еле-
7
дующем смысле: ?>{G) = {<? € Lip 1 В компонента связности К множества G такая, что д'(х) € К п.в. в dom#} (определение 1.J.3). Здесь Lip множество всех локально липшицевых отображений д : А —> Ж’п областей А С К".
В §1.1 напоминаются основные определения концепции (^устойчивости классов липшицевых отображений, в том числе определения функционалов локальной и глобальной близости отображения / к отображениям изучаемого класса <5, и ставится задача устойчивости.
Основной теоремой иервой главы является
Теорема 1.2.9. Пусть непустой компакт G С L(Rn,IRm) допускает представление в виде
где С* — выпуклые компактные множества. 'Гогда класс отображений 3(0') является и -устой чи и ым.
Следует отметить, что множество Л индексов а в (0.1), вообще говоря, может быть бесконечным; по поводу точного определения иъ усгойчивости мы отсылаем к §1.1. Совокупность требований на С в теореме 1.2.9 называется «условием (Т)» (см. определение 1.2.7).
В §1.3 мы показываем, что условию (Т) можно придать естественное геометрическое истолкование, используя следующее понятие.
Определение 1.3.1. Пусть X — метризуемое локально выпуклое пространство. Множество II С X называется слабо связным, если его нельзя представить в виде объединения II = У Ь\ семейства мно-
жеств U( таких, что U( U> Ut П cl{U \ Ut) = Q> для каждого / € Г и Uti C\c\coUti = 0, если <i,*2 € T и t\ ф <2-
с*£А ?.= !
1<ЕТ
8
Здесь с1 Е и со Е замыкание и выпуклая оболочка множества
Е соответственно. Всякое связное множество слабо связно, обратное в общем случае неверно.
Теорема 1.3.3. Непустой компакт С С £(Кп,Кт) удовлетворяет условию (Т) в том и только том случае, когда все компоненты слабой связности множества С выпуклы.
В §1.4-1.5 проблема устойчивости классов 3(6') полностью решается для случая, когда одна из размерностей п или т равна 1. А именно, при п = 1 критерием ^-устойчивости классов 3(£») является условие (Т) (теоремы 1.4.1, 1.4.4), а при щ = 1 — выпуклость компонент обычной связности множества Ст (теорема 1.5.1).
В §1.6 с помощью доказанных результатов получены теоремы об устойчивости классов липшицевых решений систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными.
Пусть ф — произвольный дифференциальный оператор следующего вида: (<3у)к{х) = £™=1 Т,2=1а«»^г(х)> * = 1>«’Де
€ 1, и пусть </ — вектор пространства Е*. Зададим систему
(Мх) = д. (0.3)
Выберем компакт С С £(НП, К771), содержащий хотя бы одно решение системы (0.3) и рассмотрим класс отображений 3(?,<г(<?)» состоящий из тех отображений д класса 3(б?), которые являются №7-решениями системы (0-3).
Теорема 1.6.1. При сделанных предположениях, если компакт С удовлетворяет условию (Т), то класс Ъс),ч{С) ы-устойчив.
Если оператор эллиптический, то накладываемое на С в предыдущей теореме условие (Т) оказывается излишним (теорема 1.0.2).
В первой части второй главы (§2.1-2.2) получены теоремы устойчивости, аналогичные теоремам из главы I, но вместо выпуклости
9
используется более тонкое свойство порождающих множеств — ква-зквыиуклость (см. (70-72], а также §2.1).
Теорема 2.1.3. Пусть для компакта G С L(Rn,Rm) имеет место представление (0.1)-(0.2) с квазивыпуклымн компактными множествами Gf. Тогда класс отображений
0 = {g € Lip ] Va € А Зг € {1...., А:а} 9\х) € Gf для п. в. х G dom <?} является со-устойчивым
Из теоремы 2.1.3, в частности, вытекает, что класс /п всех изометрических отображений (как сохраняющих, так и меняющих ориентацию) является w-устойчивым, (следствие 2.1.5). Это усиливает предшествовавший результат (10] об ^-устойчивости класса J+ изометрий, сохраняющих ориентацию.
Кроме того, теорема 2.1.3 влечет ^-устойчивость класса аффинных отображений, производные которых лежат в объединении G = SO(n)ai U... U SO(n)cik, det а* ф 0. $0(п)а, П SO(n)a,j = 0 при г -ф j (следствие 2.1.6). Эти результаты имеют отношение к актуальной задаче теории кпазивыпуклых множеств, так называемой проблеме /г-колец (fc-v/cll) (об этой проблеме см., например, [72, 77, 61]).
В §2.2 вводится определение ^с-связности множеств в L(Rn,Rm), которое можно получить из определения слабой связности, заменив в нем Символ выпуклой оболочки (’’со”) символом квазивыиуклой оболочки. Всякое связное множество qc-связно, а всякое ^c-связное множество слабо связно, обратное в общем случае неверно. Доказано, что для компакта G существует описанное в теореме 2.1.3 представление в том и только том случае, когда все компоненты ^с-связности компакта G квазивыпуклы (теорема 2.2.4). Отсюда и из теоремы 2.1.3 выводится, что если вес компоненты ^с-связности непустого компакта G ква зивыпуклы, то класс отображений ЪЯ°{С) = {5 € Lip ! 3 компонента ^с-связности К множества G такая, что д'(х) 6 К п.п. в dom д] является ^-устойчивым (теорема 2.2.5).
10
Следующий параграф §2.3 посвящен изучению строения образа производной дифференцируемой вектор-функции.
Теорема 2.3.2 (обобщенная теорема /[арбу). Пусть X — метри-зуемое локально выпуклое пространство, и пусть / : Д -» X — дифференцируемое отображение и X области Д С К". Тогда образ 1гп/' производной отображения / является слабо связным множеством в пространстве Хп.
При п = 1 и наложении некоторых дополнительных условий установлена и обратная теорема, а именно: если С — непустой слабо связный компакт в пространство Фреше X, который является к тому же локально слабо связным множеством, то тогда О есть образ производной некоторого диффе]Юішируемого отображения / : [0, 1] -» X (теорема 2.3.5). Специфику многомерного случая подчеркивает построенный пример дифференцируемой функции / : [0.1] -> К2, образ производной которой является вполне несвязным компактом (теорема 2.3.1).
Если в теореме 2.3.2 X = Iти и функция / локально удовлетворяет условию Липшица, то образ Ііп /' обладает более сильным свойством — дс-связностью (теорема 2.3.14).
Используя обобщенную теорему Дарбу [теорему 2.3.2), в том же параграфе мы докажем следующий аналог формулы Лагранжа. Если функция / : [о,/?] -> Кт непрерывна на [а,/3] С К и дифференцируема в (а,.5), т > 1, то существуют числа & Є (о,/?) и р, > 0,
і = 1,...,т, = 1, такие, что(/(£)-/(<*))/(/?—<*) = рг/'(&)
»=1
(теорема 2.3.12). Таким образом, процитированный в начале результат МакЛеода (68) верен без всяких дополнительных предположений о регулярности производной
Материал §2.3 используются при доказательстве некоторых теорем устойчивости классов отображений, например, приведенных вы-
11
ше теорем 1.4.1 и 1.4.1.
1? §2.4 на основе доказанных ранее результатов изучается устойчивость классов аффинных отображений 21(6) с линейной частью из компактного множества 6 С ЦЯп, Кт). Полученные утверждения придают характер устойчивости установленным в предыдущем параграфе многомерным аналогам теоремы Дарбу. Одной из основных является
Теорема 2.4.1. Пусть 6 С £(Н",Кт) — непустой компакт, нее компоненты ({с-связности которого одноточечны. Тогда класс аффинных отображений 21(0) ш-устойчив.
Из теоремы 2.4.1, в частности, вытекает, что класс 21(0) является ^-устойчивым, если все компоненты слабой связности множества О одноточечны (следствие 2.4.5). Отметим, что при п = 1 или га. = 1 сформулированные в только что упомянутых следствии 2.4.5 и теореме 2.4.1 условия эквивалентны. При п = 1 эти условия являются не только достаточными, но и необходимыми для ^устойчивости класса 21(6) (теорема 2.4.6), а при т = 1 для ^-устойчивости '21(6’) оказывается достаточной одна только вполне несвязность компакта 6 (теорема 2.4.3). Замечательным свойством классов аффинных отображений является то обстоятельство, что для них удается получить оценки устойчивости следующего вида.
Теорема 2.4.7. В условиях теоремы 2.4.1 существует функция у : [0, + оо) -» [0, +ос) такая, что Т(е) 7(0) = 0 при с -4 0;
2) для каждого отображения / : Д —> Е,п области А С К” с П(/,21(6)) < с найдется аффинное отображение д Є 21(6). для которого выполнены неравенства
II/ “ я\\с(Д) < 76) «ііашіпп Д,
\\Ґ ^^Львв(Д>(= «»вирЦ/Ч*) -^(аг)||) < 7(«)-