2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ • 5
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 15
ГЛАВА 1. Линеаризованные уравнения движения слабо сжимаемой среды 17
1.1 Линеаризация уравнений движения слабо сжимаемой среды ... 17
•1.2 Обобщённая лемма Гронуолла.............................. 21
1.3 Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами 24
1.4 Обобщённые решения уравнения переноса................... 27
1.4.1 Постановка задачи Коши. Определение обобщённого решения 27
1.4.2 Регуляризация уравнения переноса........................... 28
1.4.3 Допустимые функции и их свойства........................... 33
1.4.4 Перенормировка уравнения переноса.......................... 36
1.4.5 Аналог энергетического равенства для уравнения переноса . . 40
1.4.6 Об уравнении переноса в ограниченной области............... 46
1.4.7 Об уравнении переноса на торс.............................. 47
1.5 Начально-краевая задача для линеаризованных
уравнений движения слабо сжимаемой среды................ 49
1.5.1 Постановка задачи.......................................... 49
1.5.2 Свойства оператора Л....................................... 50
1.5.3 Определение обобщённого решения............................ 51
1.5.4 Существование обобщённого решения.......................... 53
1.5.5 Единственность обобщённого решения ........................ 58
1.5.6 Дополнительные оценки обобщённых решений................... 63
1.6 Начально-краевая задача для линеаризованных
уравнений движения несжимаемой жидкости................. 67
3
1.7 Динамика слабо сжимаемой среды при стремлении фактора сжимаемости к нулю 72
1.7.1 Сходимость поля скорости...................................... 73
1.7.2 Сходимость поля давления...................................... 80
1.7.3 Сравнение условий слабой и сильной сходимости............ 84
1.8 О динамике слабо сжимаемой среды на торе........................ 88
ГЛАВА 2. Корректность волнового уравнения на не глобально гиперболическом многообразии 90
2.1 Постановка задачи.............................................. 90
2.2 Скачки на разрезах.............................................. 92
2.3 Классические и обобщённые решения............................... 94
2.3.1 Решение уравнения (2.21)...................................... 96
2.3.2 Условия склейки .............................................. 97
ГЛАВА 3. Уравнения фильтрации и закон Дарси 101
3.1 Свойства усреднения по Стеклову................................ 101
3.2 Уравнения для микровеличин..................................... 102
3.3 Замыкание системы для макровеличин............................. 104
3.4 Зависимость макровеличии от радиуса шара усреднения............ 105
3.5 Уравнения фильтрации и закон Дарси............................. 106
3.5.1 Учёт силы Кориолиса ......................................... 107
ГЛАВА 4. Асимптотические свойства градиента решения задачи Неймана
для уравнения Лапласа 109
4.1 Обозначения ................................................... 109
4.2 Постановка задачи.............................................. 110
4.3 Дифференциальные свойства решений.............................. 111
4.4 Доказательства основных теорем................................. 112
4.4.1 О дифференциальных свойствах проекторов Лерэ-Гельмгольца 115
4
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 119
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Некоторые сведения из анализа 120
А.1 Основные функциональные пространства...................... 120
А.2 Свойства функций, продолженных нулём...................... 121
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Функции, принимающие значение в банаховых пространствах 122
Б. 1 Пространства Лсбега-Бохнера .............................. 122
Б.2 Регуляризация............................................. 124
Б.З Пространства Соболева..................................... 125
Б.4 Прочес.................................................... 128
БИБЛИОГРАФИЯ .................................................. 130
Публикации автора по теме диссертации ......................... 134
«
ВВЕДЕНИЕ
Многие математические модели физических явлений включают в себя краевые и начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений Вч частных производных. Решения этих задач определяют значения физических величин, входящих в соответствующую модель. Фундаментальную роль для таких моделей играет корректность входящих в них начально-краевых задач (см., например, [1]), т.е. наличие для них теорем; существования и.единственности решений, а также непрерывной зависимости решений отдаиныхзадачи; Изучение этих вопросов позволяет определить понятие решения соответствующей задачи и обосновать возможность использования той или иной модели с математической точки зрения: Оно также необходимо для того; чтобы понять, в каком смысле можно аппроксимировать решение данной задачи и, таким* образом, важно при построении^ использовании численных методов. (Более' того, некоторые- методы: доказательств теорем существования одновременно' представляют собой и численные методы нахождения соответствующих решений;)1 ..
Общая модель физического явления часто зависит от некоторых параметров; которые при определенных условиях достаточно малы. При этом случаю, когда такими параметрами можно пренебречь,, соответствует другая модель рассматриваемого явления, которую мы для краткости будем ■ называть подмоделью рассматриваемой общей модели. (Термин «подмодель» в- несколько ином смысле использовался Л.В. Овсянниковым в [2]: и других работах.) Подмодели- не всегда являются непосредственными частными случаями обших моделей и-нередко создаются независимо от последних. На практике широко используются именно подмодели, что обусловлено их сравнительной простотой; При этом замена модели подмоделью допустима тогда и только тогда, когда результаты, полученные с помощью них, отличаются незначительно. Если эти две модели описываются начально-краевыми задачами, то данное
требование сводится к тому, что решения этих задач должны быть в некотором смысле близки, т.е. решение задачи, соответствующей подмодели, должно быть асимптотическим пределом решений задач, соответствующих общей модели, при стремлении соответствующих параметров к нулю.
Диссертационная работа посвящена исследованию корректности и асимптотических, свойств решений некоторых задач, возникающих в гидродинамике и теории поля. Для волнового уравнения на не глобально гиперболическом многообразии доказываются, необходимые и достаточные условия-су-ществования и. единственности, усиленно-классических решений задачи Коши. Для начально-краевой задачи для линеаризованных уравнений движения' слабо сжимаемой сплошной среды, доказываются . теоремы существования т единственности обобщённых решений, изучаются априорные оценки этих решений, а также исследуются их асимптотические свойства-при стремлении-, коэффициента, сжимаемости к нулю. Проводится; строгий; вывод уравнений, фильтрации, возникающих в (под)модели течения несжимаемой, жидкости в-пористой среде. Также исследуется асимптотика решения задачи Неймана для' уравнения Лапласа по параметру, о г которого зависит граничное условие.
Для математического- описания динамики сплошных- сред- имеются ’общая1 модель сжимаемой среды и (под)модель несжимаемой жидкости, которая используется в случаях,.когда сжимаемостью можно пренебречь. Модель несжимаемой жидкости' является идеализацией1, так как любая реальная жидкость, существующая в природе, является слабо сэ/симаемой. В связи с этим возникает задача о нахождении достаточных условий;, при которых решения соответствующих уравнений отличаются незначительно.
• 'Условие несжимаемости (о .= 0о = const, где q — платность) не вполне корректно рассматривать как термодинамическое уравнение состояния, т.к. в этом случае отсутствуег связь давления с тсмпсра1урой, что делает невозможным применение метода термодинамических потенциалов (см., например, [3]). Кроме того, давление в несжимаемой жидкости не имеет термодинамического смысла (т.к. определяется полем скорости с точностью до произвольной аддитивной функции времени) и может быть отрицательным [4]. Таким образом, несжимаемую жидкость следует рассматривать лишь как предал сжимаемой.
7
Для решения этой задачи прежде всего следует ввести параметр, характеризующий сжимаемость среды (<фактор сжимаемости), и сделать это можно разными способами.
С физической точки зрения данный вопрос обсуждался в [5], где для стационарных уравнений Эйлера с использованием уравнения Бернулли была получена оценка:
Ад 1 Л Т2
— « -М ,
Q0 2
где Ад = д—до, М = \и\/с — число Маха (с и и — скорость звука и вектор скорости среды). Отсюда видно, что плотность g мало отличается от константы
£0, если
|и| с, (*)
то есть при малых числах Маха.
Однако, помимо самой плотности уравнения гидродинамики содержат её производные по пространству, малость которых ничем не обеспечена. В нестационарном случае есть ещё и производная плотности по времени. В связи с этим в [5] для нестационарных уравнений Эйлера было получено /дополнительное условие применимости модели несжимаемой жидкости, имеющее вид
г » -, (**)
с
где т и L — величины порядка промежутков времени и расстояний, на которых скорость жидкости испытывает заметное изменение. Таким образом, в качестве фактора сжимаемости можно использовать величину а = max(^r, ^). Однако при выводе условий (*), (**) использовался ряд достаточно грубых оценок, которые, вообще говоря, могут не выполняться. Например, оценка dtg ~ Ад/т не является верной, если плотность содержит высокочастотные колебания малой амплитуды1. Таким образом, условия (*) и (**) существенно
1 Например, р(£) = p3(t) Ч- £>г(0> ГЛ« Pi (О — медленно меняющаяся функиня времени, а р2(0 — высокочастотные колебания, причем 1рг(01 ^ lffi(0 ~ <?!(* + т)1-
зависят от решений уравнений, и, по-видимому, не характеризуют сжимаемость полноценно с математической точки зрения.
Первое математически строгое исследование слабо сжимаемых сред, по-видимому, было проведено в [6]. В этой работе рассматривались уравнения Эйлера для среды с уравнением состояния р = /ср7, а в качестве фактора сжимаемости использовалось число а = (fey)”1.. Было установлено; что если начальное условие для поля скорости.соленоидально,.то при. а —> 0 поле скорости сжимаемой среды сходится поточечно (как функция времени) на некотором, промежутке (-71.71] к соответствующему полю скорости несжимаемой жидкости по норме пространства Соболева; (Отметим, что при. л О скорость звука с = (dp/dg)]^ = аГ1/2^"1)/2 —» оо, если*# «-const.)•. •
Подобные результаты были получены в [7] для уравнений« Эйлера и уравнений- Навьс-Стокса для сжимаемой среды с уравнением состояния р = \2Р(д), vде Р(д) — некоторая возрастающая функция, Л = const. При. этом в качестве фактора сжимаемости использовалась величина а = А '2, и при Q' —> 0 поле скорости сходится по норме пространства С(0;Т; Н*~С(Т1)), где d € N, с > 0, 5 G N определяется гладкостью начального условия; T(l — d-мерный тор, Т > 0. .Также была установлена сходимость плотности к конг станте. (Отметим, что при а -> 0 скорость звука с — a“1/.2 \JP'(g) —> оо, если д я* const.) • • . • • .... •
В работах [8-14] использовался;несколько другой подход к определению фактора сжимаемости. Этот подход основан на обезразмеривании и масштабировании уравнений Навье-Стокса таким образом; что число Маха1 становится малым параметром (см., например, [16]). В баротропном случае полученная таким образом система совпадает с уравнениями^ Навьс-Стокса для среды с уравнением состояния р — Р(д)/е2. При этом роль фактора-сжимаемости иг-
рамках этого подхода под числом Маха понимается величина Ма = — ■*' = (см. [13]), то есть
%/Wf/Prcf
Ма = 1/\/!и, гас Ей = - --число Эйлера (см., например,.[15]).
BtttVAi
9
рает число а = г2.
В работах [8,9] были получены аналоги результатов [6,7] для полных (т.е. в случае, когда среда не является баротропной) уравнений Эйлера и Навье-Стокса-Фурье соответственно. При этом рассматривались начальные условия для поля скорости, не являющиеся соленоидальными, а сходимость ноля скорости при о; —> 0 понималась в смысле Ь2(0,Т; Я®(К3)), где 5 е N определяется гладкостью начальных условий, Я5(Е3) — пространство Соболева. Согласно [9], неравномерность такой сходимости связана с акустическими колебаниями вблизи начального момента времени.
Асимптотические свойства глобальных обобщённых решений, уравнений движения сжимаемой среды исследовались в [10-14]. В баротропном случае для уравнений Навье-Стокса в [10] установлено, что независимо от начального условия и° для поля скорости при, а —> 0 имеет место слабая сходимость (строго говоря, подпоследовательности) поля-скорости сжимаемой среды к полю скорости несжимаемой жидкости, начальное значение которого является (в простейшем случае) проекцией Лерэ1 поля и°. Аналогичный результат для полной системы Навье-Стокса-Фурье получен в [11-13].
С физической точки зрения сильная сходимость полей скорости и давления представляют больший интерес. Напомним, что в [8,9] была установлена сильная сходимость поля скорости, но при этом рассматривались лишь локальные сильные решения, т.е. решения, существующие на промежутке времени, величина которого, вообще говоря, зависит- от данных задачи (но не зависит от фактора сжимаемости). В [8,9] также было установлено, что плотность сильно сходится к константе, а давление сильно сходится к нулю, а не к давлению несжимаемой жидкости7.
Сильная сходимость полей скорости глобальных слабых решений была
'см, например, [17]
2Послсднсс ис протнворечт- естественному предположению о сходимости давления'к давлению несжимае-
мой жидкости, поскольку в масштабированных уравнениях Навье-Стокса роль давления играет величина р/е’.
10
установлена для искусственной системы уравнений движения вязкой «сжимаемой» среды, используемой при численном решении уравнений несжимаемой жидкости методом искусственной сжимаемости (см., например, [18], III, §8). Также была установлена *-слабая сходимость градиента давления. Сильная сходимость давления не исследовалась.
Иной подход к определению фактора сжимаемости был предложен в работах [19,20]. Этот подход основан на том, что уравнения движения несжимаемой жидкости могут быть формально получены из уравнений.Навье-Стокса для баротропной среды с уравнением состояния g = F(p)> если положить F(') = F0(-) = до > 0. Соответственно, при рассмотрении семейства уравнений состояния g = Fa(p) такого, что при а —> 0
ад -> по.
возникает задача об исследовании сходимости решений уравнений Навье-Стокса при а —> 0. Например, в работе [20] рассматривались сжимаемые среды с уравнением состояния
д = ро-ЬаЯ(р),
где g — плотность, до > 0, р- давление а > 0 — фактор сжимаемости, a R(p) — гладкая функция, ограниченная сверху и снизу положительными числами.
В [20] было получено необходимое условие сильной сходимости классических решений начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой среды при стремлении фактора сжимаемости к нулю. Для начально-краевой задачи в ограниченной области D с начальными условиями u|t„o = p|t—о — Р° и краевым условием \i оо = 0 это необходимое условие
имеет вид
{qi + (u°, V)g)|(=0 = 0, (#)
где q = q(xt t) — давление в несжимаемой жидкости. Для полноты изложения укажем также 2 более очевидных необходимых условия: divu° = 0 и
11
<7|г=о = Р°- Условие (#) в общем случае не выполняется хотя бы потому, что давление ([ определено с точностью до аддитивной функции времени. Кроме того, в несжимаемой жидкости с/|£=о определяется из уравнений, в то время как в сжимаемой среде р\1=0 задастся как начальное условие. Таким образом, сильную сходимость скорости и давления- можно ожидать лишь в случае, когда начально-краевые задачи для уравнений движения сжимаемой среды и несжимаемой.жидкости определённым образом согласованы.
Отметим, что локальная теорема существования, классических решений' уравнений движения вязкого сжимаемого газа доказана в [21], по влияние фактора сжимаемости.на размер отрезка времени, на котором существует решение, в этой' работе не изучалось. Единственность классических решений-доказана в [22]. В силу отсутствия на данный момент глобальных теорем существования классических решений уравнений сжимаемой среды (см., например, [11]) актуально исследование'необходимых и достаточных условий* сильной сходимости для слабых решений.
В данной работе рассматриваются линеаризованные уравнения-движения слабо сжимаемой.среды. Эти уравнения описывают первую поправку к решению уравнений несжимаемой жидкости, обусловленную сжимаемостью среды. Они значительно проще исходных нелинейных уравнений, что делает возможным более детальное исследование влияния фактора сжимаемости на их решения: Линеаризованные уравнения сжимаемой среды представляют и самостоятельный' интерес (например, в [23] исследовались спектральные свойства оператора, соответствующего стационарным линеаризованным уравнениям сжимаемой среды).
В- большинстве работ рассматривались уравнения движения сжимаемой среды, линеаризованные вблизи состояния покоя (см. [24,25]). В [25] была получена априорная оценка для сильного обобщённого решения начальнокраевой задачи для этих уравнений в ограниченной области О С К3, однако влияние фактора сжимаемости на константы, входящие в эту оценку, не ис-
- Київ+380960830922