Оглавление
Список обозначений........................................... 4
Введение..................................................... 6
1 Метод подобных операторов в спектральном анализе одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условием 19
§1.1 О методе подобных операторов .......................... 19
§1.2 исследование оператора дифференцирования с
нелокальным краевым условием............................ 27
§1.3 Исследование дифференциального оператора с І2 -потенциалом, определенным нелокальным краевым
условием ............................................... 40
§1.4 Исследование оператора дифференцирования V с
і
нелокальным краевым условием а.г(0) = /Зх(1) + ) а.(з)х(з)с1з 43
о
§1.5 Исследование дифференциального оператора с Ьч -потенциалом и определимым нелокальным краевым
і
условием ах(0) = рос(1) + J а........................... 47
о
2 Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженных операторов Дирака 50
§2.1 Несамосопряженный оператор Дирака...................... 50
2
§2.2 Построение допустимой тройки для абстрактных
операторов, близких к оператору Дирака.................... 54
§2.3 Асимптотика собственных значений оператора Дирака и
сходимость спектральных разложений........................ 69
§2.4 Формулы регуляризованного следа для
несамосопряжениого оператора Дирака....................... 83
3
Список обозначений.
N - множество натуральных чисел;
Ъ - множество целых чисел;
К - множество вещественных чисел;
К+ = [0, оо];
С - множество комплексных чисел;
ЕпсІХ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в X;
0і(Ь2,7г) - идеал ядерных операторов
вгСН) - идеал операторов Гильберта-Шмидта из алгебры ЕпсІХ;
<т(у1) - спектр оператора А:
Я(-, А) : д(А) —> ЕпсІХ, Я,(\,А) = (А/ — Л)“1, Л Є £>(Л), - резольвента линейного оператора А : О (А) С X —» X;
скіаХ - трансформатор, линейный оператор в пространстве линейных операторов: сісіа '• В((кіа) С ЕпсІХ —> ЕпсІХ, асІлХ = АХ — ХА, X Є ЕпсІХ ;
Іт А - образ оператора А;
К гг А - ядро оператора А\
ІІ - банахово пространство возмущений, которому принадлежит оператор В с нормой || • ||*;
X - комплексное банахово пространство ;
Н - комплексное гильбертово пространство;
£>а(Х) - банахово пространство операторов, подчиненных А с нормой
II • II л;
В{Н) - алгебра, совпадающая с одной из алгебр ЕпсІХ,&о(7і) ;
А* - сопряженный к А линейный оператор;
Ь2[а, Ь]- гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [а, Ь]
4
1/2 ([0,7г],С2) = 1/2[0,7г] х 1/2[0,7г] - гильбертово пространство измеримых на [0,7г] со значениями в С2 функций х = (х\9Х2) ■ [0,7г] —> С2, для которых конечна величина (І^С^і^)!2 + \х2(1)\2)&)* = ||;г||;
Ьяг - оператор Дирака, определяемый формулами
Ьлгг : 0{ЬМг) С Ь, ([0, тг], С2) - Ь2 ([0,тг],С2)
ЬнігУ = І ^ - уУ, У Є 0(ьліг),
где ь(і) = ^ ^ ^ , І Є [0, 7г], Р, <5 Є Ь2[0,7г]. Область определения
Б^Ь^іг) определяется краевым условий Дирихле:
£(Ь<Кг) = {.V є И'2 ([0,тг],с2 : уі(0) = 2/2(0), г/і(тг) = УгМ)} і
- Оператор Дирака с нулевым потенциалом (г; = 0).
5
Введение
В диссертационной работе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторых классов дифференциальных операторов и оператора Дирака. Дифференциальные операторы, определяемые нелокальными краевыми условиями возникают , например, при изучении процессов диффузии в химической кинетике [57]. Интерес к исследованию дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями был проявлен давно (А.Л.Скубачевский [52], В.В. Власов [16], Л.С.Пулькина [45], Ю.Т.Сильченко [511).
Изучение оператора Дирака осуществлялось рядом авторов, особенно отметим статью Джакова П, Митягина B.C. [32]. В ней, в частности, был приведен ряд общих спектральных свойств оператора Дирака и приведена подробная библиография. Исследования проводились (см. более ранние работы [43],[67]) с привлечением обычных методов теории возмущений [35] (резольвентный метод), а также с использованием матричного представления операторов. В частности, в [32] получены локализационные теоремы (теорема 17 для спектра и теорема 18, предложение 19, для проекторов Рисса). В предложении 20 получено утверждение о сходимости спектральных разложений для функции из Ьо ([0,7г],С2) по системе спектральных проекторов.
При попытке исследования оператора Дирака Ldir общими методами теории возмущений [1],[20],[35],[42][58] возникает несколько затруднений, связанных с наличием таких свойств как:
(a) расстояние между собственными значениями невозмущенного оператора L^ir не уходит в бесконечность;
(b) возмущение (оператор умножения на потенциал v) не является
б
I
ограниченным оператором. I
В данной работе для исследования спектральных свойств оператора Дирака используется метод подобных операторов [5]- [7], т.е. построение преобразования подобия исследуемого (возмущенного) оператора в оператор, спектральные свойства которого близки к спектральным свойствам невозмущенного оператора (в данном случае свободного оператора £§,>). Тем самым существенно упрощается изучение исследуемого оператора Ь^г.
Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, основанный на представлении проекторов Рисса, возмущеных операторов с помощью интегральной формулы Коши (см. [21]). Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения данного метода. В качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [2] и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов 119] , абстрактным вариантом замены Крылова - Боголюбова [5], [13|. Основная идея, метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему оператору А — Во; где В0 имеет несложную по отношению к А структуру. Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К.О. [55] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером [69] для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов была получена теорема о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе певозмущенного оператора. Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова [5] и его учеников, который стал использовать технику абстрактного
7 I
- Київ+380960830922