Оглавление
1 Предварительные сведения 26
1.1 “Классическая” субриманова геометрия, примеры.......... 26
1.2 Касательный конус к метрическому пространству по Громову - Хаусдорфу............................................ 32
1.3 Предварительные сведения о квазиметрических пространствах ...................................................... 35
1.4 Локальная геометрия регулярных квазиметрических пространств Карно - Каратеодори................................ 38
1.5 Локальная геометрия регулярных многообразий Карно . . 44
2 Локальная геометрия квазиметрических пространств Карно — Каратеодори в окрестности произвольной точки 46
2.1 Основные определения и предварительные замечания ... 46
2.2 Примеры .............................................. 50
2.3 Выбор базиса.......................................... 53
2.4 Построение нильпотентных аппроксимаций................ 55
2.5 Квазиметрика. /У', определяемая нильпотентными аппроксимациями .................................................. 63
1
2.6 Построение системы свободных векторных полей, продолжающих данные (редукция к случаю регулярных точек) . 64
2.7 Свойства квазиметрик р и ри............................ 71
2.8 Теорема, о расхождении интегральных линий и локальная
аппроксимационная теорема ............................. 76
3 Локальная геометрия многообразий Карно с внутренней
метрикой Карно — Каратеодори 81
3.1 Предварительные замечания.............................. 81
3.2 Редукция к случаю регулярных точек..................... 82
3.3 Локальная аппроксимационная теорема.................... 85
3.4 Обобщение теоремы Рашевского - Чоу на случай См-гладких
полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера.............. 86
4 Метрический касательный конус 91
4.1 Определение расстояния между двумя квазиметрическими
пространствами и его простейшие свойства............... 91
4.2 Определение и свойства сходимости последовательности компактных квазиметрических пространств........................ 93
4.3 Сходимость последовательности произвольных
пунктированных квазиметрических пространств. Единственность предела.......................................... 96
4.4 Понятие касательного конуса к квазиметрическому пространству ..................................................100
4.5 Сравнение с определением для метрических пространств . 101
2
4.6 Касательный конус к квазиметрическому пространству Карно — Каратеодори и к многообразию Карно с внутренней метрикой ....................................................105
5 Аксиоматический подход к описанию локальных касательных конусов эквирегулярных пространств Карно -
Каратеодори 108
5.1 Определение и свойства пространств с растяжениями . . . 108
5.2 Существование касательного конуса к (квази)метрическому пространству с растяжениями .................................113
5.3 Локальная группа, определяемая сильной структурой растяжений .....................................................114
5.4 Обзор известных результатов.............................119
5.5 Алгебраические свойства касательного конуса.............121
5.6 Пространство Карно - Каратеодори как пример пространства с растяжениями..........................................124
3
\
Введение
История вопроса
В данной работе мы исследуем некоторые геометрические, алгебраические и аналитические аспекты теории пространств Карно - Каратеодо-ри, обобщающих классические субримановы пространства и важных для многих приложений, включая теорию оптимального управления, теорию субэллиптических уравнений и др. Приведем мотивацию проводимых исследований и осветим основные этапы развития субрпмановой геометрии и ее обобщений.
Напомним, что субри.маповым пространством М называется связное гладкое риманово многообразие с заданными на нем “горизонтальными” С°°-гладкими векторными полями {Х\,..., Хт}, которые всеми своими коммутаторами вплоть до некоторого конечного порядка М порождают все касательное пространство к М в каждой точке (условие Хёрмандера). Число М называется глубиной субриманова пространства. Горизонтальные векторные поля естественным образом индуцируют фильтрацию касательного расслоения
ЯМ = #1 С Я2 С ... С Нм = ТМ,
4
где
Нк(у) = 8Рап{[Л>1>..., [**_.,**]](!;)}.
Точка и € М называется регулярной, если существует некоторая се окрестность, в которой размерности всех Нк постоянны, иначе точка называется нерегулярной.
Отметим, что случай нерегулярных точек существенно отличается от случая точек регулярных. Например, на М2 горизонтальные векторные поля НМ = эрап{дХ)хтду} задают структуру субриманова пространства глубины М = 101 (точки, для которых х = 0, нерегулярны), в то время как регулярных субримановых структур на К2 не существует. Поэтому методы работы с нерегулярными субримановыми пространствами основаны на новых, по сравнению с регулярным случаем, идеях.
Субримановы пространства моделируют физические процессы, в которых движение возможно лишь вдоль нескольких выделенных “горизонтальных” направлений (в частности, такие пространства описывают конфигурационное пространство в неголономттой механике подобно тому как римановы пространства — в классической, т. е. голономной. механике) и естественным образом возникают во многих приложениях и смежных областях математики, таких как субэллиптическпе уравнения, теория оптимального управления, контактная геометрия, нейробиология, квантовая механика, термодинамика, роботехника и т. д. [1, 4, 20, 24, 25, 30, 50, 38, 44, 47, 53, 55, 59, 62, 68, 70, 71].
В 1967 г. в работе [47) Л. Хёрмандер доказал, что условие о порождении всего касательного пространства коммутаторами горизонтальных векторных полей {Хо, Х\,.... Хт} является необходимым и достаточ-
5
ным условием гипоэллиптичности дифференциального оператора второго порядка
т
Р=^Х? + Х0 + с £=1
Уравнения вида
т
Ри={^Х? + Хо + с)и = / (1)
»=1
называются субэллиптическими или вырожденными эллиптическими уравнениями.
Одно из наиболее важных применений таких операторов иллюстрируют уравнение Колмогорова
д2и ди ди _
дх2 Х ду дЬ
описывающее процесс диффузии, и уравнение Грушина [9|. Из критерия Хёрмандера следует, что свойства этих и других важных в приложениях уравнений тесно связаны с с субримановоп геометрией.
В 1971 г. И. Стейн выдвинул программу исследования геометрии векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера, с цслыо изучения геометрии особенностей ядер фундаментальных решений уравнений вида (1).
В 1976 г. Л. Ротшильд и И. Стейн [68] показали, что в окрестности регулярной точки субрпманово пространство можно приблизить ниль-потентной стратифицированной группой Ли, а также предложили метод сведения некоторых вопросов для нерегулярных точек к случаю регулярных точек. Этот метод основан на вложении исходного пространства в регулярное субрпманово пространство большей размерности. Позже были предложены различные его модификации и обобщения [48, 41, 34,
49, 23], идеи некоторых из которых мы используем в настоящее! работе.
6
Дальнейшее изучение теории субэллиптических уравнений привело к необходимости выработки более общих постановок задач, в частности ослабления условия Хёрмандера [62, 34, 38, 37] и снижения требований на гладкость порождающих пространство векторных полей (см. [58, 22, 23] и цитированную в этих работах литературу).
Что касается теории оптимального управления: тот факт, что любые две точки многообразия М можно соединить кривой, являющейся решением системы уравнений
(т. е. другими словами, управляемость этой системы) эквивалентен базовому факту субрпмановой геометрии — теореме Рашевского — Чоу [16, 32] о том, что любые две точки можно соединить горизонтальной кривой при выполнении условия Хёрмандера. Элементарный вариант этой теоремы (при 7?г = Дг — 1) был доказан еще в начале XX века Каратеодорп в связи с вопросами термодинамики Карно. Следует отметить, что в практически важных задачах ранг системы векторных полей {Хх,..., Хт) редко бывает постоянен в каждой точке, поэтому рассмотрение нерегулярных точек становится принципиальным.
Отмстим актуальность рассмотрения более общей постановки задачи [35, 18], когда зависимость от управляющего параметра нелинейная:
Необходимым условием локальной управляемости этой системы явля-
т
(2)
1 = 1
х = /(я, а), х 6 Мл , а <Е М.ш я(0) = х0.
7
Поясним теперь актуальность основных задач, которые решаются в диссертации.
Вернемся к рассмотрению системы (2). Пусть А(1:хо) — множество всех точек, достижимых из точки Хц за время 0 < т < t. В силу условия Хёрмандера множество Д(£,а;о) непусто. Изучение его структуры может быть сложным. С помощью стандартной линеаризации получаем систему, для которой это множество может быть пусто. В качестве аппроксимации, которая сохраняет субриманову структуру, подходит нильпо-тентная аппроксимация. Различные варианты предлагались в [68, 41, 21, 46, 20], их построение тесно связано с выбором удобной для вычислений системы координат.
Проблема выбора аппроксимаций ставится следующим образом: пай-ти аппроксимацию исходных векторных полей векторными полями {А^и}, которые образуют нильпотентиую алгебру Ли и таковы, что
Х; = X? + Ди
где векторные поля имеют больший порядок малости. Условие нильпотентности сильно упрощает вычисления, поскольку коэффициенты векторных нолей становятся полиномиальными. При этом естественно пы-
таться подобрать ноля {А“} так, чтобы все их коммутаторы в точке и %
совпадали со значениями соответствующих коммутаторов исходных векторных полей {X*}. Такой выбор аппроксимаций возможен для свободных векторных полей [68] (при этом точка является регулярной); в общем же случае нильпотентных аппроксимаций с таким свойством может не существовать. Однако, возможен выбор нильпотентных аппроксимаций
9
такой, что Нк(и) = Нк(и), где
Нк{и) = зраи{[Х“,..., *£]](г;)}.
В связи с теорией оптимального управления встает вопрос о расхождении интегральных линий векторных полей {ХД и {X“}. Получение оценок расхождения позволяет построение алгоритмов планирования движения для системы (2) [49] и оценивать их сложность.
Тесно связан с построением нильпотентных аппроксимаций! вопрос о локальной структуре субримановых пространств.
Хорошо известно, что риманово многообразие с первым порядком точности приближается евклидовым пространством.
В 1981 г. М. Громов предложил понятие касательного конуса к метрическому пространству [42, 43], обобщающее понятие касательного пространства к гладкому многообразию (касательный конус к риманову пространству в каждой точке — евклидово пространство). Касательный конус к (X. (I) в точке х £ X определяется как предел пунктированных метрических пространств (X, а;, А • (Г) при А —> оо, при этом сходимость вводится с помощью расстояния по Громову — Хаусдорфу между двумя абстрактными метрическими пространствами.
Вопрос о касательном конусе аналогичен возникающему при линеаризации различных физических задач вопросу о приближении исходного пространства некоторым более простым объектом.
В 1985 г. Дж. Митчелл [57], в 1996 М. Громов [44], А. Беллаиш [20], в 2001 Ф. Жан [49] доказали существование и исследовали алгебраическую структуру касательного конуса к субримановому пространству: нильиотентная стратифицированная группа Ли в регулярной точке и
Ю
- Київ+380960830922