Содержание
Введение ....................................................... 3
Глава 1. Мультипликаторы пространств сходимости по норме
и других классов рядов по мультипликативным системам 29
1.1. Вспомогательные утверждения и теоремы ..................29
1.2. Мультипликаторы, связанные с пространствами сходимости по норме ................................................42
1.3. Ряды Фурье ограниченных функций и борелевских мер и их приложения к теории мультипликаторов ........................54
1.4. Мультипликаторы рядов Фурье функций из пространств Ор-лича и Лоренца по мультипликативным системам.................57
1.5. Мультипликаторы классов Гёльдера .........................68
Глава 2. Наилучшие приближения функций по мультипликативным системам и свойства их коэффициентов Фурье ... 79
2.1. Вспомогательные утверждения ..............................79
2.2. Оценки наилучших приближений через коэффициенты Фурье . 84
2.3. Описание классов, задаваемых наилучшими приближениями, через коэффициенты Фурье ....................................89
Глава 3. Приложения теории мультипликаторов к вопросам А —
суммируемости .................................................98
3.1. Равномерная сходимость преобразованных рядов Фурье по мультипликативным системам.......................................98
3.2. А—суммируемость рядов Фурье по системам характеров групп 103
Литература ....................................................108
2
Будем говорить, что последовательность {Ап}^10 является мультипликатором класса (Хг», У7тг), где Х2п, Уг*— некоторые классы 2п—периодических измеримых функций, если ДЛЯ любой / Е Х2х с рядом Фурье
00
~ + ^2 (°* 008 пх + Ьп біп их)
ряд
^7^ + ^ Ап (ап соэ пх + Ьп эт пх)
является рядом Фурье некоторой функции д Е Уг*.
М. Фекете [42] установил критерии принадлежности {Ап}^0 классам
{^2п)^2п)у ( &2л і ^2*) ) {р2тС2 п), (Ціг> Ця) И (ЛС2*, АС2к) , ГДЄ ^2тг >^2тг >
есть пространства 2л—периодических функций, интегрируемых по Лебегу, ограниченных, непрерывных, ограниченной вариации и абсолютно непрерывных соответственно.
А. Зигмунд [67] рассматривал класс (Въ^Сък) и ряд подобных задач.
С. Верблюнский [62] установил критерии {Ап}^0 Е Для всех
пар (Х2тг, *2*), где одно из пяти перечисленных выше пространств
или класс функций, интегрируемых по Риману. При этом в [62] были введены важные классы функций ограниченной вариации в среднем и функций, абсолютно непрерывных в среднем, аналоги которых используются и в данной работе.
С. Качмаж [47] обобщил ряд результатов С. Верблюнского на случай 1/2*> Р > 1> вместо 02іп изучавшегося в [62]. Следует отметить, что С. Верблюнский вместо использования понятия меры или ряда Фурье-Стилтьеса предпочитал записывать свои результаты в терминах проинтегрированных рядов
— БШ ПХ.
5
М.Г. Скворцова [28) изучала мультипликаторы вида (5. У2п), где S— класс рядов Фурье-Стилтьеса, а У2т— либо одно из указанных выше пространств, либо некоторый класс Липшица. Позже она в [30] перенесла ряд результатов С. Качмажа [47] на случай пространств Орлича Lf*. Кроме того, был получен ряд обобщений, связанных с изучением вариации второго порядка и классов Липшица-Зигмунда 2-го порядка, а также с результатами из [28|. Эта тематика была развита М.Г. Скворцовой также в [29]. Важную роль в её исследованиях играют критерии принадлежности функции определенному классу через средние Фейера её ряда Фурье.
В качестве пространства У2п можно рассматривать пространство UC2* непрерывных функций с равномерно сходящимися рядами Фурье. Первая работа такого рода принадлежит М. Томичу [60], который доказал, что для квазивыпуклой последовательности {Ап}^_0 условие {An}^ 0 G (C2niUC2n) равносильно соотношению lim Ar, In п = 0.
л—»оо
Й. Карамата [48] дал критерий {Аг,}^10 G (C2v, UC2lt) через ограниченность
2 л-
Ао ,
— + > A* cos ki at.
k=l
Его результат был обобщен Гёзом [45] в различных направлениях. Во-первых, были установлены критерии {Ап}^0 G [L^jUCin) при 1 ^ р < оо и {An}^0 G (L27r,£/C27г) при выполнении Д2—условия на функцию Ф. Во-вторых, для Х2п - 1 ^ р < оо, Х2п = Съг или Х2* = Ь21Г, где Ф удовле-
творяет Д2—условию, было получено равенство (X27r, UC2v) = (Ь1,(Х|Л.)П) где (X^)^—п одп росгг ранет во сопряженного пространства Х^, для элементов которого ряды Фурье сходятся по норме XJ*. Наконец, при 1 < р < оо. Г. Гёз получил равенство (£2тг>
иСг«) = {ЬЪ,Ь%).
Р. Боянич [40] дал достаточное условие для {Ад}^0 G (Я27Г, t/C2jr), где Н& = {/ G С27Г : а;(/, 6) ^ Cw(6), 6 G [0, 2тг]}.
6
Ф. Харшиладзе [34] перенес теорему Р. Боянича на случай класса непрерывных функций, таких, что En(f)<*> = О (w (£))> где
En(f)oo = ^{11/ — ^тг ||(7(0,2т) : tn £ ^гг})
а Гп — пространство тригонометрических полиномов порядка не выше п.
В работе [35] он же изучил общие свойства пространств (Х%п)п (полнота, равномерная непрерывность нормы) и получил критерий для {Ап}°10 G (№тт)n,UC2x) = {{Х2л)п, (С2?г)гг))* В частности, был найден критерий для {An}^0 G (UC2n, UC27:)) и доказано, что S С (11Съг, UC2lг)) - Наконец, в [36] им были установлены критерии для {An}^0 G (Lip(l), VC2^)) и {Ап}^10 G (V,C/C2ir)).
В работе [60] М. Томич дал достаточное условие для принадлежности ква-зивыпуклой последовательности {А„}~0 пространству (#£р иСы))- В. Девор [41] также для квазивыпуклой последовательности {Ап}^10 установил критерий {Ап}~0 € (Ь%п>иС2п)), где = {/ G С2* : си(/,tf) = o(w(£))}.
С.А. Теляковскому [32] удалось распространить этот результат на пространство (Н^иСък)) : квазивынуклая последовательность {Ал}^10 принадлежит (#2я, UC2n)) тогда и только тогда, когда
lim A„o;(l/n) Inn = 0.
n—»oo
Идея использования {An}^0 из достаточно широкого класса оказалась весьма плодотворной. Так, С.А. Теляковский [33] доказал:
Пусть {Ап}~0 является последовательностью косинус—коэффициентов Фурье—Стилтьеса, т.е. справедлива оценка
Тогда для {Ап}п=0 6 (#2тг> иС21Т)) необходимо и достаточно, чтобы
2л у
Ао
Иш о;(1/п)
Т1—‘СО
сИ = 0.
Далее эта идея развивалась учеником С.А. Теляковского В.Р. Почуевым [27]. Для изучения мультипликаторов класса (Н“,иС2л))> где Н* — {/ 6 •Мтг : ^(/,5)^1 ^ С(и;((!>))}, он рассматривал {Ап}п=0, являющиеся коэффициентами Фурье функций из #2тг- Помимо иСъг в [27] рассматривалось пространство рядов Фурье с равномерно ограниченными частными суммами.
Близкой к проблеме мультипликаторов типа (Х2тг, (Т21Г)П) является проблема определения классов матриц {Ат}^°г=0 (чаще всего треугольных), таких, что соответствующие средние
Апо^о
00
Н- ^2 Аш (аг соэ гх + вш гх)
(0.1)
сходятся но норме У2я, если ряд
7^ -1- ^ (а, соб гх 4- Ъх вт гх)
оо
1=1
является рядом Фурье функции /(х) 6 Х2*.
Общий критерий равномерной сходимости нижнетреугольных сумм к непрерывной функции был доказан С.М. Никольским [26] и состоял из двух условий:
2*
Иш Хкп = 1
п—»оо
Г 1 ,п л 2 - У Аы сек Ы
п к—1
<и ^ м,
(0.2)
где (Апо =1)- Если первое из этих условий легко проверяемо, то про второе этого сказать нельзя. Поэтому некоторое количество работ было посвящено уточнениям и обобщениям данного результата. Так, сам С.М. Никольский [26) упростил условие (0.2) для случая выпуклости конечной последовательности Апо» • • • ? АПя.
8
В работе [49] Й. Карамата и М. Томич для так называемогоF—перманентного прямоугольного метода, суммирующего ряд Фурье непрерывной функции в каждой точке, дали критерий равномерной сходимости сумм (0.1) к соответствующей функции /. М. Томич [61] установил ряд достаточных условий для сходимости сумм (0.1) при условии / € //&.
Наконец, М. Катаяма [50] обобщил результат Й. Карамата—М. Томича на случай / G причем случай р = 1 оказался отличным от случая р Е (1, оо).
Кроме классов Н2п, Щ2п вызывают интерес классы
Щ* = {/€15, : *(/,«)* <<М/)}
и их аналоги, задаваемые модулями непрерывности более высоких порядков. Для Н21Г их связь с последовательностями наилучших приближений достаточно полно описана в статье Н.К. Бари и С.Б. Стечкина [10]. Там же были введены классы функций типа модуля непрерывности В и Bk и даны их эквивалентные описания.
Интересным вопросом является также нахождение условий на коэффициенты Фурье, позволяющие оценить сверху или снизу модули непрерывности или наилучшие приближения в равномерной или одной из интегральных метрик. В равномерной метрике оценка сверху равномерного наилучшего приближения синус—рядов
Ьп .
— sin пх, п
где bn I 0 была получена Н.К. Бари [9]. Там же была получена оценка снизу
£«(/)оо ДЛЯ
С»
/(*) = Y, ап cos пх,
п= 1
где ап ^ 0.
9
- Київ+380960830922