Содержание
Введение 3
1 Случайные замощения и марковские цепи 15
1.1 Базовая модель........................................... 15
1.2 Простейшие числовые характеристики....................... 18
1.3 Стохастические матрицы................................... 20
1.4 Переходные вероятности S і—► S ± 1....................... 25
1.5 Алгоритмическое описание................................. 30
1.5.1 Алгоритм для перехода S ► S 4- 1................... 30
1.5.2 Алгоритм для перехода 5^5-1........................ 33
1.6 Численные эксперименты................................... 34
2 Корреляционные функции 36
2.1 Одномерные распределения и многочлены Хана............... 36
2.2 Многомерные корреляционные функции....................... 41
2.3 Двумерная динамика и ее корреляционные функции........... 47
3 Предельный переход в корелляционных ядрах 53
3.1 Формулировка результата.................................. 54
3.2 Статический случай....................................... 57
3.3 Общий случай ............................................ 63
3.4 Анализ полученных результатов............................ 70
4 Марковские цепи на графе Гельфанда—Цетлина 75
4.1 Граф Гельфанда-Цетлина................................... 75
4.2 Когерентные системы, возникающие из теории представлений 77
4.3 Свойства марковских цепей XpjtV/(t)...................... 82
4.4 Детсрминантная форма записи переходных вероятностей . . 84
4.5 Предельный процесс....................................... 90
4.6 Марковская полугруппа предельного процесса............... 99
4.7 Интерпретация построенного процесса как h-
нреобразования Дуба......................................103
2
Введение
Диссертация посвящена исследованию стохастических моделей, связанных со случайными замощениями и простейшими случайными поверхностями — с одной стороны, и с теорией представлений бесконечномерной унитарной группы — с другой. Замечательным свойством, объединяющим все изучаемые вероятностные модели, является то, что с помощью несложных комбинаторных биекций их можно отождествить с некоторыми ансамблями нспсрсссжающихся ломаных на двумерной решетке.
Для любых целых а, 6, с > 1 рассмотрим нарисованный на правильной треугольной решетке шестиугольник со сторонами а, 6, с, а, 6, с. Обозначим через Оахбхс множество всех замощений этого шестиугольника ромбами, полученными склейкой двух соседних элементарных треугольников. Эквивалентно, ОахбхС — это множество всех паросочетаний (димеров) на части двойственной гсскагональной решетки, ограниченной нашим (а, 6, с)-тпестиуголышком. Элемент множества ИлхЬхь изображен на рис. 1.
Рис. 1: Замощение, ступенчатая поверхность или ограниченное плоское разбиение. Линии, разделяющие “горизонтальные” ромбы, удалены.
Элементы множества С1ахЬхс имеют различные комбинаторные интерпретации, многие из которых приведены в первой главе диссертации. В частности, на них можно смотреть как на плоские разбиения (трехмерные диагаммы Юнга) или же ступенчатые поверхности в трехмерной коробке размера ахЬхс. В такой интерпретации равномерно
3
распределенный элемент Пахбхс задает простейшую модель случайной поверхности. Эта модель, се вариации и обобщения интенсивно изучались начиная с конца 90-х годов, когда был обнаружен феномен “предельных форм” — аналог классического закона больших чисел. Оказывается, при измельчении шага решетки случайная ступенчатая поверхность стремится (здесь можно, например, говорить о сходимости по вероятности) к неслучайной кусочно-гладкой поверхности в К3. Существование таких предельных поверхностей было впервые анонсировано Верншком [67] в 1997 году в модели плоских разбиений (без ограничений) е мерой qval, где vol — объем плоского разбиения. Позже Кеннон и Серф |28] привели полное доказательство сходимости и описали возникающую предельную форму. В 1998 году Кон, Ларсен и Пропп [30] доказали аналогичный закон больших чисел для плоских разбиений в коробке размера а х Ъ х с и дали описание предельной поверхности для этой модели.
В дальнейшем существование предельных форм было доказано Коном, Кенионом и Проппом [29| (см. также работы [32], [311) для произвольных кусочно-гладких граничных условий (т.е. для ступенчатых поверхностей, отвечающих равномерно распределенным замощениям не простейшего шестиугольника, а более сложных областей). А в работах Кеннона, Окунькова и Шеффилда [47|, [48] было получено описание возникающих предельных форм, а также была обнаружена интересная связь последних с алгебраическими кривыми.
Интересной особенностью предельных поверхностей является наличие в них фазового перехода: наряду с частью предельной формы, которая является нетривиальной гладкой поверхностью (так называемая “жидкая фаза”), есть и “замороженные области”, в которых предельная поверхность является частью плоскости.
Основной целыо первой главы диссертации является введение марковских цепей па плоских разбиениях в коробке, которые сохраняют равномерные меры.
Обозначим через РахЬхс равномерную вероятностную меру на
4
пространстве QUXbxс- Мы построим два семейства стохастических матриц
^охЬхс • ^axbxc х ^(tt-l)x(6+l)xc —> [0? 1]»
^axbxc : ^axbxc х ^(«+1)х(6-1)хс [0> 1]>
таких, ЧТО
^ ^ /^ах6хс(^)-^гхЬхс(^1 ^ ) = /i(aTl)x(6±l)xc(^; )
^€^ах6хс
для всех а, Ь.с, для которых все множества Q непусты.
Хотя явные формулы для матриц Р*хЬхс (и Р~х6хс ) весьма сложны, применение марковских операторов, отвечающих этим матрицам, имеет достаточно простое алгоритмическое описание, которое мы и приведем. Неформально алгоритм делает следующее: чтобы сконструировать
но ш € ПахЬхе и' € fy«—1)х(/н-1)хс, распределенное по мере Pa*x6x>V), необходимо последовательно слева направо рассмотреть все “горизонтальные” ромбы в ал Для каждого такого ромба его новое положение выбирается с помощью простого одномерного вероятностного распределения. (Здесь мы опустили возникновения и исчезновения вертикльных ромбов наверху и внизу шестиугольника, которые иногда происходят.) Это означает, что, в некотором смысле, Р^хЬхс и Р~хЬхс разлагаются в произведение одномерных марковских шагов.
У нашего алгоритма есть сходство с построенным в работе Элкиса, Куперберга, Ларсена и Проппа [35] перемешивающим алгоритмом для замощений так называемого “ромба ацтеков” (“Aztec diamond”) прямоугольными 2x1 домино. В самом дело, этот алгоритм так же, как и наш, сохраняет равномерные меры (на самом деле, он работает для одномерного семейства распределений, включающего в себя равномерное) и разлагается Fia простые марковские (в этом случае — бернуллиевскис) шаги.
Далее мы рассмотрим марковские цепи, получаемые последовательным применением матриц Р^хЬхс и Р~хЬхс в произвольном порядке. Как начальное, так и все одномерные распределения этих цепей — равномерные меры на соответствующих пространствах Q. Одним из примеров является применение Ь переходных матриц Р^хрхс (с меняющимися значениями параметров) к единственной вероятностной
5
мерс на одноточечном множестве П(а.4.*,)х0хс- Этот пример дает вычислительно эффективный алгоритм для выборки из распределения А*ахЬхс> требующий 0((а+Ь)Ьс) математических операций. Если параметры а, Ь, и с не очень сильно отличаются, то алгоритм примерно столь же эффективен, как и алгоритм, предложенный Краттенталером [54], и более эффективен, чем другие известные алгоритмы, ср. [26], [56], [63], [62|, [68|, [69]. Другим примером является знакопеременная
последовательность (^+1)х(И)хс^;1х()(^+1)х(б-1)х/;хбхо)' ‘. которая задает стационарную стохастическую динамику на пространстве Пох&хс с инвариантным распределением /1ахЬхс-
Построение матриц Р^уЬус и Р^хЬхс является одним из применений общего алгебраического формализма, предложенного Бородиным и Феррари 118]. Марковские процессы с непрерывным временем, детально рассмотренные в |18|, могут быть получены в качестве вырождения РиУ,)УГ вблизи угла шестиугольника при стремлении а, Ь, с к бесконечности в том случае, если или а, или Ь существенно больше, чем другие два параметра. Упомянем также, что перемешивающий алгоритм для замощений “ромба ацтеков” также укладывается в формализм работы [18], см. раздел 2.6 в |18] и работу Норденштама [58].
Следующая часть диссертации посвящена вычислению корреляционных функций для мер /1(а, Ь, с). Следуя работам Йоханссона и Норденштама [42], [43| и Люби, Рендсла и Синклера [56] мы используем еще одну интерпретацию, в которой П(а, 6, с) отождествляется с некоторым ансамблем непсресекающихся ломаных на плоской решетке. Последняя интерпретация приводит к дстерминантным точечным процессам (иначе говоря, случайным точечным конфигурациям), меняющимся со временем. Неформально говоря, мы сопоставляем замощению точечную конфигурацию, в которой точки отвечают ромбам двух из трех типов. Свойство детерминантности, играющее ключевую роль, означает, что динамические (т.е пространственно-временные) корреляционные функции модели могут быть получены как миноры некоторой матрицы, называемой (динамическим) корреляционным ядром.
Если зафиксировать момент времени, то модель определяет случайную конфигурацию точек па одномерной решетке - ортогональный
6
полиномиальный ансамбль Хана. А динамическая модель может быть описана как цепочка таких ансамблей с меняющимися параметрами, ее можно назвать динамическим ансамблем Хана. Динамическое корреляционное ядро есть так называемое расширенное ядро Хана, впервые полученное Йоханссоном в работах [42] и [43]. Основой для вычисления ядра служит теорема Эйнара-Меты [36].
Другим способом вычисления корреляционных функций могла бы служить развитая Кастеляйном |44| теория планарных димеров, в соответствии с которой корреляционное ядро является матричным элементом обращенной матрицы смежности графа. Однако именно выражение ядра через ортогональные полиномы позволяет нам исследовать в дальнейшем его асимптотику.
Один из результатов диссертации — вычисление асимптотики расширенного ядра Хана в так называемом балк-режиме (“bulk limit regime”). Нашей целью является описание предельного поведения случайной точечной конфигурации в окрестности некоторой фиксированной точки предельной формы при а, 6, с —> оо с постоянным отношением а : b : с. Ответом является случайный точечный процесс, задаваемый трансляционно-инвариантным ядром К(х, s; у, t) на 1? х Z2, для которого в диссертации получено прос тое интегральное представление
1 Га'°
К(х, .<?; у, t) = —г ф (1 + сшУ~я wx~y~ldw
llil Jc-x*
Здесь интегрирование ведется по правой стороне единичной окружности, если s > £, и по левой, если «9 < t, а параметры ф и с зависят от предельного режима (теорема 3.1).
Статическая версия ядра ($ = t) есть хорошо известное дискретное синус-ядро на Z х Z, см. работу Бородина, Окунькова и Ольшанского [20]. Полученное динамическое расширение синус-ядра входит в число построенных Бородиным в [17]. Ядро K(x,s\y,t) связано простым преобразованием (дуальность частиц и дырок на решетке) с ядром, впервые полученным Окуньковым и Решетихиным |60].
Предельный точечный процесс, задаваемый расширенным синус-ядром, тесно связан с предельной формой, возникающей в нашей модели. Перейдя от случайной точечной конфигурации обратно к
случайному замощению ромбами трех типов, мы получим некоторую трансляционно-ивариантную гиббсовскую меру на замощениях плоскости. В диссертации Шеффилда [65) были классифицированы все эргодическис трансляционно-инвариантные гиббсовские меры на замощениях, а в работе Кениона, Окунькова и Шеффилда [47| были подсчитаны их корреляционные ядра. Мера зависит от двумерного параметра у — средних концентраций ромбов трех типов. Предельная мера, получаемая в нашей работе, является одной из таких мер /і„. Параметр и позволяет предсказать и возникающую продельную форму: средние концентрации ромбов трех типов однозначно пересчитываются в наклон предельной формы, в частности, замороженные области отвечают областям параметров, для которых предельная мера сосредоточена на вырожденном замощении, содержащем лишь ромбы одного типа. Мы явно проверим, что получаемая нами зависимость и от предельного режима согласуется с формулами для предельной формы, имеющимися в литературе.
По-видимому, имеет место болсс общий феномен: для произвольных кусочно-гладких граничных условий локальные меры сходятся к одной из мер \хи, параметр которой зависит от наклона предельной формы (напомним, что существование последней в таких же предположениях было доказано Коном, Кенионом и Проппом в |29|). Такая гипотеза была высказана, в частности, Кенионом в с татье [45). Сам Кенион в [45| доказал гипотезу для специального класса граничных условий, характерной особенностью которых является отстутствис замороженных областей у возникающей предельной формы. В третье главе диссертации мы получаем доказательство этой гипотезы для замощений шестиугольника, в которых замороженные области уже возникают.
Вернемся теперь к марковским цепям, получаемым последовательным применением матриц Р£хЬхс и Р<“х,>хс. Эти марковские цепи можно рассматривать как двумерные процессы рождения и гибели. Одной из важных их особенностей является тот факт, что на некоторых двумерных сечениях трехмерного пространства-времени соответственным образом определенные корреляционные функции задаются (по аналогии с мерами //(а, 6, с)) явными детерминантными формулами.
Мы также получаем асимптотику этих корреляционных функций
8
при а,Ь,с -> оо с фиксированным отношением а : Ь : с (т.с., как и ранее, в балк-режиме). На тех же самых двумерных сечениях мы вычисляем предельные корреляционные функции, которые также имеют дстерминантный вид. Болес того, на каждом таком сечении определен предельный двумерный дстерминантный точечный процесс, обладающий некоторыми гиббсовскими свойствами, см. работу Бородина и Шлосмана [25| и приведенные там ссылки.
Последняя глава диссертации посвящена вероятностному сюжету, возникшему из задачи гармонического анализа на бесконечномерной унитарной группе. Различные вероятностные меры, связанные с теорией представлений, изучались в работах многих авторов в последние 35 лет. По-видимому, первыми из подобных работ являются статьи Вершика, Керова (3] и Логана, Шснпа [55], посвященные доказательству закона больших чисел для случайных (двумерных) диаграмм Юнга, распределенных по мере Планшерсля. Эта мера тесно связана с теорией представлений симметрических групп и возникает при разложении регулярного представления группы на неприводимые компоненты. А вероятностные распределения, изучаемые в последней главе диссертации, связаны с теорией представлений бесконечномерной унитарной группы.
При разложении естественных представлений группы II(оо) на неприводимые появляется семейство вероятностных мер {Р*'ю}, зависящих от двух параметров г и ги. Эти меры определены на некотором бесконечномерном пространство Т. Болес того, оказывается, что определение мер можно естественным образом расширить до четырехиарамстрического семейства. В соответствии с этим, мы будем использовать четыре индекса г, ш, %', ь/ вместо двух.
Меры Ри были впервые обнаружены и изучены в
работах Бородина и Ольшанского [61| и |22|. Структура мер Рг существенно зависит от того, являются ли параметры целыми или нет. Мы рассматриваем первый случай, параметры г и ю — целые числа. В дальнейшем мы будем использовать для них обозначения р и д, соответственно. В нашем случае носитель мер является конечномерным подпространством Т и может быть отождествлен с X = 'О, 1]р+*+1 (здесь и далее р+д > 0). Вероятностные распределения рМ'-'^ были явно описаны
9
- Київ+380960830922