ОГЛАВЛЕНИЕ
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.......................................... 4
ВВЕДЕНИЕ ................................................... 7
Глава 1. ОБ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ И ВКЛЮЧЕНИЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ К РАЗРЕШИМОСТИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ............................. 59
§1. Некоторые понятия из теории линейных отношений .... 59
§2. Условия разрешимости разностных уравнений
с начальным условием из подпространства. Оценки
решений............................................. 72
§3. Условия разрешимости разностных включений.......... 86
§4. Ограниченные решения разностных включений.......... 98
§5. Приложения к вопросам разрешимости линейных
дифференциальных уравнений...................107
Глава 2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В
ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ...........................116
§1. Спектр разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах двусторонних последовательностей и функций, определенных на вещественной прямой.............................116
2
3
§2. Спектр разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах односторонних
последовательностей и векторных функций на полуоси . . 134 §3. Условия обратимости разностных и дифференциальных
операторов в весовых пространствах................144
§4. Экспоненциальная дихотомия разностных операторов, связанных с полугруппой Хоулэнда, и их спектральные свойства.............................................160
Глава 3. БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ . 177
§1. Ослабленная задача Коши для линейного
дифференциального включения.......................177
§2. Линейные отношения и бесконечно дифференцируемые
полугруппы операторов ............................182
§3. Базовый генератор бесконечно дифференцируемой
полугруппы операторов.............................204
ЛИТЕРАТУРА................................................214
*ч
Список обозначений
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Z+ = N U {0} — множество неотрицательных целых чисел;
J — одно из множеств: N, Z, Z+
R — множество действительных чисел;
М.,. = [0, оо) — множество неотрицательных действительных чисел;
о
Мт = (0, оо) — множество положительных действительных чисел;
о
J— один из промежутков: К, R+, Е+;
С — множество комплексных чисел;
С — расширенная комплексная плоскость;
Т = {Л е С : |А| = 1} — единичная окружность;
X, У, X, У — комплексные банаховы пространства;
X х У — декартово произведение двух банаховых пространств Л и У; Л* — сопряженное к X банахово пространство;
J. Л), 1 < р < оо, — банахово пространство суммируемых с весом а : 1 —» (0, оо) последовательностей .г* : J —* X векторов с
нормой ||а;|| = (№$)
l%°(J,X) — банахово пространство ограниченных относительно веса
а : J —> (0,оо) последовательностей гг : J —> X векторов с нормой 11*11 = sup £№•*) = *41 х)> еслп а = 1;
££(«/, Л), 1 ^ р < оо, — банахово пространство измеримых по Бохнеру функций, определенных на множестве J и суммируемых с весом О: : J —> (0,оо) со степенью р и нормой ||ж(| =
)Р \ i/p <*) ;
L^°( J, X) — банахово пространство существенно ограниченных относительно веса а : J —> (0, оо) измеримых функций
5
ж : 7 -* X с нормой ||.т|| = уп\\
ёу- 7 ' *
1^(7, X) = ££(7, X), 1 < р ^ оо, если а = 1;
5^(7. X), 1 ^ р < оо, — банахово пространство измеримых функций
5Р(7, X) = 5Р(7, X), 1 ^ р < оо, если а = 1;
72(7, X) — одно из банаховых пространств ££(7, Х),1 < р ^ оо;
5Р(7, X), 1 ^ р < оо;
.7(7, А') = 72(7, X), если а = 1;
Сь(7, X) — пространство непрерывных и ограниченных на 7 функций (подпространство £,°°(7, X));
С&,«(7, X) — подпространство равномерно непрерывных функций из
(7^0(7, X) — подпространство функций из Се, (7, уА) со свойством
ЫЗ(Х,У) — банахово пространство линейных ограниченных
ЫЗ(Х) — банахова алгебра ограниченных операторов в X;
£>0(Х, У) — множество линейных замкнутых операторов, с областью определения из X со значениями в У;
Li?(X, У) — множество линейных отношений между линейными пространствами X и У;
£Ж7(Х, У) — множество замкнутых линейных отношений между банаховыми пространствами X и У;
£0(Х) = £,0(Х,Х), ЩХ) = ЩХ,Х), ЬЯС{Х) = 7Ж7(Х,Х);
х : 7 —> X, для которых конечна величина ||х||
аиху,
операторов, определенных на банаховом пространстве X со значениями в банаховом пространстве У;
27(Л) — область определения отношения А; Кег А — ядро отношения А £ ЬЯ(Х)\
\т А — образ отношения А £ ЬЯ{Х)\
Л\Хо — сужение линейного отношения на инвариантное подпространство А* — сопряженное кАв ЬЯ(Х,У) линейное отношение;
АЛ- В — сумма двух линейных отношений из ЬЯ(Х,У);
АВ — произведение линейных отношений В Е ЬЯ(Х, У)иАе ЬЯ(У, Z)\ А“1 — обратное отношение к линейному отношению А;
<т(А) — спектр линейного отношения А Е ЬЯС(Х); д(А) — расширенный спектр линейного отношения А Е ЬЯС(Х)] р(А) — резольвентное множество линейного отношения А Е ЬЯС(Х); р{А) — расширенное резольвентное множество линейного отношения А Е ЬЯС{Х);
Я(',А) : р(А) —» ЬВ(Х) — резольвента линейного отношения А Е ЬЯС{Х);
(С?, Я) — упорядоченная пара линейных операторов <2, Я из ЬО(Х,У)', а(С,Я) — спектр упорядоченной пары линейных операторов (С, Л7); а(С, Я) — расширенный спектр упорядоченной пары линейных операторов (£, Я); р((7, Р) — резольвентное множество упорядоченной пары линейных операторов (С^-Р); р(С?, Я) — расширенное резольвентное множество упорядоченной пары линейных операторов (<2,.Р);
Р) : р((3, Р) —> ЬВ(У,Х) — резольвента упорядоченной пары линейных операторов ((2. Я);
А/,Аг — левое и правое линейные отношения упорядоченной пары линейных операторов (С, Я);
Я/(;(7, Р), Яг(-;(7> Р) — левая и правая резольвенты упорядоченной пары линейных операторов (С, Я).
7
Главная задача математики наших дней состоит в достижении гармонии между континуальным и дискретным, включение их в единое математическое целое и удаление из них всего неясного.
(Bell F.T. Men of Mathematics, pp.13-14, New York, 1937)
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию геометрических (качественных) свойств решений разностных уравнений, разностных включений и дифференциальных уравнений с неограниченным операторным коэффициентом методами спектральной теории линейных операторов и линейных отношений.
Состояние качественной теории дифференциальных уравнений долгое время в значительной мере отражали монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна [26], X.Maccepa, X. Шеффера [44], авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными. Существенный вклад в теорию таких уравнений был сделан
В.В. Жиковым в статье [29]. Затем результаты этой статьи были изложены в монографии Б.М. Левитана, В.В. Жикова [43].
В последние пятнадцать лет была установлена глубокая связь между теорией дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, теорией полугрупп операторов и теорией разностных операторов как непрерывного аргумента, так и дискретного. Связь с разностными операторами прослеживается в двух направлениях.
Первое направление связано со следующим методом исследования. Рассматриваемому дифференциальному уравнению сопоставляется
8
линейный дифференциальный оператор, действующий в подходящем функциональном пространстве. В 1974 году Хоулэндом [82] была введена в рассмотрение полугруппа разностных операторов, действующих в том же функциональном пространстве. Её важная роль проявилась значительно позже в работах А.Г. Баскакова [16]—[17], Ю.Д. Латушкпна,
С. Монтгомери - Смита [84], в которых было установлено, что соответствующий дифференциальному уравнению дифференциальный оператор является генератором (инфинитезимальным оператором) полугруппы разностных операторов Хоулэнда. При этом важно отметить, что для этой полугруппы операторов имеет место теорема об отображении спектра, которая была доказана одновременно в статьях А.Г. Баскакова [9], [12], Ю.Д. Латушкина, С. Монтгомери - Смита [84], Ф. Рсбигера, Р. Шнаубельта [90]. Эта теорема позволяет свести изучение дифференциального оператора к изучению ограниченных разностных операторов, действующих в тех же функциональных пространствах.
Второе направление исследования дифференциальных операторов связано с использованием разностных операторов, действующих в подходящем банаховом пространстве односторонних или двусторонних последовательностей.
Техника исследования дифференциальных операторов, основанная на использовании разностных операторов в пространствах последовательностей, и использование теории полугрупп операторов позволили за последние пятнадцать лет существенно развить теорию дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами. Именно такая техника исследования положена в основу получения основных результатов диссертации.
Теория разностных операторов и связанные с ней разностные уравнения с дискретным и непрерывным аргументом играют важную роль в описании процессов и явлений, ргзучаемых во многих областях современной науки (биологии, экономике, химии, физике, теории автоматического
9
регулирования и др.)*
Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX - начале XX столетия. Так в работах О.Перрона (87) и А. Пуанкаре [88] изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, связанных с операторами взвешенного сдвига.
Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено прежде всего применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности А.Б.Антоновича [3],[4],[70], А.Г.Баскакова [10]-[13], [15], Р.Беллмана и К.Л.Кука [18], И.Ц.Гохберга и И. А. Фельдмана [25], П.П.Забрейко и Нгуен Ван Миня [31], В.Г.Курбатова [39], [40], [83] Х.Л.Массера и Х.Х.Шеффера [44], В.М.Тюрина [63], Д.Хснри [68].
Разностные операторы являются также объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях
З.Нитецки [52], П.Халмоша [67], Ю.Д. Латушкина и А.М. Стёпина [42] и многих других. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривались в работах Ю.Ф.Коробейника [37], А.А.Миролюбова и М.А.Солдатова [48],[49], Н.К.Никольского [50], В.Д.Степанова [56],[57] и А.Л.Шилдса [93],[94].
Спектральные свойства разностных операторов исследовались А.Б.Антоневичем [3], Э.М.Мухамадиевым [47], Э.М.Мухамадиевым и Б.Н.Садовским [49].
Условия обратимости разностных операторов находят широкое применение в теории дифференциальных операторов. Как правило, исследования обратимости дифференциального и связанного с шгм разностного операторов приводятся в терминах экспоненциальной дихотомии соотвстствзчощего семейства эволюционных операторов.
10
Связь экспоненциальной дихотомии с разрешимостью неоднородных дифференциальных уравнений в пространстве непрерывных ограниченных на числовой прямой функций установлена О.Перроном [87]. Дальнейшие исследования в этой области для уравнений в банаховых пространствах с ограниченными коэффициентами проводились Х.Массером и X.Шеффером [44]. Однако, даже для обыкновенного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами достаточно долго не удавалось доказать эквивалентность его обратимости и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства. В монографии Ю.Л.Далецкого и М.Г.Крейна [26] аналог этого утверждения получен при некоторых дополнительных условиях. Этот результат, для случая неограниченных операторных коэффициентов, получен в работах В.В.Жикова [29] и А.Г.Васкакова [12].
Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банаховом пространстве рассматривали С.Коффман и X.Шеффер [74], делая упор на связь дихотомии и допустимости. В работе В.Е.Слюсарчука [57] доказана эквивалентность обратимости разностного оператора с ограниченными операторными коэффициентами, содержащего взвешенный сдвиг, и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Аналогичный результат для случая ограниченных коэффициентов, определяющих (возможно) неограниченную операторнозначную функцию, получен в монографии Д.Хенри [68]. В обеих работах операторы рассматривались в пространстве ограниченных двусторонних последовательностей векторов из банахова пространства.
Основные результаты диссертации связаны с исследованием разностных операторов, действующих в пространстве последовательностей векторов из банахова пространства. Для исследования таких операторов, ввиду их ограниченности, применимы методы спектральной теории операторов и, более общо, спектральной теории линейных отношений (многозначных линейных операторов).
Использование спектральной теории линейных отношений для
11
спектрального анализа разностных операторов систематически используется в главах 1-3 диссертации. При этом очень важным является построение проекторов Рисса по спектральной компоненте из спектра подходящего линейного отношения. Прямому использованию спектральной теории операторов для дифференциальных операторов мешает неограниченность спектральных компонент из спектра таких операторов.
Применение результатов, полученных для разностных операторов, к исследованию дифференциальных проходит по следующей схеме. Обратимость разностного оператора, построенного но дифференциальному оператору, влечёт круговую дихотомию спектра для полугруппы операторов, генератором которой является операторный коэффициент. Этот факт позволяет построить функцию Грина для обратного оператора к исследуемому дифференциальному оператору.
Ставшие классическими результаты из отмеченных монографий Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна [26) и X. Массера, X. Шеффера [44] относились к пространствам функций, инвариантных относительно сдвигов. Возникает естественная проблема изучения дифференциальных и разностных уравнений в весовых пространствах функций, определённых на бесконечном промежутке, и последовательностей векторов (односторонних и двусторонних). Такая проблема рассматривается во второй главе диссертации, в которой получен ряд основных результатов. Даётся полное описание спектра как разностных, так и дифференциальных операторов. Полученные результаты являются новыми даже для обыкновенных дифференциальных операторов. Важно отметить, что фактически отсутствуют ограничения па весовую функцию. Основной метод получения результатов главы основан на преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве к оператору, действующему в невесовом пространстве, но уже с переменными коэффициентами.
Отметим, что один из известных нам результатов, связанных с
12
разрешимостью в пространстве растущих функций, получен в теореме 7.6.3 из монографии Д. Хенри [68], в которой при условии экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов получена разрешимость дифференциального уравнения в классе растущих функций. Какая-либо содержательная теория рассматриваемых операторов в весовых пространствах отсутствует.
Как отмечалось, в первой главе диссертации широко используется новая, недавно появившаяся техника исследования разностных операторов, основанная на применении спектральной теории линейных отношений.
В третьей главе диссертации осуществляется построение полугруппы операторов по секториальному линейному отношению, то есть фактически получены условия разрешимости дифференциальных включений. Построенная полугруппа операторов будет заведомо вырожденной, если линейное отношение не является оператором. Получена теорема об отображении спектра для такой полугруппы операторов. Кроме того, получены приложения к разрешимости дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной.
Более подробно (на языке формул) опишем два новых направления в исследовании геометрических свойств решений дифференциальных
уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, связанными с применением разностных операторов.
Пусть ,1 — один из бесконечных промежутков К+ = [0,оо), =
(—оо, оо). Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения
§ = АЦ)х, I е I (1)
^ = А(1к)х + т, г е .7, (2)
где А(1) : С X —> X, £€./,— семейство замкнутых операторов,
действующих в комплексном банаховом пространстве X. Одним из
центральных вопросов геометрической теории (качественной теории) таких
13
уравнений является исследование асимптотического поведения решений, а также исследование условий существования ограниченных решений. Асимптотические свойства решений уравнений (1), (2) соотносятся с соответствующими свойствами дифференциального оператора
*-%-т
рассматриваемого в подходящем функциональном пространстве ^(.7, X). Одним из наиболее важных пространств является банахово пространство Съ{.1,Х) непрерывных и ограниченных на ,7 функций со значениями в банаховом пространстве X. Построение оператора £ осуществляется в условиях корректности задачи Коши
для однородного дифференциального уравнения (1). Это влечёт существование семейства эволюционных операторов Ы : Д.7 —> ЫЗ(Х), где А^ = {(£, а) Е .7 х .7 : я ^ £}, ЫЗ(Х) — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X, которое решает задачу Коши
Построение оператора С : I}(£) С —> ^*(Е, X) осуществляется
следующим образом. Функция х Є X) П Сь{Е, X) относится к области
определения £>(£) оператора £, если существует функция / Е Т{Ш,Х) такая, что для всех а < і из Е верны равенства
При этом полагается Сх = /. Оператор С также обозначается символом
Если ,7 = Е+ = [0,оо) и Е — замкнутое подпространство из X, то оператор
х(а) = жо Є Х:
(3)
(1). (3).
£=-I+т
СЕ : £>(£е) С X) -*■ ХфЦ., X)
14
определяется с помощью семейства эволюционных операторов Ы : —»
ЬВ(Х). Пара функций (х,/) из ^(Е^Х) относится к графику оператора Се, если х е Сь(Е.\.,Х), х(0) е Е и для всех 0 ^ з < Ь < оо верны равенства (3).
В банаховом пространстве функций .ТДЕ, X) (инвариантном относительно оператора сдвига) корректно определена полугруппа операторов Хоулэнда {Тц{Ь) ' I ^ 0} вида
(71/(£)х)(з) = ^(5,5 — £)х(я — £), 5 Е Е, £ > 0, а;€/(1,Х). (5)
Каждый из операторов Тц{1), Ь ^ 0, является разностным оператором взвешенного сдвига.
Эта полугруппа операторов сильно непрерывна в любом из банаховых пространств 27(Е,Х), р € [1,оо), Со(Е,Х), а её генератором
(инфинитезимальным оператором) является оператор Си, при этом оператор Сц непрерывно обратим тогда и только тогда, когда обратим разностный оператор I — 21/(1). Соответствующие результаты получены в статьях [12], [84].
Другой подход в исследовании дифференциальных уравнений (1) и (2) основан на использовании разностных операторов и разностных отношений на соответствующих весовых пространствах последовательностей. Для 1 = Е в банаховом пространстве 1Р(Ъ,Х), где р € [1,оо], оператору С : Т>(С) С 1^(Е, X) —> Ьр{Е, X) ставится в соответствие разностный оператор V : 1Р{%,X) —> /р(й, X), р е [1, оо], вида
(Т>х)(п) = х(п) — 1А(п,п — 1)х(п — 1), пей, х Е 1Р(%, X).
Одним из определяющих результатов является свойство одновременной обратимости оператора С и разностного оператора V.
Для изучения оператора Се в диссертации используется разностный
15
оператор Т>е, определенный формулой
(Т>ех)(п) — х(п + 1) — ІА(п/п — 1)ж(п), п > 0,
с областью определения 0(Т>е) = {а? € /Р(^Ь,Х) : о;(0) € #}. В свою очередь для изучения оператора Т>е применяется спектральная теория линейных отношений. Таким образом, спектральная теория линейных отношений служит основой для исследования как разностных, так и дифференциальных операторов.
Перейдем к изложению основных результатов диссертации.
В первой главе диссертации получены условия разрешимости разностных уравнений и включений, а также рассмотрены приложения к вопросу о разрешимости дифференциальных уравнений и включений с неограниченными операторными коэффициентами.
В §1 главы 1 приводятся основные определения и факты из теории линейных отношений (многозначных линейных операторов), которые в основном касаются спектральной теории и необходимы для дальнейшего изложения. Кроме того, этот параграф содержит элементы спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов.
В §2 главы 1 в банаховом пространстве 1р(%+,Х),р € [1, оо],
односторонних последовательностей х : = N I) {0} —* X векторов
из X рассматривается задача о разрешимости разностного уравнения в пространстве /Р(Й.,.,Х) вида
х(п + 1) = Вх(п) + /(гс), / Є /р(^+, X), п Є
(б)
решение х е 1Р(Х+УХ) которого удовлетворяет условию
х(0) Є Е,
(7)
где Е — замкнутое подпространство из X и оператор В принадлежит алгебре ЬВ(Х).
16
' Задача (6) *(7) сводится к разрешимости уравнения Тх = /, / G /P(Z+. А), а значит, к обратимости линейного оператора
Т : D(T) С lp{Z+,X) -> /P(Z+,X), (Тх){п) = x(n + 1) - £х(п), с областью определения
D(T) = {т € ll\Z+,X) : х(0) € Я}.
Разностный оператор —Т представим в виде
—Т = В — S,
где В G L15(/P(Z+, А)), определен равенствами (#т)(п) = Вх{п), х € /P(Z+,X), n € Z+, и S : D(S) = D(T’) С /p(Z.b А') -> Zp(Z+,X),p G [Loo], — оператор сдвига, определен равенствами (Sx)(n) = а?(п + 1), п € Z+.
Для исследования обратимости оператора Т существенно привлекаются результаты из теории упорядоченных пар линейных операторов (в нашем случае упорядоченной пары (В, S)).
При доказательстве основного результата §2 используются приводимые далее леммы 2.1 и 2.3. В лемме 2.1 символом Т обозначается единичная окружность на комплексной плоскости С.
Лемма 2.1. Спектр cr(B,S) упорядоченной пары {В) S) инвариантен относительно поворота вокруг нуля в поле комплексных чисел С. Если 1 ^ о(В, £), т.е. если оператор ~Т = В — S обратим, то
о(В, 5) Г) Т = 0
и имеют место равенства
ПГ1)(-Т)-1 V(7) = (В - 7S)-1 = л(7; Б, S’), 7 е Т, У(7_1ЖА; я, 5)V(7) = (В - 7А5Г1 = Д(7А; 0,5), Л 6 р{В, S),
17
где У(7), 7 6 Т, — семейство изометрических обратимых операторов, имеющих вид
В условиях следующей леммы используются операторы из ЫЗ(1Р(%+,Х)) вида
Лемма 2.3. Резольвента Л(-\В, 5) : р(В, Я) —> Х))
где — любой компакт из р(В, Л).
Основным результатом параграфа является
Теорема 2.1. Для того, чтобы задача (6), (7) имела единственное решение х Є 1Р(7>+,Х) для любой последовательности / Є Р(Ъ+, X), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:
где Ро — проектор Рисса, построенный но спектральному множеству
(У(7)х)(п) = 7Пх(п)у п Є г+, 7 Є Т, .т Є 1Р(Х+1 X). (8)
(У(трп)х){к) = ,фи(к)х(к)ік Є п Є М, а: Є X), (9)
где
1, к ^ п.
^п(^) = < 2 — п < к ^ 2п
О, к > 2п.
упорядоченной пары (В, Я) обладает свойством
Ііт 8ир||У(^„)Р(Л;В,5) -Я(Х;В,Я)У(фп)\\ = О, п~>ос\^к
1) <т(В) П Т = 0; 2) Р = КегР0
^іпе = {Л Є о(В) : |Л| < 1}, т.е.
(10)
т
где Р(-, В)— резольвента оператора В.
18
Следствие 2.1. Пусть Е = {0}. Для того, чтобы задача (6), (7) имела единственное решение для любой последовательности / є lp(Z+,X), необходимо и достаточно, чтобы г (В) <1.
Следствие 2.2. Пусть Е = X. Дія того, чтобы задача (6), (7) имела единственное решение для любой последовательности / Є X),
необходимо и достаточно, чтобы оператор В был непрерывно обратим и Г(В~1) < 1 (что эквивалентно условию ст(В) П {Л Є С : |А| ^ 1} = 0).
Теорема 2.2. Пусть a (В) П Т = 0 и КегРо = Е для проектора Рлсса. Рсъ определенного формулой (10). Тогда задача. (6), (7) имеет единственное решение х Є lp(Z+,X) для любой последова'гелыюс'ти / Є 1Р(Z+.X) (оператор Т непрерывно обратим) и оно представимо в виде
со
х(п) = (—Т_1/)(п) = ^ G(n - rri - 1 )f(m), ті є Z+,
m—0
где функция G : Z —> LB(X) имеет вид
BkP0, k^O,
-Bk, k< 0,
оператор В є LB(X) нулевой на подпространстве ImPo, а на подпространстве ImPi однозначно определяется из равенств В В = В В = Pi.
Естественным образом возникает вопрос об оценках решений разностного уравнения (б), удовлетворяющих условию (7).
Для получения оценок норм операторов G (к), к Є Z, используется числовая характеристика
а(г; В) = sup ||Р(А, Р)||, rinfc < г < rout,
|Л|=г
где rint = max{|A| : А Є aint}, rout = min{|A| : А Є crout}.
При r Є (rjnt, 1) для a(l; В) будет использоваться обозначение a(B).
19
Лемма 2.4. Имеет место оценка
Г-% ^ £ №)|| < ± )
кеЪ ' Р /
для любых г е (Ппь, 1), р Е (1,Го«!.), Р € [1, оо].
Теорема 2.3. Пусть <т(В) П Т = 0. Тогда верпы оценки
||С(0)|| = ||РоКа(В), |К?(*)||< а(В), к ЕЖ; ||С(*)|| = \\ВкР0\\ ^ 2а(В) (1 + ^у) ' \ * > 0;
\\С(к)\\ = |МГ*А|| *5 2а(В) (1 - ‘ \ к < О,
где а(В) ^ 1;
Р1 = 6, О (к) =0, к < 0, если а(В) < 1;
||Г-1||Р 8а(В)2 - а(В) + 1,
для любого р £ [1. оо].
В §3 главы 1 рассматриваются вопросы разрешимости и представления решений разностного включения в пространстве 1+ вида
х(п) Е Ах(п — 1) + /(п), п Е Z+\{0} = (11)
где отношение А Е ЬЯС(Х) и последовательность / Е 1Р{Ж+, X), р Е [1,ос].
По отношению А Е ЬЯС(Х) построим отношение А Е ЬЯ(1Р(Ж+>Х)) на банаховом пространстве последовательностей 1Р(Ж+)Х), р Е [1,оо]. Оно состоит из упорядоченных пар {х,у) Е 1Р(Ж+>Х) х 1Р{Ъ+,Х), для которых выполнены следующие соотношения
(х(к-1),у(к)) е А, к^1,
и, значит, АО Э {(2/о>0> • • •) : Уо € ^}* Полученное таким образом линейное отношение А назовем разностным отношением, взвешенного сдвига.
20
В следующих леммах рассматриваются свойства, линейного отношения
А Clp(Z+,X) xl*{Z+,X).
Лемма 3.1. Если отношение А £ LR(X), то отношение А также замкнуто, т.е. А £ LRC{J}\).
Наряду с отношением А рассматривается отношение V = I — А £ LRC(lp(Z+,X)): оно будет играть важную роль в проводимых здесь исследованиях. Его замкнутость вытекает из леммы 3.1.
Лемма 3.2. Спектр сг(А) отношения взвешенного сдвига А £ LRC(lp(Z+iX)) инвариантен относительно поворота вокруг нуля в поле комплексных чисел С. Если 1 £ су (А), то о (А) П Т = 0 и имеют место равенства
V(7-')V-~lV(7) = ф! - Л)”1 = 7Я(7, Л), 7 е Т,
V(7~l)R(\, A)V(y) = 7Д(7А, А), А € р{Л), 7 е Т,
где V(j)f 7 £ Т, — семейство изометрических обратимых операторов из (8) Из определения отношений А и Т> следует, что разностное включение (11) может быть записано в виде
/ 6 Vx, (12)
т. е. последовательность х £ lp(Z+,X) есть решение включения (11) тогда и только тогда, когда выполнено (12).
Лемма 3.3. Резольвента R(-,A) : р(А) —> LB(lp(Z+,X)) стгношения твешенного сдвига А £ LRC(lp(Z+,X)) обладает свойством
lim sup \\V(Tpn)R(\} А) - R(\, A)V(ipn)\\ = 0,
n->oo XcK
где К— любой компакт из р(А) и операторы V(фп) определены формулой (9).
Теорема 3.1. Для того чтобы разностное включение (11) имело единственное решение для любой последовательности f £ 1Р(7;+УХ),
- Київ+380960830922